江西省赣州市信丰中学高二数学上学期第一次月考试卷a 理（含解析）.docVIP

2015-2016学年江西省赣州市信丰中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（a）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若直线axy+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）a2b1cd12已知平面，直线m，n，下列命题中不正确的是（）a若m，m，则b若mn，m，则nc若m，m，则d若m，=n，则mn3某公司共有工作人员200人，其中职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，现要从中抽取20个人进行身体健康检查，如果采取分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为（）a16，3，1b16，2，2c8，15，7d12，3，54“x0”是“|x1|1”（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件5平行六面体abcda1b1c1d1中，向量、两两的夹角均为60，且|=1，|=2，|=3，则|等于（）a5b6c4d86设等比数列an的前n项和为sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）abcd7实数x，y满足不等式组，则=的取值范围是（）a，b1，c1，1）d，1）8已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为m，设a为圆上任一点，n（3，0），线段an的垂直平分线交直线ma于点p，则动点p的轨迹是（）a圆b椭圆c双曲线d抛物线9已知f1、f2是椭圆的两个焦点，以线段f1f2为边作正mf1f2，若边mf1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ab1cd110椭圆的左右焦点分别为f1，f2，若椭圆c上恰好有6个不同的点p，使得f1f2p为等腰三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是（）abcd11函数的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）a2b4c6d812已知命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为r，命题q：q：不等式1+ax对一切正实数x均成立如果，命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，则实数a的取值范围为（）aa1b1a2ca2d无解二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为14直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在同一球面上，若ab=ac=aa1=2，bac=120，则此球的表面积等于15在abc中，sin（ab）+sinc=，bc=ac，则角b的大小为16已知双曲线的方程为x2=1，点a的坐标为（0，），b是圆（x）2+y2=1上的点，点m在双曲线的上支上，则|ma|+|mb|的最小值为三、解答题（共6小题，满分70分）17已知p：52x15，q：（x+3m2）（x3m2）0（m0），若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围18已知函数f（x）=sin（x）+cosx，xr（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）在abc中，设内角a，b，c所对的边分别为a，b，c若f（a）=且a=b，试求角b的大小19在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面四边形abcd为直角梯形，adbc，adab，pa=ad=2，ab=bc=1，q为pd中点（）求证：pdbq；（）求直线bq与平面pcd所成角的正弦值20如图1，在pbc中，c=90，pc=4，bc=3，pd：dc=5：3，adpb，将pad沿ad边折起到sad位置，如图2，且使sb=（）求证：sa平面abcd；（）求平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值21已知椭圆w： +y2=1，直线l过点（0，2）与椭圆w交于两点a，b，o为坐标原点（）设c为ab的中点，当直线l的斜率为时，求线段oc的长；（）当oab面积等于1时，求直线l的斜率22在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：的离心率，且椭圆c上的点到点q（0，2）的距离的最大值为3（1）求椭圆c的方程；（2）在椭圆c上，是否存在点m（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆o：x2+y2=1相交于不同的两点a、b，且oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及对应的oab的面积；若不存在，请说明理由2015-2016学年江西省赣州市信丰中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（a）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若直线axy+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）a2b1cd1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】直线与圆【分析】利用直线平行的充要条件即可得出【解答】解：直线axy+1=0与直线2x+y+2=0平行，解得a=2，故选：a【点评】本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题2已知平面，直线m，n，下列命题中不正确的是（）a若m，m，则b若mn，m，则nc若m，m，则d若m，=n，则mn【考点