第二章 随机变量及其概率分布.doc

概率论与数理统计教案 信息与数学学院第二章 随机变量及其概率分布讲授内容：1 随机变量，2 离散型随机变量及其概率分布教学目的与要求：1、让学生理解随机变量，离散型随机变量的定义.2、学会求一些简单的随机变量的分布律.3、掌握常见的三种离散型随机变量.重难点：重点常见的几种离散型随机变量难点二项分布的应用.教学方法：课堂讲授教学建议：1、借助于实际的例子使学生理解离散型随机变量概念.2、通过例子使学生分析在什么样的情况适用二项分布.学时：2学时教学过程：在生活当中，经常会接触到一些现象：1)确定性现象：在一定条件下必然发生的现象例：上抛的硬币必然下落； 同性电荷必然相互排斥2)随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象例：相同条件下，上抛的硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，抛掷前无法肯定结果如何 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支；概率论与数理统计已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课 通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力一、 随机变量例 1 考察”抛硬币”试验. 抛一枚硬币, 可能结果有两个: 出现正面或出现反面. 试验的样本空间 , 为了便于研究, 我们将试验结果数量化, 简单地用数表示. 定义如下: 如果出现, 则 ;如果出现, 则. 由于试验结果的出现是随机的, 因此变量的取值也带有随机性. 可以看出对于不同样本点, 取不同的值, 因此变量是定义在样本空间上的函数, 即 为事件，且有确定的概率的值域为.例 2 掷两颗均匀的骰子, 样本空间36 个样本点, 其中表示第一颗、第二颗骰子出现的点数, ，令变量表示两颗骰子出现的点数之和, 的可能取值为 ，是定义在样本空间 上的函数, 即 ,事件有确定的概率. 例如 的值域为.以上两例中的都满足下面的定义：随机变量的定义：设随机试验的样本空间为. 是定义在空间上的实值单值函数,称为随机变量.由此可见, 随机变量就是样本空间到实数轴的单值映射. 若映射的范围只有有限多个或可列无穷多个值, 则称随机变量是离散型的随机变量; 若映射的范围是某个实数区间, 则称随机变量为连续型随机变量.关于随机变量的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如高等数学中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是：随机变量.随机变量与普通函数的区别: 1)随机变量随着试验结果而取不同的值, 因而在试验之前不能预先知道取什么值.2)随机变量取某个值,或在某一范围内取值有一定的概率, 这说明随机变量与普通函 数有本质区别. 3) 普通函数是定义在实数轴上的, 而随机变量是定义在样本空间上的, 而样本空间的元素不一定是实数.随机变量的分类：随机变量二、 离散型随机变量及其分布率离散型随机变量的定义：若随机变量的所有可能取值为有限多个或可列无穷多个值, 则称为离散型随机变量.设离散型随机变量所有可能取值为 取各个值的概率为 (2.1) 满足如下两个条件: 1) 2) 称式(2.1)为离散型随机变量的概率分布或分布律. 分布律也可以用表格形式表示如下: 例3 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数为的概率解 ： 可取值0，1，2 ，.例4 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯, 每盏信号灯以 0.5 的概率为红灯. 以表示汽车首次停下时, 已通过的信号灯盏数. 设各个信号灯的工作是相互独立的, 试求的分布律.解: 以表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，则的分布律为：01234以带入得的分布律为012340.50.250.1250.06250.0625 1.(01)分布(伯努利分布)设随机变量的所有可能取值为 0 与 1, 它的分布律为则称服从分布或伯努利分布, 简记为 ，其中为参数.分布的分布律也可以用表格表示: 012.伯努利试验， 二项分布设试验只有两个可能结果：及，则称为伯努利试验，设，此时.将独立地重复地进行次，则称这一串重复地独立试验为重伯努利试验.注：1）“重复”指在每次试验中保持不变； 2）“独立”指各次试验地结果互不影响.以表示重伯努利试验 中事件发生的次数，随机变量的分布率为其中为正整数,，则称服从参数为得二项分布,简记为满足第一章的例题 7 中,件产品, 有件次品, 有放回地抽取件, 则件中次品数 ，其中次品率例 4 某型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时, 定为一级品. 已知一大批产品的一级品律为 0.2, 现从中任取 20 只, 求 20 只中恰有件一级品的概率.解： 这是不放回抽样, 但由于这批元件总数很大, 抽查元件数量相对很小, 因此可以看作放回抽样, 产生的误差不会很大. 检查一只元件是不是一级品, 相当于一次试验, 检查 20 只元件, 相当 20 重伯努利试验. 20 只元件中一级品数是一个随机变量, 且有, 所求概率为例 5 某人进行射击, 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击中两次的概率.解： 将每次射击看成一次试验, 进行 400 次射击, 看成 400 次伯努利试验,其中击中次数为随机变量, 且. 其概率分布为则所求概率为 3.