有关三角形全等的判定.doc

教学内容一、情景导入 本节课，我们来复习全等三角形的相关知识，一方面巩固基础，另一方面着重讲解了全等三角形的证明的考察方式。 二、知识梳理知识点1：能够完全重合的两个图形叫做全等形。知识点2：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。(两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。)知识点3：全等三角形的符号表示、读法：与全等记作，“”读作“全等于”。(两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角)。知识点4：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。知识点5：三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“”。 （2）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“”。 （3）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“”。 （4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“”。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“”。(特别注意：、不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。)知识点6：证明三角形全等寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；三、同步题型分析题型1：全等三角形的性质例1如图1所示，ACFDBE，E=F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？ 变式训练：如图2所示，ABCAEC，B=30，ACB=85，求出AEC各内角的度数（AEC=30，EAC=65，ECA=85）题型二：全等三角形证明之SSS证明的书写步骤（题型二至题型五君要注意书写步骤）准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。例1如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，BAC=72，F=32，则ABC= 变式训练如图，已知AB=AC，BD=DC，那么下列结论中不正确的是（ ）AABDACD BADB=90CBAD是B的一半DAD平分BAC例2如图，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明DEH=DFH。试用你所学的知识说明理由。变式训练如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明A=C.变式训练.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD. 求证：C=A.题型三：全等三角形证明之SAS例1如图1，ABCD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形( )A.3 B.4 C.5 D.6变式训练.如图2，AB=AC，AD=AE，欲证ABDACE，可补充条件( )A.1=2 B.B=C C.D=E D.BAE=CAD变式训练.如图3，AD=BC，要得到ABD变式训练.和CDB全等，可以添加的条件是( ) A.ABCD B.ADBC C.A=C D.ABC=CDA例2.如图，在ABC和DEF中，B、E、F、C，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.AB=DE； AC=DF； ABC=DEF； BE=CF.变式训练.如图，ABBD，DEBD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB试判断AC与CE的位置关系，并说明理由 如图，若把CDE沿直线BD向左平移，使CDE的顶点C与B重合，此时第问中AC与BE的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)题型四：全等三角形证明之ASA或AAS 例1. 已知：如图ACCD于C , BDCD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF变式训练.已知：如图 , E、D、B、F在同一条直线上 , ADCB , BAD=BCD , DE=BF求证：AECF.变式训练.已知：如图 , AE=BF , ADBC , AD=BC.AB、CD交于O点求证：OE=OF题型五：全等三角形证明之HL（作为直角三角形全等的独特证法） 例1. 如图，ABC中，D是BC上一点，DEAB于E，DFAC于F，且AE=AF.连接EF。求证：AD垂直平分EF变式训练.如图，ABC的高BD、CE相交于O,且OD=OE求证：AB=AC.变式训练.如图，已知ADBD，AEEC，AD=AE，AB=AC，BD、CE交于点0求证：(1)BD=CE; (2)OE=OD; (3)BE=CD.四、达标检测1.如图，AD、BE是ABC的两条高，它们交于点F，且BF=AC，CD=DF，ED平分BEC求证：ABE=ADE2.如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AGEF于G，若EAF=45，求证：AG=AD3.如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，试求AMN的周长4. 如图在ABC和DBC中 , 1=2 , 3=4 , P是BC上任意一点 求证：PA=PD.五、小结1重点：会确定全等三角形的对应元素2难点：掌握找对应边、对应角的方法3关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角4注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，三个角对应相等，即AAA；有两边和其中一角对应相等，即SSA。5.全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 一、情景导入 上节内容已经详细具体地介绍了三角形全等的相关知识，列举了三角形全等简单证明的几种考察方式，本节课我们进一步加大难度，来学习关于三角形全等的较难的考察方式，即从题干所给图形中无法直接提炼出全等三角形，此时，我们就需要想到通过作辅助线来解决问题。 二、知识梳理1.常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答2.