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第五章 系统的频率特性分析法第一节 引言 和 第二节 频率特性【教学目的】1掌握频率特性的基本概念。2熟悉典型环节的频率特性。【教学重点】频率特性基本概念和其几何表示法。【教学难点】频率特性的几何表示法。【教学方法及手段】通过课堂讲解使学生掌握基本概念，理解频率特性，传递函数和微分方程三种系统述述之间的关系。【课外作业】 习题5-2。【学时分配】2课时。【教学内容】一、频率特性的定义 首先分析一个稳定的线性定常系统在正弦输入信号作用下其输出量与输入量之间的关设线性定常系统的框图如图51所示。输入信号为r(t)，输出信号为y(t)，描述系统的闭环传递函数为式中的nm; 是系统闭环传递函数的极点，即系统特征方程的根。对于稳定的系统，它们均是负数或负实部的共扼复数当输入为正弦信号时，即 r(t)=Xsint (5-2)或写成 R(t)= (5-3)式中 X正弦函数的振幅 角频率。系统输出的拉氏变换式为 Y(s)=R(s)= (5-4)式中的，待定系数对式(54)两边分别取拉氏反变换，系统对正弦输入的响应为由于系统是稳定的，极点均是负的或负实部的共扼复数。因此，当时间t起于无穷时，y(t)的第二部分将衰减到零。系统的稳态输出为 (56)式中 = （57） =（58）而是一个复数，可以通过模 =（59）及幅角 （510）来表示，既 (511)在式(59)、式(510)中，Re和分别表示复数的实部和虚部。用同样的方法，可将复数表示为 （512）将式(57)、式(58)及式(511)和式(512)代人式(56)，求得 （513）式(513)中Y= X为输出稳态值的振幅，是角频率的函数。 从式(513)可看出，稳定的线性定常系统，在正弦输入信号r(t)=Xsint的作用下,其稳态输出也是同频率的正弦信号，但振幅不同，振幅比为Y/X= ，是的函数;相位不同，相位差为,是的函数。输入信号与输出信号之间关系如图52所示c 线性系统 R(s) 线性系统 r(s)R(t)y(t) 图 51 控制系统框图图52 输入、输出正弦信号 根据上面分析，有关频率特性的定义如下：c稳定的线性定常系统，其对正弦函数输入的稳态响应，称为频率响应。输出与输入的振幅比，称为系统的幅频特性。它描述了系统对不同频率的正弦函数输入信号在稳态情况下的衰减(或放大)特性；输出与输入的相位差，称为系统的相频特性。相频特性描述了系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相应上产生的相角迟后（对应（） 0或相角超前（对应）的特性；幅频特性及相频特性，或者说，在正弦输入下，线性定常系数或环节、其输出的稳态分量的复数比、称为系统或环节的频率特性，记为，用式子表示 （514）频率特性表示了线性系统或环节在稳态情况下输出、输入正弦函数信号间的一种数学关系二、频宰特性与传递函数间的关系 对比式(5)和式(514)可以看出：频率特性是将传递函数，即 (515)因此，频率特性就是在“加时的传递函数它和微分方程以及传递函数一样是系统或环节的一种数学模型，也描述了系统的运动规律及其性能；这就是频率响应法能够从频率特性出发研究系统的理论根据三系统或环节的频率特性表示方法有多种。总体上说有两大类。是代数解析式，二是图形（一）、代数解析式设系统或环节的传递函数为根据式(515)今代入上式，可得相应系统或环节的频率特性 上式是一复数，可表示成实部和虚部两部分 +jQ() (516)或指数 （517）式(516)及式(517)中： 频率特性的实部又称为实频特性o频率特件的虚部，又称为虚频特性。A()频率特性的幅值，即模，父称为幅频特性。频率特性的幅角，或相位移，又称为相频特性。例51 设系统的传递函数为 求其频率特性解 代入求得频率特性为由上式求得幅频特性为频率特性为 图53幅相特性表示法 （二）、图形表示法 工程上常用图形来表示频率特性，常用的有1 极坐标图 也称奈斯特(Nyquist)图、幅相频率特性图 上面指出，频率特性是一个复数，它可以表示成实部与虚部的形式也可以表示成模与幅角的形式，对某一特定的频率，可以在复数平面上以一失量表示。矢量的长度等于模，矢量与正实轴的夹角等于幅角，如图53所示。随行频率的变化、相应的矢量长度和幅角也改变。当频率从零变化到无穷大时图53的矢量端点便在平面上画出条曲线 这条曲线表示出为参变量、模与幅角之间的关系，通常、这条曲线称为幅相频率特性曲线或奈斯特曲线。这种画有幅相频率特性曲线的图形称为极坐标图2伯德(Rode)图 伯德图又称为数频率特性图、它由两张图组成：张是对数幅频图，另一张是对数相频图，两张图的横向坐标相同，表示频率，采用 图54 对数分度图对数值lg(w) 标度，单位是rad/s,注意的是，分度不是等分的，频率w每变化10倍，横坐标就增加一个单位长度，这个单位长度代表10倍频的距离，故又称为“十倍频程”，记做dec,如图54所示。对数幅频图的纵坐标是频率特性幅值的对数值乘20即表示均匀分度，单位为“分贝”，记作dB.对数幅频图绘的是对数幅频特性曲线。对数相频图的纵坐标是相移角，均匀分度，单位为“度”。