《计算机控制及网络技术》-第4章 计算机控制系统分析.ppt

第四章计算机控制系统分析 计算机控制系统要想正常工作 首先要满足稳定性条件 其次还要满足动态性能指标和稳态性能指标 这样才能在实际生产中应用 对计算机控制系统的稳定性 动态特性和稳态性能进行分析是研究计算机控制系统必不可少的过程 4 1计算机控制系统的稳定性分析4 2计算机控制系统的动态过程4 3计算机控制系统的稳态误差4 4离散系统根轨迹 4 1计算机控制系统的稳定性分析 4 1 1线性离散控制系统的稳定性条件s域到z域的映射线性离散控制系统稳定的充要条件4 1 2线性离散系统的稳定性判据修正劳斯稳定判据 W变换的稳定性判据 二次项特征方程稳定性的z域直接判别法朱利稳定性检验修尔 科恩稳定判据 s域到z域的映射 将s平面映射到z平面 并找出离散系统稳定时其闭环脉冲传递函数零 极点在z平面的分布规律 从而获得离散系统的稳定判据 令则有于是 s域到z域的基本映射关系式为 极座标形式 模大小 S平面内频率相差采样频率整数倍的零点 极点都映射到Z平面同一位置 S平面等衰减线 等衰减线 s平面左半平面的垂直线 等衰减线 对应于z平面半径小于1的圆s平面右半平面的垂直线对应于z平面半径大于1的圆 S平面等频率线 等频率线 s平面水平直线 等频率线 对应于z平面具有相应角度的直线 S平面等阻尼比线 等阻尼比线 s平面的等阻尼线对应z平面的螺旋线s平面的虚轴在z平面的映射为一单位圆 s域到z域的映射 由于左半平面的 为负值 所以左半s平面对应于 z eT 1s平面的虚轴表示实部 0和虚部 从 变到 映射到z平面上 表示 z eT e0 1 即单位圆上 和 T 也从 变到 即z在单位圆上逆时针旋转无限多圈 简单地说 就是s平面的虚轴在z平面的映射为一单位圆 如图4 2所示 s平面与z平面的映射关系 主频区 Z平面单位圆 线性离散控制系统稳定的充要条件 下图所示线性离散控制系统的闭环脉冲传递函数 z 为特征方程为 线性离散控制系统 设闭环离散系统的特征方程式的根为z1 z2 zn 即是闭环脉冲传递函数的极点 那么 线性离散控制系统稳定的充要条件是 闭环系统特征方程的所有根的模 zi 1 即闭环脉冲传递函数的极点均位于z平面的单位圆内 4 1 2稳定性判据 4 1 2线性离散系统的稳定性判据朱利稳定性检验修正劳斯稳定判据 W变换的稳定性判据 二次项特征方程稳定性的z域直接判别法修尔 科恩稳定判据 修正劳斯稳定判据 连续系统的劳斯稳定判据 是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性 这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部 将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部 就可以应用劳斯稳定判据来判断离散系统的稳定性 为此 可采用双线性变换方法进行判断 双线性变换 w变换 劳斯稳定判据 双线性变换 或写成 双线性变换 z平面与w平面映射关系 由此可见 变换把z平面上的单位圆映射为w平面上的虚轴 把z平面上的单位圆内区域映射为w平面上的左半部 把z平面上的单位圆外区域映射为w平面上的右半部 当 T较小时有即w平面的频率近似于s平面的频率 这是采用双线性变换的优点之一 通过z w变换 就可以应用连续系统的劳斯判据分析线性离散系统的稳定性 劳斯稳定判据 修正劳斯判据的要点 闭环系统特征方程anwn an 1wn 1 a0 0 若系数a0 an的符号不相同 则系统不稳定 若系数符号相同 建立劳斯行列表若劳斯行列表第一列各元素符号一致 则所有特征根均分布在左半平面 系统稳定 