】命题的真假判断与应用【专题】空间位置关系与距离【分析】利用在与平面，直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可【解答】解：若m，m，则，满足平面与平面平行的判定定理，所以a正确；若mn，m，则n，满足满足直线与平面平行的性质，所以b正确；若m，m，则，满足平面与平面垂直的性质，所以c正确；若m，=n，则mn，也可能得到m，n是异面直线，所以d不正确故选：d【点评】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面平行与垂直的判断与性质，考查基本知识的应用3某公司共有工作人员200人，其中职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，现要从中抽取20个人进行身体健康检查，如果采取分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为（）a16，3，1b16，2，2c8，15，7d12，3，5【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：职员、中级管理人员和高级管理人员之比为160：30：10=16：3：1，从中抽取20个人进行身体健康检查，职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为16，3，1，故选：a【点评】本题主要考查分层抽样的应用，条件条件建立比例关系是解决本题的关键4“x0”是“|x1|1”（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】充要条件【专题】计算题【分析】|x1|1即 0x2由x0不能推出 0x2，但由 0x2 能推出x0，故x0是 0x2的必要不充分条件，从而得到结论【解答】解：由|x1|1可得1x11，解得 0x2由x0不能推出 0x2，但由 0x2 能推出x0，故x0是 0x2的必要不充分条件，即“x0”是“|x1|1”的必要不充分条件，故选b【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于基础题5平行六面体abcda1b1c1d1中，向量、两两的夹角均为60，且|=1，|=2，|=3，则|等于（）a5b6c4d8【考点】向量在几何中的应用【专题】计算题；平面向量及应用【分析】由题设知=，故=（）2，由此能求出|【解答】解：如图，平行六面体abcda1b1c1d1中，向量、两两的夹角均为60，且|=1，|=2，|=3，=，=（）2=+2+2+2=1+4+9+212cos60+213cos60+223cos60=25，|=5故选a【点评】本题以平行六面体为载体考查向量在几何中的应用，解题时要认真审题，关键是利用条件向量、两两的夹角均为60，进行合理转化6设等比数列an的前n项和为sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）abcd【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项【解答】解：由8a2+a5=0，得到=q3=8，故选项a正确；解得：q=2，则=q=2，故选项c正确；则=，故选项b正确；而=，所以数值不能确定的是选项d故选d【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题7实数x，y满足不等式组，则=的取值范围是（）a，b1，c1，1）d，1）【考点】简单线性规划【专题】计算题；压轴题【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）与点（1，1）连线的斜率，由图可知的取值范围是，故选d【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案8已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为m，设a为圆上任一点，n（3，0），线段an的垂直平分线交直线ma于点p，则动点p的轨迹是（）a圆b椭圆c双曲线d抛物线【考点】轨迹方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】已知圆（x+2）2+y2=16，易知圆心和半径a为圆上任一点和 n（2，0），线段an的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交ma于点p有pn=pa，所以pmpn=am=4，即为动点p到两定点m、n的距离之差为常数4，根据双曲线的定义可得结论【解答】解：已知圆（x+2）2+y2=16，则的圆心m（2，0），半径为4a为圆上任一点，且am=4n（3，0），线段an的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交ma于点p有pn=pa所以pmpn=am=4即为动点p到两定点m、n的距离之差为常数4，所以动点p的轨迹是双曲线故选：c【点评】求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法其中定义法是最快捷的这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论9已知f1、f2是椭圆的两个焦点，以线段f1f2为边作正mf1f2，若边mf1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）ab1cd1【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论【解答】解：不妨设椭圆方程为： +=1（ab0），则m点必在y轴上，如图，连结pf2，mf1f2为正三角形，pf1=mf1=f1f2=c，pf2=c=2ac，2a=（+1）c，即e=1，故选：d【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题10椭圆的左右焦点分别为f1，f2，若椭圆c上恰好有6个不同的点p，使得f1f2p为等腰三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】分等腰三角形f1f2p以f1f2为底和以f1f2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆c的离心率的取值范围【解答】解：当点p与短轴的顶点重合时，f1f2p构成以f1f2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰f1f2p；当f1f2p构成以f1f2为一腰的等腰三角形时，以f2p作为等腰三角形的底边为例，f1f2=f1p，点p在以f1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以f1为圆心，半径为2c的圆与椭圆c有2交点时，存在2个满足条件的等腰f1f2p，在f1f2p1中，f1f2+pf1pf2，即2c+2c2a2c，由此得知3ca所以离心率e当e=时，f1f2p是等边三角形，与中的三角形重复，故e同理，当f1p为等腰三角形的底边时，在e且e时也存在2个满足条件的等腰f1f2p这样，总共有6个不同的点p使得f1f2p为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e（，）（，1）【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点p使得f1f2p为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题11函数的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）a2b4c6d8【考点】函数的零点；数列的求和【专题】函数的性质及应用【分析】作出函数的图象，利用对称性，即可得出结论【解答】解：如图所示，两个图象在点（1，0）对称，然后2到4一共有4个交点，对称的两交点横坐标和为1的2倍，4个点就是两对对称点，所以和为4故选b【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12已知命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为r，命题q：q：不等式1+ax对一切正实数x均成立如果，命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，则实数a的取值范围为（）aa1b1a2ca2d无解【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】由于命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，【解答】解：命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为r，当a=0时，函数f（x）的定义域不为r；当a0时，由题意可得：，解得a2命题q：q：不等式1+ax对一切正实数x均成立，当a0时，可得x（a2x+2a2）0，当a1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0a1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立可得：实数a的范围是a1命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，命题p与q必然一真一假，或，解得1a2则实数a的取值范围为1a2故选：b【点评】本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为【考点】茎叶图【专题】概率与统计【分析】根据方差的定义，首先求出数据的平均数，由公式求方差【解答】解： =（84+84+86+84+87）=85s2= 3（8485）2+（8685）2+（8785）2=所以所剩数据的方差为【点评】本题考查了方差的定义和公式，属于基础题14直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在同一球面上，若ab=ac=aa1=2，bac=120，则此球的表面积等于20【考点】球内接多面体【专题】计算题；压轴题【分析】通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为o，球心为o，在rtobo中，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：在abc中ab=ac=2，bac=120，可得由正弦定理，可得abc外接圆半径r=2，设此圆圆心为o，球心为o，在rtobo中，易得球半径，故此球的表面积为4r2=20故答案为：20【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力15在abc中，sin（ab）+sinc=，bc=ac，则角b的大小为【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得sin2b的值，可得角b的大小【解答】解：abc中，sin（ab）+sinc=，sin（ab）+sin（a+b）=，2sinacosb=，cosb，0b又 bc=ac，sina=sinb，2sinbcosb=，sin2b=2b=，b=故答案为：【点评】本题主要考查诱导公式、正弦定理、两角和差的正弦公式，属于基础题16已知双曲线的方程为x2=1，点a的坐标为（0，），b是圆（x）2+y2=1上的点，点m在双曲线的上支上，则|ma|+|mb|的最小值为+3【考点】双曲线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设点d的坐标为（0，），则点a，d是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|ma|md|=2a=4于是|ma|+|mb|=4+|mb|+|md|4+|bd|，再利用|bd|cd|r即可【解答】解：设点d的坐标为（0，），则点a，d是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|ma|md|=2a=4|ma|+|mb|=4+|mb|+|md|4+|bd|，又b是圆（x）2+y2=1上的点，则圆的圆心为c（，0），半径为1，故|bd|cd|1=1=1，从而|ma|+|mb|4+|bd|+3，当点m，b在线段cd上时取等号，即|ma|+|mb|的最小值为+3故答案为： +3【点评】熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键三、解答题（共6小题，满分70分）17已知p：52x15，q：（x+3m2）（x3m2）0（m0），若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】解不等式可求得：p：2x3，q：23mx2+3m （m0）解法一：则p：a=x|x2或x3，q：b=x|x23m或x2+3m，m0由已知p是q的充分不必要条件，q不能推出p，得ab解出即可解法二：解不等式可求得：p：a=x|2x3，q：b=x|23mx2+3m （m0）p是q的充分而不必要条件，即q是p的充分而不必要条件（或者p是q的必要而不充分条件）由已知 qp，p不能推出q，得ba解出即可【解答】解：解不等式可求得：p：2x3，q：23mx2+3m （m0）解法一：则p：a=x|x2或x3，q：b=x|x23m或x2+3m，m0由已知p是q的充分不必要条件，q不能推出p，得ab，解得所求实数m的取值范围是解法二：解不等式可求得：p：a=x|2x3，q：b=x|23mx2+3m （m0）p是q的充分而不必要条件，即q是p的充分而不必要条件（或者p是q的必要而不充分条件）由已知 qp，p不能推出q，得ba，解得经验证（上述不等式组中等号不能同时成立），所求实数m的取值范围是x|【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18已知函数f（x）=sin（x）+cosx，xr（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）在abc中，设内角a，b，c所对的边分别为a，b，c若f（a）=且a=b，试求角b的大小【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理【专题】三角函数的图像与性质【分析】（）将函数f（x）进行化简，利用三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）由f（a）=求出a的大小，根据a=b结合正弦定理即可求出b【解答】解：（1）f（x）=sin（x）+cosx=sinx+cosx=sin（x+），则函数f（x）的最小正周期t=，由+2kx+2k，解得+2kx+2k，即函数的单调递增区间为+2k， +2k，kz（2）若f（a）=，sin（a+）=，0a，则a+，a+=，解得a=，a=b，即sinb=1，则b=【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键19在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面四边形abcd为直角梯形，adbc，adab，pa=ad=2，ab=bc=1，q为pd中点（）求证：pdbq；（）求直线bq与平面pcd所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）建立以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴的空间直角坐标系，证明=0，即可证明pdbq；（）求出平面pcd的法向量，利用向量的夹角公式求直线bq与平面pcd所成角的正弦值【解答】（）证明：因为pa平面abcd，所以paab，paad，又adab，如图，建立以a为原点，ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴的空间直角坐标系（2分）由已知，pa=ad=2，ab=bc=1，adbc所以a（0，0，0），b（1，0，0），c（1，1，0），d（0，2，0），p（0，0，2）（4分）又q为pd中点，所以q（0，1，1）所以=（0，2，2），=（1，1，1），所以=0，（6分）所以pdbq（7分）（）解：设平面pcd的法向量为=（a，b，c），则=（0，2，2），=（1，1，0），（9分）令c=1，得a=b=1， =（1，1，1）（11分）=（1，1，1），直线bq与平面pcd所成角的正弦值为=（14分）【点评】本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线bq与平面pcd所成角的正弦值的求法，正确运用向量法是解题的关键20如图1，在pbc中，c=90，pc=4，bc=3，pd：dc=5：3，adpb，将pad沿ad边折起到sad位置，如图2，且使sb=（）求证：sa平面abcd；（）求平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明saab，saad，即可证明sa平面abcd；（）延长ba，cd相交于p，连接sp，取sp的中点m，连接ma，md，证明amd为平面sab与平面scd所成锐二面角的平面角，求出ma，md，即可求平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值【解答】（）证明：在直角三角形pbc中，pc=4，bc=3，pd：dc=5：3，所以pb=5，pd=2.5，dc=1.5，因为pad=c=90，p=p，所以padpcb，所以，所以pa=2，ab=pbpa=3，ad=1.5，sab中，sa=pa=2，sb=，所以sa2+ab2=sb2，所以saab因为adpb，所以saad，因为abad=a，所以sa平面abcd；（）解：在图2中，延长ba，cd相交于p，连接sp，取sp的中点m，连接ma，md，则因为pa=sa，pd=sd，所以masp，mdsp，所以amd为平面sab与平面scd所成锐二面角的平面角，因为saad，adpb，sapb=a，所以ad平面spb，因为ma平面spb，所以adma在直角三角形spa中，pa=sa=2，m为sp的中点，所以sp=2，ma=，在spd中，pd=sd=2.5，m为sp中点，所以md=，所以cosamp=，所以平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值为【点评】考查线面垂直的性质于判定定理，考查平面sab与平面scd所成锐二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21已知椭圆w： +y2=1，直线l过点（0，2）与椭圆w交于两点a，b，o为坐标原点（）设c为ab的中点，当直线l的斜率为时，求线段oc的长；（）当oab面积等于