对数相频图绘的是相频特性曲线【自学内容】 预习第三节。第三节 开环系统的典型环节分解和开环频率特征曲线的绘制【教学目的】1熟悉典型环节的频率特性。2掌握频率特性和对数频率特性的绘制。【教学重点】典型环节的频率特性和开环系统的典型环节分解及其频率特征曲线的绘制。【教学难点】开环系统的典型环节分解。【教学方法及手段】充分的例题讲解。【课外作业】习题5-5，5-6。【学时分配】 2课时。【教学内容】一。 典型环节的频率特性自动控制系统的数学模型是由若干典型环节组成的。归纳起来通常有六种；比例环节惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环行和延迟环体。本节讨论这些典型环节的频率特性。（一）、比例环节的频率特性 1 解析式 比例环行的传递函数为 （518）以j代替s,频率特性为 （519）幅频特性 （520）相频特性 （521）2 极坐标图 根据式(519)，比例环节的幅频特性及相频特性均与。无关。表示在直角坐标中为实轴上的“K”点。如图55所示 0K 3 德图 比例环节的对数幅频特性 （522）表示在半对数坐标中为一条平行于频率轴的直线它与频率铀的距离为“20lgK”。当K1时，在横袖上方。K1时在横铀下方比例环行的相频特性为 （523）在半对数坐标中相频特性曲线为零度直线，即与横轴重合。 比例环节的伯德图如图56所示 图56比例环节伯德图（ 二）、积分环节的频率特性1 解析式 积分环节的传递函数为 （524）以代入上式，其频率特性为 （525）幅频特性 （526）相频特性 （527） 2极坐标图 当由零变化至无穷大时由式(525)可知实部为零，虚部由负无穷变化至零。特性曲线由虚轴的处趋向原点如图57所示。JQ() 0P()图57 积分环节极坐标图3.伯德图 积分环节的对数幅频特性为 （528）由上式可知，其对数幅频特性曲线为过横轴处，斜率为-20dB/dec的一条直线。相频特性为 （529）它与频率无关等于恒值与轴平行的直线。 积分环节的伯德图如图58所示。 如果传递函数中含有v个积分环节串联，达时的对数幅频特性为 (530)这是一条在处通过横轴、斜率为20vdB/dec的直线。相频特性为与无关的常值.60402001100.1209000.1 110-90图58 积分环节的伯德图（三）、惯性环节的频率特性1 解析式 惯性环节的传递函数 （513）以代替s，其频率特性为 （532）幅频特性 （533）相频特性 （534） 2极坐标图 根据式(532)，给出一个频率值，算出对应的实部和虚部值或幅值和相位移，在直角坐标中描出相应的一点。当值取从零变化到无穷的若干个数值时，可以算出对应的一组值例如令从，求出相应的实部和虚部值(见下页)。根据上面数据，可以绘出幅相频率特性曲线。下面证明惯性环节的幅相频率特性曲线实际上为个半圆。由式(532)知，频率特性的实部(实频特性)和虚部(虚频特性)分别为实部虚部 两式相除，有 再将上式代入实部，得 整理上式有 配方之后得到 （535）式（535）是圆的方程，圆心在轴（即实轴）上的1/2处，半径为1/2。图59示出惯性环节的幅相频率特性，圆中的下半个圆对应于，上半圆对应于。2 伯德图 惯性环节的对数幅频特性为 （536）结出不同的频率值，按上式可计算出相对应的值从而在半对数坐标中绘出对数幅频特性曲线。实际上在控制工程中常采用分段直线近似来表示对数幅频特性曲线，方法如下： 低频段，在1，或1/T的区段，可以近似的认为0，于是，式（536）变为 故在低频区，对数幅频特性是与横线相重合的直线。 高频区 在区段可以近似地认为这是一条斜率为-20（dB/dec）,与横轴交于直线 上述两直线构成惯性环节对数幅频特性的渐近线又称为“渐进对数幅颇特性” 两条直线的交点，称为。“交接频率”或“转折频率” 在绘制渐近对数幅频特性时，它是一个重要参数渐进特性和准确特性相比存在误差。误差表达式为 （537）误差最大值出现在交接频率处，其数值为图510给出惯性环节的对数幅频特性图中的实线为准确的特性曲线。一般情况，工程上采用渐进特性。若要求曲线精度高时，可先画出渐近特性，然后按式(537)在附近、或按下表数值进行修正。表51惯性环节对幅频特性误差修正0.1 0.25 0.4 0.5 1.0 2.0 2.5 4.0 10.0误差dB-0.04 -0.32 -0.65 -1.0 -3.0 -1.0 -0.65 -0.32 -0.04惯性环节的相频特性 （538）从上式可以看出，在频率为零时，=；在交接频率1/T处，；当频率趋于无穷大时，相移将趋于，由于惯性环节的相移与呈反向正切函数关系；所以相频特性将对于时的这一点斜对称。因此，在绘制相频特性曲线时，依式（538），选择若干频率值，求出相应的相角值在对数相频图中描点，然后用一条光滑的曲线连接，便绘出其相频特性曲线，如图510所示。（四）、振荡环节的频率特性1 解析式 振荡环节的传递函数 （539）以其频率特性为幅频特性 (541)2极坐标式 根据式(540)以为参变量，计算为不同值时的实部和虚部或幅值和相移，可在复平面上绘出振荡环节的幅相频率特性曲线，曲线形状与值有关，如图511所示振荡环节的一个重要持点是、在某一频率时产生谐振，谐振时，幅频特性出现峰值。