江苏省盐城市东台市创新学校高三数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题：（共14小题，每题5分，满分70分）1已知集合m=0，1，3，集合n=x|x=3a，am，则mn=2若复数为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是3已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）在复平面内，z1z2对应的点在第象限4命题“xr，x0”的否定是：（用符号表示）5已知an是等差数列，若2a7a5=3，则a9的值是6将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为7在平面直角坐标系xoy中，若双曲线的渐近线方程是y=2x，且经过点（，2），则该双曲线的方程是8若cos（）=，则sin（2）的值是9若a2ab+b2=1，a，b是正实数，则a+b的最大值是10如图，在正三棱柱abca1b1c1中，若各条棱长均为2，且m为a1c1的中点，则三棱锥mab1c的体积是11设函数f（x）是定义在r上的奇函数，但x0时，f（x）=x2+x，则关于x的不等式f（x）2的解集是12已知光线通过点m（3，4），被直线l：xy+3=0反射，反射光线通过点n（2，6），则反射光线所在直线的方程是13如图，已知abc中，ab=ac=4，bac=90，d是bc的中点，若向量=+m，且的终点m在acd的内部（不含边界），则的取值范围是14已知函数f（x）=x22ax+a21，若关于x的不等式f（f（x）0的解集为空集，则实数a的取值范围是二、解答题本大题共6小题，1517每小题14分，1820每小题14分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，b=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tana=2，求tanc的值16如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，且pb=pd（1）求证：bdpc； （2）若平面pbc与平面pad的交线为l，求证：bcl17如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知ab为直径，且ab=2km，o为圆心，c为圆周上靠近a的一点，d为圆周上靠近b的一点，且cdab，现在准备从a经过c到d建造一条观光路线，其中a到c是圆弧，c到d是线段cd，设aoc=x rad，观光路线总长为y km（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值18已知函数f（x）=ex（其中e是自然数的底数），g（x）=x2+ax+1，ar（1）记函数f（x）=f（x）g（x），且a0，求f（x）的单调增区间；（2）若对任意x1，x2，x1x2，均有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求实数a的取值范围19如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：+=1，设r（x0，y0）是椭圆c上的任一点，从原点o向圆r：（xx0）2+（yy0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点p，q（1）若直线op，oq互相垂直，求圆r的方程；（2）若直线op，oq的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问op2+oq2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由20已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，若s4=10，s13=91（1）求sn；（2）若数列mn满足条件：m1=st1，当n2时，mn=stn，其中数列tn单调递增，且t1=1，tnn*试找出一组t2，t3，使得m22=m1m3；证明：对于数列an，一定存在数列tn，使得数列mn中的各数均为一个整数的平方三.附加题（选修4-2：矩阵与变换）21已知二阶矩阵a有特征值1=1及对应的一个特征向量和特征值2=2及对应的一个特征向量，试求矩阵a及其逆矩阵a1（选修4-4：坐标系与参数方程）22在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程是（是参数）若以o为极点、x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线c的极坐标方程四.解答题23如图，在直三棱柱abca1b1c1中，已知bac=90，ab=ac=1，aa1=3，点e，f分别在棱bb1，cc1上，且c1f=c1c，be=bb1，01（1）当=时，求异面直线ae与a1f所成角的大小；（2）当直线aa1与平面aef所成角的正弦值为时，求的值24已知数列an的各项均为正整数，对于任意nn*，都有2+2+成立，且a2=4（1）求a1，a3的值；（2）猜想数列an的通项公式，并给出证明2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（共14小题，每题5分，满分70分）1已知集合m=0，1，3，集合n=x|x=3a，am，则mn=0，3考点： 交集及其运算专题： 计算题分析： 由x=3a，am，根据m确定出n，求出m与n的交集即可解答： 解：集合n中x=3a，am，m=0，1，3，x=0，3，9，即n=0，3，9，mn=0，3故答案为：0，3点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2若复数为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是1考点： 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出解答： 