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小初衔接暑期数学讲义 第一部分有理数1一从整数到分数（一）整数、整数的概念1、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这些数是整数，我们最先学的数就是它们，大概因为这是很自然的事情，把这些数称为自然数。 自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 想一想：0一定代表没有吗？如果不是，请举几例：_2、自然数的意义（1）基数：用来表示事物_的自然数叫做基数。这时，1表示_,5表示_,0表示_。（2）序数：用来表示事物_的自然数叫做序数。这时，1表示_,5表示_,、整数的运算1、 加法：一个数与另一个数合起来，用加法。两个数相加经常叫做两个数的和。加数+加数=和任何两个自然数的和仍是自然数。也就是说，两个自然数的加法都可以运算。2、 减法：求两个数相差多少，用减法。两个数相减经常叫做两个数的差。被减数-减数=差 （1）减法是加法的逆运算。 加数+加数=和 和加数=另一个加数 被减数差=减数 被减数-减数=差 减数+差=被减数 （2）两个自然数的减法并不是都可以运算。 两个自然数m和n 如果mn，mn可以运算，其差还是自然数。 如果mn，mn不可以运算。这要等到把数扩充正负数3、乘法：相同的数的加法的快捷方式。两个数相乘经常叫做两个数的乘积。乘数乘数=积 因数因数=积任何两个自然数的积仍是自然数。也就是说，两个自然数的乘法都可以运算。4、 除法：把一个数平均分成几份的运算。被除数除数=商 （1）除法是乘法的逆运算。 因数因数=积 积因数=另一个因数 被除数商=除数 被除数除数=商 除数商=被除数 （2）两个自然数的除法并不是都可以在自然数范围内运算。也就是说，商不一定是自然数。这说明自然数不够用了，需要把数的范围扩充，引进分数、小数。（二）分数1. 一个物体，一群物体,一个计量单位，一段时间等都可以看作一个整体,用_来表示。2. 分数的意义：把单位“1”_，表示这样的_的数，叫分数。3. 分数的分母不能为_。分母等于_，分数没有意义。（一件东西分0份是没有意义的）4. 分数的基本性质：_5. 真分数：_的分数叫做真分数。真分数_1。 假分数：_的分数，叫做假分数。假分数_1 带分数：假分数可以写成_与_合成的数，通常叫做带分数。 想一想：2x=2x （两个方框中均填或）6.分数和整数 分子是分母的倍数的假分数，都可以写成是整数。例如 任何一个整数，都可以写成分母为1的假分数。例如：（三）小数、小数的意义 把整数1平均分成_份、_份、_份，得到的十分之几、百分之几、千分之几,可以用小数表示。 一个小数由_部分、_部分和_组成。数中的圆点叫做_，小数点左边的数叫做_，小数点右边的数叫做_。、小数的分类 有限小数 小数 无限循环小数 无限小数 无限不循环小数1. 有限小数：_的小数，叫做有限小数。 例如：_都是有限小数。 2. 无限小数：_的小数，叫做无限小数。 例如：_都是无限小数。3.无限循环小数：像_这样的数叫做循环小数。4.无限不循环小数：_叫做无限不循环小数。 例如：_ _（四）小数和分数1所有的分数都可以化成小数。例如：= =2有限小数都可以化成分数例如：3.23564=3无限循环小数都可以化成分数例如：0.33 0.99=4无限不循环小数不能化为分数。除了无限不循环小数外，其他小数都等同于分数。有了分数（包括有限小数和无限循环小数），除法运算都能够进行了。二正数和负数（一）相反意义的量1、在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。例2：温度是零上10和零下5。例3：收入500元和支出237元。例4：水位升高1.2米和下降0.7米。例5：买进100辆自行车和卖出20辆自行车。 这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？ _2、还有哪些具有相反意义的量？_（二）正数和负数 能用我们已经学过的数来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上5用5来表示，零下5呢？也用5来表示，行吗？为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了一种新数，叫做负数。过去学过的那些除零以外的数，叫做正数。正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。 具有相反意义的量，一个规定为_数，另一个就是_数。在一个数前加一个_（也可以不加）,这个数叫_；在一个数前加一个_，这个数叫_。0既不是_，也不是_写出一些正负数：正数_负数_小结正数和负数表示的是一对相反意义的量，哪种意义为正是可以任意规定的。如果把一种意义规定为正，则相反意义的量规定为负。常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。三、有理数的概念（一）有理数的定义与分类、 整数和分数统称为有理数。目前学过的数，除了_外，都是有理数。 无限不循环小数的类型1：:和包含的算式，例如：3，+2 无限不循环小数的类型2：2.010010001，0.415115111511115、有理数的分类：第一种分法：先将有理数按“整”和“分”的属性分， 再按每类数的“正”、“负”的属性分，第二种分法：先将有理数按“正”和“负”的属性分， 再按每类数的“整”、“分”的属性分，想一想： “0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ “2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ 自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？、把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。例如： 所有正数组成的集合，叫做正数集合； 所有负数组成的集合叫做负数集合； 所有整数组成的集合叫整数集合； 所有分数组成的集合叫分数集合； 所有有理数组成的集合叫有理数集合； 所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。 非正数， 非负数， 非正整数， 非负整数（二）数轴1._叫数轴。数轴的方向通常习惯指向_方或上方。2. 整数与数轴（1）任何一个整数都可以用_表示。 0用_表示。 正整数在_，负整数在_。 越往右，表示的数_；越往左，表示的数_（2）并不是数轴上的任何一个点都表示一个整数。3.分数与数轴（1）任何一个分数都可以_表示。 正分数在_，负分数在_。 越往_，表示的数越大;越往_，表示的数越小。（2） 在之间有多少个有理数？_。 在1和2之间有多少个有理数？_；在EF之间有多少个点？_。 在1和之间有多少个有理数？_；在NE之间有多少个点？_。 在1和之间有多少个有理数？_。 任何两个有理数之间有_个有理数；在任何两个点之间有_个点。（3）是不是数轴上的任何一个点都表示一个有理数？为什么？_（三）相反数1.相反数：只有_不同的两个数称互为相反数。其中任意一个是另一个的_。0的相反数是_。想一想：1和_互为相反数。 3的相反数是_2.在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的_侧，并且到原点的距离_。3. 求一个数的相反数，在这个数的前边加一个“”就可以了。想一想：4.6的相反数是_，a的相反数是_，5.4相反数是_。4. 一个数前面有一个“”，可以认为是求这个数的相反数。想一想：（+3）= （5）=（四）绝对值：1.数轴上，表示_叫做这个数的绝对值。 5的绝对值记作：|5|；2.绝对值法则： 正数的绝对值是_； 0的绝对值是_； 负数的绝对值是_。想一想： （五）有理数的大小比较1.在数轴上，越在右方的数_(1) 负数小于