下面求峰值频率和峰值 式(541)对求微分，并令其等于零，可求得幅频特性出现峰值的频率，即峰值频率为 (543) 显然，与阻尼比有关。当=时， 当时,说明不存在谐振峰值.当时，将式(543)代人式(541)可求得幅频特性的谐振峰值为 (5-44)3.伯德图 抓荡环节的对数伯频特性为 (5-45)在低频段,即时,有 (5-46)它是一条与横轴重合的直线.在高频段,即时,有 (5-47)它是一条斜率为-40(dB/dec),交横轴于”1/T”的直线. 上述二直线是振荡环节对数幅频特性的渐近线。由此二直线衔接起来所构成的折线称为振荡环行的渐近对数幅频特性，二直线的交点频率。称为振荡环节的交接频率或转折频率。振荡环节的渐近对数幅频特性并没有考虑阻尼比的影响。实际上，准确的特性是和有关的，根据式(545)绘制的准确对数幅频曲线及其渐近线如图512所示。由图可见，用渐近线来近似准确的对数幅频曲线存在误差。误差计算公式 (5-48) (5-49)根据式(548)和式(549)绘出的误差曲线示于图513中。从图513可知当0.40.7时dB：当值在此范围之外时，误差值增加。在工程中，当满足0.40.7时可使用渐近对数幅频特性；在此范围之外应使用淮确的对数幅频特性。难确的对数幅频特性可在渐近对数幅频特性的基础上，用图513所示的误差曲线修正，或应用式(545)直接计算。振荡环节的对数相频特性可按式(542)逐点描述绘出、示于图512。其特点是，当时，;当时，；而时， 除此之外，相频曲线亦随“”值不同而不同。（五）、微分环节的频率特性1 解析式 微分环节通常包括纯微分、阶微分和二阶微分。传递函数分别为以s=j代入上面各式，频率特性分别为 （550）（551） （552） 2极坐标图 纯微分环节的幅相频率特性、由式(550)可知、实频为零，与频率无关：虚频随变大而变大 因此在其幅相频率特性是正虚轴如图54a所示。 一阶微分外环节的幅相频率特性，由式(551)看出，实频为“I”，与频率无关；虚频随变大而变大 其幅相频率特性如图514b所示。 二阶微分环节的幅相频率特性，按式(552)绘出如图514c所示。 3伯德图 注意到纯微分、阶微分和二阶微分的幅频特性和相频特性，在形式上分别是积分、惯性和振荡环节的相应特性的倒数。因此，在半对数坐标中，纯微分环节和积分环节的对数频率特性曲线相对于频率轴(即横轴)互为镜像 ,图515是纯微分环节的对数频率特性曲线；一阶微分环节和惯性环节的对数频率特性曲线相对于频率轴互为镜像。图516示出了阶微分环节的对数频率特性曲线；同理，二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性曲线也相对于频率轴互为镜像如图517所示。 （六）、延时环节的频率特性1 解析式 延时环节的运动特性是，输出员y(t)完全复现输入量r(t),但比输人量r(t)要滞后一个固定的时间，即 y(t)=r(t-) t延时环节常出现在化工、造纸、轧钢等控制系统中。延时环节的传递函数为 (553)以代替s，频率特性为 （553）幅频特性 （556）2 极坐标图 延时环节的幅相频率特性为以坐标原点为圆心。半径为“I”的圆，如图518所示 3 伯德图 延时环节的对数幅频特性和相频特性分别为 （dB） (557) （558）根据式(557)、式(558)绘出延时环节的对数频率特性如图519所示。由图可看出，延时环节的对数幅频特性是与横轴重合的直线对数相频特性随增加，迟后也增加。图519二 。系统开环频率特性绘制 通常，自动控制系统是由若干典型环节串联组成因此，系统的开环传递函数容易获得 系统开环传递函数为以s=代入，系统的开环频率特性为 （559）幅频特性 （560）相频特性 （561） （一）、极坐标图 系统开环幅相频率特性曲线的绘制，有如下两种方法。 方法一 根据不同的值，计算出相应的和Q()或A()和并在直角坐标平面上描出相应的点，然后用光滑线连接各点。方法二 利用曲型环节的频率特性具体步骤如下： 分别计算出各典型环节的幅频特性和相频特性，I=1,2. 各典型环节的幅频特性相乘，得到系统的幅频特性各典型环节的相频特性代数相加，得到系统的相频特性，即 给不同的数值，计算出相应的和，依所得数据，便可画出特性曲线。 极坐标图的一般形状图5-34(a)0型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图即0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值。对应于 的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。1型系统：在总的相角中，的相角是项产生的。在低频时，极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当时，幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。即2型系统：在总相角中的相角是由项产生的。