泊松(Poisson)分布如果随机变量的概率分布为其中为正常数,则称服从参数为的泊松分布, 简记为泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当很大，很小时，二项分布就可近似地看成是参数的泊松分布例 6 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人, 现有同类型设备 300 台, 各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理, 问至少需配备多少工人?解 ：设需配备个人. 同一时刻发生故障的台数 确定最小的, 使得， 从书中查附表, 得最小的是 8, 即至少配备 8 个工人.想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意年还是年零1分钟作业布置：P69: 1,4,5 ; P70: 6,9,10,11.讲授内容：3随机变量的分布函数教学目的与要求：1、让学生理解随机变量的分布函数的定义；2、掌握随机变量的分布函数的性质；3、学会求一些简单的随机变量的分布函数；重难点：重点随机变量的分布函数； 难点求一些简单的随机变量的分布函数.教学建议：1、借助于图象使学生理解型随机变量的分布函数2、通过一些简单的例子使学生会求一些简单的随机变量的分布函数.学时：2学时教学过程：一、随机变量的分布函数许多随机变量的取值是不能一个一个地列举出来的且它们取某个值的概率可能是零.例如，在测试灯泡的寿命时，可认为寿命的取值充满了区间，事件表示灯泡的寿命正好是，在实际中，测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是.也就是说，事件发生的频率在零附近波动，自然可认为.由于有许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，故我们转而讨论随机变量的取值落在某一个区间里的概率，即取定，讨论.因为 ，所以对任何一个实数，只需知道，就可知的取值落在任一区间里的概率了.为此，我们用来讨论随机变量的概率分布情况.定义：设是一个随机变量，是任意实数，则函数称为的 分布函数.有了分布函数，对于任意的实数，随机变量落在区间里的概率可用分布函数来计算：在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况.若把看作是数轴上的随机点的坐标，则分布函数在的函数值就表示落在区间里的概率.分布函数具有以下基本性质：性质1. 是一个单调不减的函数，即当时,.事实上，故.性质2，且.因为，即是落在里的概率，所以对其余两式，我们只给出一个直观的解释，不作严格的证明.事实上，是事件的概率，而是必然事件，故.类似地，是不可能事件，故.性质3，即是右连续的函数.证明从略.反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数.故该三个性质是分布函数的充分必要性质.例1 下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是：（A） （B）（C） （D）解：此题利用随机变量分布函数的性质求解. （C）为正确答案.（A）中（B）中，（C）中（D）中， 因为A，B，D，都不对，则（C）为正确答案.例2 （离散型）设随机变量的分布律为：-123P0.250.50.25求的分布函数，并求概率.解：根据定义知：即，则.总结求离散型随机变量分布函数的计算方法：设离散型随机变量的分布率为则由概率的可列可加性得的分布函数为：即例3 （连续型）在区间中随机取一数，求的分布函数.解：利用几何概率的特点， （区间长度之比）该函数的特点是上升的阶梯函数，函数处处连续.例4 设随机变量的分布函数为：，则概率分布为_.解：的可能取值为的分段点1，1，3.由此可知 因此得到的概率分布为：-113P0.40.40.2注：这是离散型随机变量中，已知分布函数，求概率分布的方法例5 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量的分布函数解：若，则是不可能事件，于是 若，由题意，是某一常数，取由则，即于是 若，则是必然事件，于是 由上述可得：的分布函数为.注：1）图形为一条连续函数2）可以看出分布函数可以写成，其中，即恰是非负函数在区间上的积分.作业布置P70: 13,16,17 2-4 连续型随机变量及其概率密度教学目的与要求：1、理解连续型随机变量及其概率密度的概念.2、理解并掌握连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系.3、掌握三种重要的连续随机变量重难点：重点连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系. 难点正态分布.教学方法：课堂讲授教学建议：1、借助于例子使学生掌握连续型随机变量的分布函数与密度函数之间的关系.2、通过例子使学生学会使用正态分布表.学时： 2学时教学过程：一、 随机变量连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量是一种重要的非离散型的随机变量.在这一节中我们要给出连续型随机变量的定义、性质、概率计算，并介绍一些常用的连续型随机变量的分布.连续型随机变量及其概率密度函数定义 设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有 (2.2)则称为连续型随机变量.称为的概率密度函数或密度函数，也称为概率密度.由（2.2）式知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，且在（2.2）式中改变密度函数在个别点上的函数值，不会改变分布函数的取值，可见密度函数不唯一.由定义可知，密度函数有以下性质：1)2)3)若在点处连续，则由性质3知在的连续点处有它表示了随机变量在区间上的平均概率，其与物理学中线密度的定义类似，故称为密度函数.