解：复数=为纯虚数，解得a=1故答案为：1点评： 本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义，属于基础题3已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）在复平面内，z1z2对应的点在第二象限考点： 复数的代数表示法及其几何意义专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答： 解：复数z1=1+3i，z2=3+i，z1z2=（1+3i）（3+i）=2+2i，对应的点为（2，2）在复平面内，z1z2对应的点在第 二象限故答案为：二点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题4命题“xr，x0”的否定是：xr，x0（用符号表示）考点： 特称命题；命题的否定专题： 规律型分析： 根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定解答： 解：命题“xr，x0”为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：xr，x0故答案为：xr，x0点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题5已知an是等差数列，若2a7a5=3，则a9的值是3考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 直接利用等差数列的性质结合已知得答案解答： 解：在等差数列an中，a5+a9=2a7，2a7a5=3，2a7=a5+3a5+a9=a5+3，得a9=3故答案为：3点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，基本知识的考查6将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为考点： 排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式专题： 计算题；概率与统计分析： 确定所有放法，求出在1，2号盒子中各有1个球的放法，即可得到结论解答： 解：甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个球都有3种放法，故共有33=9种放法在1，2号盒子中各有1个球，有2种放法在1，2号盒子中各有1个球的概率为故答案为：点评： 本题考查排列知识，考查概率的计算，属于基础题7在平面直角坐标系xoy中，若双曲线的渐近线方程是y=2x，且经过点（，2），则该双曲线的方程是考点： 双曲线的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设双曲线方程为（0），把点（，2）代入，能求出双曲线方程解答： 解：双曲线的渐近线方程是y=2x，设双曲线方程为（0），双曲线经过点（，2），2=，解得=1，双曲线方程为故答案为：点评： 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用8若cos（）=，则sin（2）的值是考点： 二倍角的余弦；三角函数的化简求值专题： 三角函数的求值分析： 直接利用诱导公式化简所求表达式，通过二倍角的余弦函数，结合已知条件求解即可解答： 解：cos（）=，sin（2）=cos（2+）=cos（2）=2cos2（）1=2=故答案为：点评： 本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查9若a2ab+b2=1，a，b是正实数，则a+b的最大值是2考点： 基本不等式在最值问题中的应用专题： 不等式的解法及应用分析： 由a、b为两正数，通过平方以及由基本不等式可得到a+b的不等式，即可求出最大值解答： 解：a0，b0，a2ab+b2=1=（a+b）23ab，ab，1（a+b）23，可得（a+b）24，a+b2，当且仅当a=b=1时取到“=”故答案为：2点评： 本题考查基本不等式，易错点在于忽视等号成立的条件，属于基本知识的考查10如图，在正三棱柱abca1b1c1中，若各条棱长均为2，且m为a1c1的中点，则三棱锥mab1c的体积是2考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 空间位置关系与距离分析： 由，利用等积法能求出三棱锥mab1c的体积解答： 解：在正三棱柱abca1b1c1中，各条棱长均为2，且m为a1c1的中点，samc=2，mb1平面amc，且b1m=，=故答案为：点评： 本题考查三棱锥mab1c的体积的求法，是中档题，解题时要注意等积法的合理运用11设函数f（x）是定义在r上的奇函数，但x0时，f（x）=x2+x，则关于x的不等式f（x）2的解集是x|x2考点： 奇偶性与单调性的综合专题： 函数的性质及应用分析： 本题可以先利用函数的奇偶性，由x0时的解析式求出x0的解析式，将不等式f（x）2转化为关于x的不等式，解不等式组，得到本题结论解答： 解：函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（x）=f（x）当x0时，f（x）=x2+x，当x0时，x0，f（x）=f（x）=x2+x不等式f（x）2，或，x2关于x的不等式f（x）2的解集是x|x2点评： 本题考查了函数的奇偶性和解不等式，本题难度不大，属于基础题12已知光线通过点m（3，4），被直线l：xy+3=0反射，反射光线通过点n（2，6），则反射光线所在直线的方程是y=6x6考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程专题： 直线与圆分析： 求出m关于xy+3=0的对称点的坐标，利用两点式方程求出反射光线所在的直线方程解答： 解：光线通过点m（3，4），直线l：xy+3=0的对称点（x，y），即，k（1，0），n（2，6），mk的斜率为6，反射光线所在直线的方程是 y=6x6，故答案为：y=6x6，点评： 