常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如： 过点A作BC的平行线AF交DE于F过点A作BC的垂线，垂足为D延长AB至C，使BCAC在AB上截取AC，使ACDE作ABC的平分线，交AC于D取AB中点C，连接CD交EF于G点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同二、专题考点精讲考点一：倍长中线（线段）造全等例1.如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.变式训练.如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.考点二：截长补短例1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC变式训练.如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD过点E，求证;ABAC+BD变式训练.如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP考点三：平移变换例1. AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.变式训练.如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.考点四：旋转例1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 变式训练.D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。变式训练.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；三、课后练习1.如图5，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BECD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AFAE交CD于点F求证：AE=AF；2.如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 3.如图，AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N。（1） 在图（1）中，1与2有什么关系？并说明理由。（2）若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的1与2的关系成立吗四、学法提炼1、专题特点：本节详细地介绍了四种辅助线的作法来帮助我们解决三角形全等的相关问题2、解题方法：全面掌握几类题型，平常多注重积累，作辅助线时应该紧密联系需要证明的问题，当遇到正面无法直接证明的问题，考虑从结论除法，逆推，从而解决问题。3、注意事项：解决几何题时，画图尽量准确，建议尺规铅笔作图。 一、情景导入 在学校已经学习了角平分线的相关知识，是否还记得如何作一个角的平分线，尺规作图并保留作图痕迹，作一个角的平分线实际上属于较基础的题，那么今天我们就要来学习角平分线的知识解决一系列的问题，例如三角形全等问题，求角度或者判断角度关系等问题。二、知识梳理1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的角平分线。2.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等3.角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上三、题型分析题型一：借助角平分线造全等例1.如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD变式训练.如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.题型二：利用角平分线的定义（平分角）例1. 在RtABC中，锐角CAB的平分线与锐角ABC的邻补角的平分线交于点D，则ADB=_变式训练.ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP= _变式训练.已知ABC中，、分别是及平分线求证：题型三.角平分线的性质定理（角平分线上的点到角的两边的距离相等）例1.OC是AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD交OA于点D，PEOB于点E。求证：OE=OD变实训练.AD平行于BC，ABC的角平分线BP与BAD的角平分线AP相交于点P，作PEAB于点E若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_变式训练.已知的周长是21，分别平分和，于，且，则的面积等于_ 题型四.角平分线的判定定理（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）例1. 已知ABC的外角CBD和BCE的平分线交于点F。求证：点F在DAE的平分线上变式训练.如图，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE交于点H，连CH 求证：CH平分AHE变式训练.点M（2 ，2），将一个的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分OAB交OM于P ，PNx轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1） 求证：OM平分AOB；（2） 求OA+OB的值；（3） 的值是否发生变化？试证明你的结论。题型五：（角平分线与平行线结合and 角平分线与垂线结合）构造等腰三角形其基本型如下：例1. 已知点O是等边三角形ABC的内心，过O作ODAB，OEAC，分别交BC于点D、E，若AB=10，求OD+DE+OE的长变式训练.过线段AB的二侧作直线平行,作同旁内角的角平分线交于点E，过点E作直线m，分别和直线、交于点D、C（D、C在AB的同侧，且与A、B不重合）求证：AD+BC=AB变式训练.如图，AOB中，OA=OB，AOB=，BD平分ABO交OA于D ，AEBD于E.求证：BD=2AE.变式训练.如图，点P为AEF外一点，PA平分EAF，PDEF于D，且DE=DF，PBAE于B.求证：题型五：由角的对称性，利用角平分线翻折构造全等三角形角平分线最重要的性质就是它的轴对称性，其它均可由此推出，很多的解题方法也是由此作为基础的例1. 已知AD为ABC的角平分线，C=2B，求证：AB=AC+CD题型六：三角形的内心三角形三内角平分线相交于一点，这点到三边的距离相等，是内切圆的圆心。例1. I是ABC的内心，A=80，则BIC=_变式训练.如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管