若劳斯行列表第一列元素符号不一致 系统不稳定 且第一列元素符号变化的次数 就是右半平面上特征根个数 劳斯行列表 例4 1应用劳斯判据 讨论下图所示系统的稳定性 其中K 1 T 1s 解 由上一章可知 系统开环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为系统特征方程为 采用双线性变换 即 则可得w平面的特征方程为建立劳斯表w22 6322 528w11 472w02 528由劳斯判据可知系统稳定 例4 2在例4 1中 设T 1s 求使系统稳定的K的变化范围 并求s平面和w平面的临界频率 解 采用双线性变换 此时系统的特征方程为 即特征方程为此时 劳斯表为w2 1 0 0381K 0 924K K0故K的变化范围为0 K 2 39 当K 2 39时 系统临界稳定 此时特征方程的解为故w平面的临界频率为s平面的临界频率为 朱利稳定性检验 朱利稳定性检验是对给定的特征方程D z 0的系数建立一个表 设特征方程D z 是z的下列多项式 第一行元素由D z 按z的升幂排列的系数组成 第二行元素由D z 按z的降幂排列的系数组成 第三行至第2n 3行元素 则按下列各式确定 朱利表 对应着朱利表 从右往左数 朱利检验的稳定性判据 如果满足下列全部条件 则由特征方程D z 0表征的系统是稳定的 系统阶数 二次项特征方程稳定性的z域直接判别法 当离散系统的特征方程最高为二次项时 则不必进行w变换 也不必求其根 而是直接在z域判别其稳定性 设系统的特征方程D z z2 a1z a0 0式中 a1 a0均为实数 当满足下列三个条件系统稳定 D 0 a0 0D 1 1 a1 a0 0 例4 3在例4 1中 设T 1s 试用z域直接判别法确定满足系统稳定的K值范围 解 例4 1所示系统的特征方程为利用z域直接判别法的三个条件 有第一个式子可解K0 第三个式子可解K 26 2 即满足系统稳定的K值范围为0 K 2 39 此结果与用劳斯判据给出的结果相同 修尔 科恩稳定判据 该判据提供了一种用解析法判断离散系统稳定性的途径 设离散控制系统的特征方程为其中G z 一般为两个多项式之比 用W z 表示特征方程的分子 即把系数写成如下所示的行列式形式 修尔 科恩稳定判据指出 如果满足下面的条件 特征方程的根都在单位圆内 即系统稳定 4 2计算机控制系统的动态过程 线性离散系统的动态特性是指系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性 或者说系统的动态响应特性 如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的z变换Y z 那么 对Y z 进行z反变换就可获得动态响应y t 将y t 连成光滑曲线 就可得到系统的动态性能指标 即超调量 与过渡过程时间ts 一般 采样系统的闭环脉冲传递函数可以写成如下形式 当单位阶跃信号输入时 系统的输出为 对上式取逆z变换 得采样系统的输出响应 其中包含稳态响应 及由实极点和复极点所引起的暂态响应 相应的响应时间序列为 1 设的极点是n个互异的单根 则可以写成 实极点位置和动态响应之间的关系 1 极点在单位圆外的正实轴上 p1 1 对应的暂态响应分量y1 kT 单调发散 2 极点在单位圆与正实轴的交点 p2 1 它对应的暂态响应y2 kT 是等幅的 3 极点在单位圆内的正实轴上 0 p3 1 它对应的暂态响应y3 kT 单调衰减 4 极点在单位圆内的负实轴上 1 p4 0 它对应的暂态响应y4 kT 是正负交替的衰减振荡 周期为2T 5 极点在单位圆与负实轴的交点 p5 1 它对应的暂态响应y5 kT 是正负交替的等幅振荡 周期为2T 