若不计高阶无穷小，则当很小时，由上式可得它表示落在小区间里的概率近似地等于它在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似.若一个函数满足性质1，则它可以是某个随机变量的密度函数.图 2-1由性质1知，介于曲线与轴之间平面图形的面积为1（图2-1）, 由性质2知,落在区间里的概率等于图2-2中阴影部分的面积.图 2-2特别需要指出的是，对于连续型随机变量来说，它取任一指定的实数值的概率为零，即. 事实上，因令，则上式右端，故.据此，对连续型随机变量，有即在计算落在某区间里的概率时，可以不考虑区间是开的、闭的或半开半闭的情况.这里，事件并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的如为被测试的灯泡的寿命，若灯泡的寿命都在1000个小时以上，则但是事件是一定会发生的，否则就不会出现事件了.可见，不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件.同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件.二、连续型随机变量1. 均匀分布若随机变量具有概率密度函数 则称X在区间上服从均匀分布，记为.在上服从均匀分布的随机变量，具有下述等可能性：即它落在区间中任意长度相同的子区间的概率是相同的，或者说落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.事实上对于任一长度为的子区间有 在上服从均匀分布的随机变量的分布函数为 .和的图形分别如图2-3和图2-4所示.图 2-4图 2-3例10 设随机变量服从上的均匀分布，求一元两次方程,有实根的概率.解： 因为当时有实根,故所求概率为而的密度函数为 且因此所求概率.2.指数分布一般，若随机变量具有概率密度函数其中是常数，则称服从参数为的指数分布.的分布函数为 3. 正态分布若随机变量的概率密度函数为其中和为常数,且,则称随机变量X服从参数为和的正态分布，或高斯(Gauss)分布，记为.容易得知,且.事实上令，则由, 即可知 X的分布函数为.和的图形见图2-5和图2-6 .图 2-6图 2-5曲线以为对称轴，以轴为水平渐近线，在处有拐点,当时取最大值图 2-8另外，当固定，改变的值，的图形沿轴平移而不改变形状，故又称为位置参数(见图2-7).若固定，改变的值，则的图形的形状随着的增大而变得平坦，故称为形状参数(见图2-8)图 2-7参数的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为 分布函数为图 2-10图2-9的函数值,已编制成表可供查用(见文字教材附表)当时,可由来查得的函数值，这是因为的函数值是图2-9中阴影部分的面积，而又是关于轴对称的当时，图2-10中左边阴影部分的面积等于，右边阴影部分的面积等于，由的对称性，可知它们是相等的例11 已知,求.解:,查表,故 引理： 若则.证明：由，则的分布函数可化为即因此例12 已知，求和.解： .例13 设，求.解: 因为所以由例11知.可见在一次试验中落在区间的规律相当大,即几乎必然落在上述区间内,或者说,在一般情形下, 在一次试验中落在区间以外的概率可以忽略不计.这就是通常所说的原理.为了以后便于应用,我们引入标准正态随机变量的分位点的概念.设，给定,给定和分别满足，则称为标准正态分布的上侧百分位点(图2-11)，为双侧百分位点(图2-12).百分位点和在给定后,分别可由查表得到.若则查表可, 图 2-12图 2-11由图形的对称性知道在自然界中，许多社会现象和自然现象中的随机变量都是服从正态分布的.例如,一个地区成年人的身高，农作物的产量以及某零件的尺寸的误差，炮弹的弹着点等等都服从正态分布.另外，许多其他分布也常用正态分布作为近似分布.在概率论及数理统计的理论研究中正态随机变量更起着特别重要的作用因此正态分布是概率论中最重要的分布之一.作业布置：P71:18，20，21，22，23，24，25讲授内容：5 随机变量的函数的分布教学目的与要求：1、理解随机变量的函数的分布的概念；2、会求简单的随机变量函数的概率分布或概率密度与分布函数3、让学生学会如何求一维随机变量函数的分布；重难点：重点连续型随机变量函数的分布. 难点求一维随机变量函数的分布.教学建议：1、借助于实际的例子求一维随机变量函数的分布2、通过例子使学生学会求连续型随机变量函数的分布.学时： 2学时教学过程：一、问题：已知的分布，求的函数的分布.基本原理：利用已知分布的随机变量表示分布未知的随机变量事件，事件相等概率相等.二、离散型随机变量的函数的分布：以例子加以说明求解方法.例1 设随机变量具有以下分布律：X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4求1） 2）的分布律.解：1） -1 2 5 8P 0.2 0.3 0.1 0.42) 的所有可能取值为0，1，4，由, 0 1 4 P 0.1 0.7 0.2 主要解释单值函数和非单值函数之间的关系.总结： 1) 自变量是有限个点的情形，最好是用列表的方法解决；2) 对非单值函数的情形，要进行概率的合并运算；3) 用公式表达的方法进行推理.设随机变量的分布律为 则当的所有取值为时，随机变量有分布律 其中是所有满足的对应的的概率的和，即 .例2 设随机变量的概率密度为：是的分布函数，求随机变量的分布函数.解：由题意可知，当时，； 当时，； 当时，；设是随机变量的分布函数，则可知，当时， 当时， 当时， 于是 的分布函数为.三、 连续型随机变量函数的分布1.步骤：1） 求分布函数；2) 对分布函数求一阶导数，即.对单值函数：例3 求线性函数 的分布函数和密度函数. , 即：对一般的单值函数，求函数变换的密度函数有一定的通式：，则有：.例4 设随机变量具有概率密度函数 求随机变量的概率密度.解：分别记的分