0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如果的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点。当时， 轨迹将与实轴或虚轴相切如图5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的时间常数决定的。（ 二）、伯德图 1对数幅频特性 通常绘制系统开环对数幅频特性只需画出渐近特性，若需要较精确特性时，就对渐近特性进行适当修正。绘制方法也有两种。 方法一 分别绘出各典型环节的对数幅频特性，然后相加可得系统的开环对数幅频特性。 方法二 按下面步骤进行： 在半对数坐标纸上标出横铀及纵轴的刻度。 将开环传递函数化成典型环节乘积因子型式求出各典型环节的交接频率标在角频率轴上计算20lgK,K为系统开环放大系数。在=1处找出纵坐标等于20lgK的点【自学内容】 预习第四节 频率域稳定判据第四节 频率域稳定判据【教学目的】 掌握Nyquist稳定判据在极坐标图及对数频率特性图中的应用。【教学重点】 一。奈奎斯特稳定判据 利用的轨迹，对-1+j0点的包围情况以及分析系统的方法概括为下列奈奎斯特稳定判据（对于在轴上既无极点也无零点的特殊情况）：如果开环传递函在s右半平面内有k个极点，并且，则为了使闭环系统稳定，当从变到时，的轨迹必须反时针包围-1+j0点k次。 二伯德图 设N为对数幅频特性曲线在0dB以上的频段内，对数相频特性对-180度线正.负穿越次数之差，则z=P-2N.z=0时闭环系统稳定。【教学难点】 一。 绘制比较准确的奈奎斯特图。 二绘制奈奎斯特图的几种特殊情况。【教学方法及手段】 通过课堂讲解使学生掌握基本概念 ，通过例题讲解使学生掌握奈奎斯特稳定判据。 【课外作业】习题5-11。【学时分配】2课时。【教学内容】一奈奎斯特稳定判据 利用的轨迹，对-1+j0点的包围情况以及分析系统的方法概括为下列奈奎斯特稳定判据（对于在轴上既无极点也无零点的特殊情况）：如果开环传递函在s右半平面内有k个极点，并且，则为了使闭环系统稳定，当从变到时，的轨迹必须反时针包围-1+j0点k次。 1关于奈奎斯特稳定判据的几点说明这一判据可表示为：式中函数在右半s平面内的零点数对-1+j0点顺时针包围的次数函数在右半s平面内的极点数如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须或，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。如果函数在右半s平面内无任何极点，则。因此，为了保证系统稳定，的轨迹必须不包围-1+j0点。2含有位于上极点和/或零点的特殊情况 图5-39 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中 因为奈奎斯特轨迹不能通过的极点/和或零点。S平面上的封闭曲线的形状必须加以改进。在原点附近采用半径为无穷小的半圆，如图5-39所示。变量沿着轴从运动到，从到，变量沿着半径为（）的半圆运动，再沿着正轴从运动到。从开始，轨迹为半径为无穷大的半圆，变量沿着此轨迹返回到起始点。图5-40 s平面上的封闭曲线和GH平面上的轨迹，其中对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，考虑开环传递函数：设 则当s平面上的时，的相角。如图5-40所示。在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围点两次。所以函数在右半s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。 如果含有位于轴上的极点和/或零点，则可以采用类似的方法进行分析。 奈奎斯特稳定判据（对于含有位于轴上的极点和/或零点的一般情况）：如果开环传递函数在右半s平面内有k个极点，则为了使系统稳定，当变量s顺时针通过变化后的奈奎斯特轨迹时，轨迹必须反时针方向包围点k次。二稳定性分析如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含的Z个零点和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不通过的任何极点或零点，则在平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围点次（负R值表示反时针包围点）。a)不包围-1+j0。如果这时在右半s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。b)反时针包围点。如果反时针方向包围的次数，等于在右半s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。c)顺时针包围点。系统是不稳定的。例5-3 设闭环系统的开环传递函数为：的轨迹如图5-41所示。在右半s平面内没有任何极点，并且的轨迹不包围，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。