6 极点在单位圆外的负实轴上 p6 1 它对应的暂态响应y6 kT 是正负交替的发散振荡 周期为2T 2 设的极点含有一对共轭复数极点 设复数极点为 则该对复数极点的脉冲响应序列为 设 响应周期与 i有关 复极点位置和动态响应之间的关系 1 复极点在z平面单位圆外 对应的暂态响应是振荡发散的 2 复极点在z平面单位圆上 故对应的暂态响应是等幅振荡 3 复极点在z平面单位圆内 故对应的暂态响应是振荡衰减的 例4 4求例4 1的阶跃响应解 因为闭环脉冲函数为故对应离散系统阶跃响应程序为MATLABProgramnum 0 3680 264 den 1 10 632 dstep num den 50 例4 4阶跃响应曲线仿真图 连续系统 采样周期为1s 离散极点位置分布的结论 为使离散系统具有满意的瞬态特性 其闭环极点应尽量避免分布在z平面单位圆的左半部 尤其不要靠近负实轴 闭环极点最好分布在z平面单位圆的右半部 尤为理想的是分布在靠近原点的地方 由于这时 zj 值较小 所以相应的瞬态过程较快 即离散系统对输入具有快速响应的性能 通过分析可知 极点越接近z平面的单位圆 瞬态响应衰减越慢 假如有一对极点最靠近单位圆 而其它零极点均在原点附近 离这一对极点相当远 则系统响应主要由这一对极点决定 所以这一对极点称为主导极点对 这时 可忽略原点附近极点相对应的瞬态分量 而考虑主导极点引起的瞬态分量 4 3计算机控制系统的稳态误差 在连续系统中 稳态误差的计算可以通过两种方法进行 一种是建立在拉氏变换终值定理基础上的计算方法 可以求出系统的终值误差 另一种是从系统误差传递函数出发的动态误差系数法 可以求出系统动态误差的稳态分量 这两种计算稳态误差的方法 在一定条件下可以推广到离散系统 离散系统稳定 设单位反馈误差采样系统如下图所示 系统误差脉冲传递函数为 单位反馈离散系统 若离散系统是稳定的 则可用z变换的终值定理求出系统达到稳态时采样瞬时的终值误差 与系统结构 参数以及输入信号类型有关 在离散系统中 把开环脉冲传递函数G z 具有z 1的极点数v作为划分离散系统型别的标准 与连续系统类似地把G z 中v 0 1 2 的系统 称为0型 型和 离散系统等 下面讨论不同类别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差 并建立离散系统静态误差系数的概念 对应连续系统s 0的极点数 单位阶跃输入时的稳态误差 对于单位阶跃输入r t 1 t 其z变换函数为得单位阶跃输入响应的稳态误差上式代表离散系统在采样瞬时的终值位置误差 式中称为静态位置误差系数 单位速度输入时的稳态误差 对于单位速度输入r t t 其z变换函数为得单位速度输入响应的稳态误差上式代表离散系统在采样瞬时的终值速度误差 式中称为静态速度误差系数 单位加速度输入时的稳态误差 对于单位加速度输入r t t2 2 其z变换函数为得单位加速度输入响应的稳态误差上式代表离散系统在采样瞬时的终值加速度误差 式中称为静态加速度误差系数 例4 5闭环系统结构如下图所示 试求 1 位置误差系数 2 取k 1 要求在单位斜坡信号作用下 稳态误差不大于0 01 确定补偿装置的脉冲传递函数 解 1 系统开环传递函数为 位置误差系数为 由于系统为0型 所以速度误差系数 加速度误差系数都为0 2 由于原系统为0型 为了满足在单位斜坡信号作用下 系统稳态误差要求 必须串连一个比例加积分补偿装置 其脉冲传递函数为 串联补偿装置后 系统速度误差系数为 根据稳态误差要求 4 4离散系统根轨迹 线性定常离散系统的闭环脉冲传递函数为该系统的特征方程为例4 6 线性定常离散系统 离散系统根轨迹就是画出闭环系统特征方程的根在z平面上随参数K变化的轨迹 由