对函数单调性定义的等价解释和灵活运用.doc

对函数单调性定义的等价解释和灵活运用河北 史彩玉函数的单调性是函数的一个重要性质，它具有很强的应用性，如比较大小、解不等式、求最值、作图象，进行证明等都能用到单调性的定义，而对单调性定义的等价理解方便解题.由函数单调性的定义可以得到如下结论：设函数f(x)是定义在区间(a，b)上的增（减）函数，则对任意、，有：（1）若 ，则f（）f（）0增函数；（2）若 ，则f（）f（）0减函数；（3）（）f（）f（）0增函数；（4）（）f（）f（）0减函数；利用上面等价定义处理函数的单调性问题，有时比直接利用定义处理更简洁.一、证明单调性例1求证：函数f(x)=+1在（，+）上是减函数.分析：考虑运用结论：（4）（）f（）f（）0减函数进行证明，只需要进行因式分解变形.证明：在（，+）上任取两个实数、，且，则有()f()f（）=()()=()(+)=()0，即（）f（）f（）0，故函数f(x)=+1在（，+）上是减函数.二、讨论单调区间例2已知函数f(x)=，讨论函数在区间（0，+）上的单调性.分析：涉及讨论函数单调性的问题运用结论：（1）若 ，则f（）f（）0增函数；或（2）若 ，则f（）f（）0减函数比较方便.解析：任取0，则f（）f（）=，当，时，又，则0，所以f（）f（）=0，所以f（）f（），所以f(x)在（0，a上是单调减函数.当a时，则f（）f（）=0，f（）f（），所以f(x)在a，+上是单调增函数.点评：一般地函数在上为减函数，在上为增函数，这个结论非常有用.三、求解不等式 例3已知f(x)是定义在2，2上的函数，且f(x)=f(x)，又f(x)在0，2上是减函数，且f(1m) f(m)，求实数m的取值范围.分析：由于f(x)在0，2上是减函数，考虑运用结论：（2）若 ，则f（）f（）0减函数解决问题.解析：f(x)=f(x)，f(x)=f(|x|)，则f(1m)= f(|1m|)，f(m) =f(|m|)，又f(1m) f(m)0，f(|1m|) f(|m|)0 ，又f(x)在0，2上是减函数，则有(|1m|m|) f(|1m|) f(|m|)0 ，由得|1m|m|0.从而，解得，因此实数m的取值范围是.点评：抓住当f(x)=f(x)时，得到f(x)=f(|x|)是解决本题的突破口.四、求函数最值例4已知函数，.（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意，f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将函数f(x)变形为f(x)=，又定义可知为单调增函数，对于（2）可以进合理的转化，变成二次函数的最值问题.解析：（1）当a=时，f(x)=，根据例2的结论函数在为单调增函数（证明略），故有f(x)f(1)=1+2=，所以函数f(x)的最小值为.（2）在区间上0恒成立，等价于恒成立.设g(x)=，这是一个二次函数，在上单调递增，故有g (x)g(1)=3+a，g(x)的最小值为：3+a，只要3+a0，故a3为所求.点评：课本中已知的函数的单调性在解题中可以直接利用，已经证明过的函数的单调性的结论有时也可以直接利用，因此，常见函数的单调性要熟练掌握，能够提高解题效率.五、比较大小 例5已知函数f(x)，xR的对称轴为x=2，当x2时，f(x)为增函数.设a=f(1)，b=f(4)，c=f(2)，试确定的大小关系.yxOx=2分析：欲比较三者的大小关系，只需根据对称性，画出示意图形（可以类比二次函数的图形），由图形结合单调性即可.解析：因为函数f(x)的图像关于直线x=2对称.且x2时f(x)为增函数，从而x2时是减函数，从而可以肯定离对称轴x=2的距离越远的数，其函数值越大.所以f(2) f(4) f(1)，即cba.点评：本题灵活的利用了函数的单调性进行大小的比较，结合图象形象直观的得到了结论，这是单调性定义应用的创意.六、巧解方程例6设x、y为实数，且满足求x+y的值.分析：若本题运用常规解法难以下手，但是若运用函数的单调性很容易求解.当函数存在单调性时，根据（1）、（2）、（3）、（4）不难发现，则一定有：若f()f()，则；若f()=f()，则=. 解析 ：由已知条件可得：，设