图5-41 例5-3中的极坐标图例5-4 设系统具有下列开环传递函数：试确定以下两种情况下，系统的稳定性：j增益K较小k增益K较大。小K值大K值图5-42 例5-4中的极坐标图在右半s平面内的极点数等于零。为了使系统稳定必须保证，或者说的轨迹不包围点。对于小K，的轨迹不包围点，因此系统在小K值时是稳定的。对于大K，的轨迹顺时针包围点两次，说明有两个闭环极点为位于右半s平面，因此系统在大K值时是稳定的。例5-5 设开环传递函数为：该系统的闭环稳定性取决于和相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。稳定不稳定图5-43 例5-5中的极坐标图 时，的轨迹不包围，因此，系统是稳定的。当时，的轨迹通过点，这表明闭环极点位于轴上。当 时，的轨迹顺时针方向包围点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。例5-6 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。图5-44 例5-6中的极坐标图在右半s平面内有一个极点()，因此。图5-44中的奈奎斯特图表明，轨迹顺时针方向包围点一次，因此，。因为。这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。在右半s平面内有一个极点()，因此。开环系统是不稳定的。图5-45表明轨迹逆时针方向包围点一次，因此，因为，这说明没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。图5-45 例5-7中的极坐标图【自学内容】预习第五节 稳定裕度。第五节 稳定裕度【教学目的】 熟悉相对稳定性概念和稳定裕量的计算【教学重点】 稳定裕度1. 稳定裕度相角裕度为 2. 幅值裕度为【教学难点】稳定裕度的计算。【教学方法及手段】 以课堂讲解为主，辅以课堂提问和习题练习。【课外作业】 习题5-14。【学时分配】 2课时。【教学内容】1。相位裕度、相角裕度(Phase Margin)设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为定义相角裕度为相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。当 时，相位裕量相位裕度为正值；当时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和-180度。k增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)，定义幅值裕度为幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将变为临界稳定状态。若以分贝表示，则有当增益裕度以分贝表示时，如果，则增益裕度为正值；如果，则增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。2关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，增益裕度应当大于6分贝。例5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为。试求：K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。解： 即 在处的开环对数幅值为根据K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency)为 由题意知 验证是否满足相位裕度的要求。根据的要求，则得： 不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。图5-48 例5-9的幅值裕度和相位裕度示意图【自学内容】 预习第六节 闭环系统的频域性能指标。第六节 闭环系统的频域性能指标【教学目的】掌握闭环系统的频域性能指标并会求解。【教学重点】闭环系统的频域性能指标求解。【教学难点】闭环系统频域性能指标和时域指标的转换。【教学方法及手段】以课堂讲解为主，辅以课堂提问和习题练习，充分调动学生积极性。【课外作业】 复习本节内容。【学时分配】 2课时。【教学内容】1。谐振峰值幅值和谐振峰值频率 (5-22)令 (5-23) (5-24)或 (5-25)，时有最小值有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用表示。 (5-26)谐振频率2标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系书上例5-13p203在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。设为截止频率，则有 根据相位裕度的定义 上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