【与名师对话】高考数学总复习 87 立体几何中的向量方法配套课时作业 理 新人教A版.docVIP

【与名师对话】2014年高考数学总复习 8-7 立体几何中的向量方法配套课时作业 理 新人教a版一、选择题1若平面，的法向量分别为u(2,3，5)，v(3，1,4)，则()a bc、相交但不垂直 d以上均不正确解析：uv0，u和v不垂直，则，不垂直；又u和v不平行，则，也不平行因此，相交但不垂直答案：c2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数x，y，z分别为()a.，4 b.，4c.，2,4 d4，15解析：352z0，z4.又bp平面abc，x15y60，3x3y3z0，由得x，y.答案：b3如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是()a45 b60c90 d120解析：以b点为坐标原点，以bc、ba、bb1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设abbcaa12，则b(0,0,0)，c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，(0，1,1)，(2,0,2)cos，.ef与bc1所成角为60.答案：b4(2012年滨州月考)如图，平面abcd平面abef，四边形abcd是正方形，四边形abef是矩形，且afada，g是ef的中点，则gb与平面agc所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：如图，以a为原点建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,2a,0)，c(0,2a,2a)，g(a，a,0)，f(a,0,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)，(0,0,2a)，设平面agc的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1,1)sin.答案：c5在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m为ab的中点，则点c到平面a1dm的距离为()a.a b.a c.a d.a解析：法一：设点c到平面a1dm的距离为h，则由已知得dma1m a，a1da，sa1dma a2，连接cm，scdma2，由vca1dmva1cdm，得sa1dmhscdma，a2ha2a，所以ha，即点c到平面a1dm的距离为a，选a.法二：以a1为原点建立如图所示的坐标系，则a1(0,0,0)，m(，0，a)，d(0，a，a)，c(a，a，a)设面a1dm的法向量为n(x，y，z)则令y1，z1，x2，n(2,1，1)，点c到面a1dm的距离da.答案：a6如图，正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别在a1d，ac上，且a1ea1d，afac，则()aef至多与a1d，ac之一垂直befa1d，efaccef与bd1相交def与bd1异面解析：以d点为坐标原点，以da，dc，dd1所在直线分别为x，y，z轴建系，设正方体棱长为1，则a1(1,0,1)，d(0,0,0)，a(1,0,0)，c(0,1,0)，e(，0，)，f(，0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(，)，(1，1,1)，0，从而efbd1，efa1d，efac.答案：b二、填空题7(2012年烟台模拟)已知向量a(1,2,3)，b(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为_解析：ba(1,1,1)(1,2,3)，则a在向量b上的投影为.答案：8已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_解析：cosm，n，m，n45.二面角为45或135.答案：45或1359正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_解析：如图所示，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)设平面pac的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案：30三、解答题10(2012年上海)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pc的中点已知ab2，ad2，pa2.求：(1)三角形pcd的面积；(2)异面直线bc与ae所成的角的大小解：(1)因为pa底面abcd，所以pacd，又adcd，所以cd平面pad，从而cdpd.因为pd2，cd2，所以三角形pcd的面积为222.(2)法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则b(2,0,0)，c(2,2，0)，e(1，1)，(1，1)，(0,2，0)设与的夹角为，则cos，.由此知，异面直线bc与ae所成的角的大小是.法二：取pb中点f，连接ef、af，则efbc，从而aef(或其补角)是异面直线bc与ae所成的角.在aef中，由ef、af、ae2知aef是等腰直角三角形，所以aef.因此，异面直线bc与ae所成的角的大小是.11(2012年大纲全国)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac2，pa2，e是pc上的一点，pe2ec.(1)证明：pc平面bed；(2)设二面角apbc为90，求pd与平面pbc所成角的大小解：法一：(1)证明：因为底面abcd为菱形，所以bdac，又pa底面abcd，所以pcbd.设acbdf，连接ef.因为ac2，pa2，pe2ec，故pc2，ec，fc，从而，.因为，fcepca，所以fcepca，fecpac90，由此知pcef.pc与平面bed内两条相交直线bd，ef都垂直，所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb，g为垂足因为二面角apbc为90，所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbcpb，故ag平面pbc，agbc.bc与平面pab内两条相交直线pa，ag都垂直，故bc平面pab，于是bcab，所以底面abcd为正方形，ad2，pd2.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc，且ad平面pbc，bc平面pbc，故ad平面pbc，a、d两点到平面pbc的距离相等，即dag.设pd与平面pbc所成的角为，则sin .所以pd与平面pbc所成的角为30.法二：(1)证明：以a为坐标原点，射线ac为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.设c(2，0,0)，d(，b,0)，其中b0，则p(0,0,2)，e(，0，)，b(，b,0)于是(2，0，2)，(，b，)，(，b，)，从而0，0，故pcbe，pcde.又bedee，所以pc平面bde.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面pab的法向量，则m0，m0，即2z0且xby0，令xb，则m(b，0)设n(p，q，r)为平面pbc的法向量，则n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，n(1，)因为面pab面pbc，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为pd与平面pbc所成角和n，互余，故pd与平面pbc所成的角为30.12(2011年天津)如图，在三棱柱abca1b1c1中，h是正方形aa1bb1的中心，aa12，c1h平面aa1b1b，且c1h.(1)求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；(2)求二面角aa1c1b1的正弦值；(3)设n为棱b1c1的中点，点m在平面aa1b1b内，且mn平面a1b1c1，求线段bm的长解：如图所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点，依题意得a(2，0,0)，b(0,0,0)，c(，)，a1(2，2，0)，b1(0,2，0)，c1(，)(1)易得(，)，(2，0,0)于是cos，.所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2，0)，(，)，设平面aa1c1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)，同样地，设平面a1b1c1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)，于是cosm，n.从而sinm，n.所以二面角aa1c1b1的正弦值为.(3)由n为棱b1c1的中点，得n(，)，设m(a，b,0)，则(a，b，)，由mn平面a1b1c1，得即解得故m(，0)，因此(，0)，所以线段bm的长|.热点预测13(2012年河南郑州三模)如图，在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形，aa1平面abc，aa12ab，n是cc1的中点，m是线段ab1上的动点(1)当m在什么位置时，mnaa1，请给出证明；(2)若直线mn与平面abn所成角的大小为，求sin 的最大值解：(1)当m是线段ab1的中点时，mnaa1.下面给出证明：如图，以ab，aa1所在直线为x轴，