对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力13如图，已知abc中，ab=ac=4，bac=90，d是bc的中点，若向量=+m，且的终点m在acd的内部（不含边界），则的取值范围是（2，6）考点： 向量在几何中的应用专题： 计算题；作图题；平面向量及应用分析： 以ab为x轴，ac为y轴，作图如右图，利用向量的坐标运算求的取值范围解答： 解：以ab为x轴，ac为y轴，作图如右图，点a（0，0），b（4，0），c（0，4），d（2，2），则=+m=（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则m（1，4m），又的终点m在acd的内部（不含边界），14m3，m，则=（1，4m）（3，4m）=16m23，m，216m236；故答案为：（2，6）点评： 本题考查了向量在平面几何中的运用，属于基础题14已知函数f（x）=x22ax+a21，若关于x的不等式f（f（x）0的解集为空集，则实数a的取值范围是a2考点： 其他不等式的解法专题： 函数的性质及应用分析： 由f（x）0解得a1xa+1，不等式f（f（x）0a1f（x）a+1，原不等式的解集为空集，得到a1f（x）a+1解集为空集，那么（a1，a+1）与值域的交集为空集，求出a的范围解答： 解：f（x）=x22ax+a21=x22ax+（a1）（a+1）=由f（x）0即0解得a1xa+1，那么不等式f（f（x）0a1f（x）a+1 （*）又f（x）=（xa）21当x=a时，f（x）取得最小值1即函数的值域为（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tana=2，求tanc的值考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： （1）abc中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c24ccos，由此求得c的值（2）由tana=2，tanb=tan=，再根据tanc=tan（a+b）=，计算求得结果解答： 解：（1）abc中，a=2，b=2，b=，由余弦定理可得 b2=12=4+c24ccos=4+c22c，求得c=4，或c=2（舍去），即c=4（2）若tana=2，tanb=tan=，tanc=tan（a+b）=点评： 本题主要考查余弦定理、两角和的正切公式，属于基础题16如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，且pb=pd（1）求证：bdpc； （2）若平面pbc与平面pad的交线为l，求证：bcl考点： 直线与平面平行的性质专题： 空间位置关系与距离分析： （1）根据线面垂直的性质证明bd平面pac即可（2）根据线面平行的性质定理证明bc平面pad即可解答： 解：（1）设ac与bd的中点为o，连结po，pb=pd，pobd，底面abcd是菱形，bdac，poac=0，bd平面pac，pc平面pac，bdpc（2）bcad，bc面pad，ad面pad，bc面pad平面pbc与平面pad的交线为l，bcl点评： 本题主要考查空间直线和平面垂直的性质以及线面平行的性质的应用，要求熟练掌握相应的定理17如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知ab为直径，且ab=2km，o为圆心，c为圆周上靠近a的一点，d为圆周上靠近b的一点，且cdab，现在准备从a经过c到d建造一条观光路线，其中a到c是圆弧，c到d是线段cd，设aoc=x rad，观光路线总长为y km（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值考点： 根据实际问题选择函数类型专题： 应用题；导数的综合应用分析： （1）由题意得y=1x+1sin（x）2，化简并写出定义域（0x）；（2）求导y=12cos（x）以确定函数的单调性，从而求最大值解答： 解：（1）由题意得，y=1x+1sin（x）2=x+2sin（x），（0x）；函数的定义域为x|0x；（2）y=12cos（x），令y=0解得，x=，故当x=时，观光路线总长最大，最大值为+2=+（km）点评： 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题18已知函数f（x）=ex（其中e是自然数的底数），g（x）=x2+ax+1，ar（1）记函数f（x）=f（x）g（x），且a0，求f（x）的单调增区间；（2）若对任意x1，x2，x1x2，均有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求实数a的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： （1）求出函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间；（2）设x1x2，因为g（x）=ex在单调递增，故原不等式等价于|f（x1）f（x2）|g（x2）g（x1）在x1、x2，且x1x2恒成立，当a（ex+2x）恒成立时，a1；当aex2x恒成立时，a22ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围解答： 解：（1）y=f（x）g（x）=（x2+ax+1）ex，f（x）=ex，令f（x）=0，则x2+（a+2）x+（a+1）=0，即（x+1）=0，解得x=1，或x=a1a0，a11，x时，y0，x（，a1）和（1，+）时，y0，函数f（x）的单调增区间为（，a1）和（1，+），（2）设x1x2，因为f（x）=ex在单调递增，故原不等式等价于|f（x1）f（x2）|g（x2）g（x1）在x1、x2，且x1x2恒成立，所以g（x1）g（x2）f（x1）f（x2）g（x2）g（x1）在x1、x2，且x1x2恒成立，即，在x1、x2，且x1x2恒成立，则函数f（x）=g（x）f（x）和g（x）=f（x）+g（x）都在单调递增，则有，在恒成立，当a（ex+2x）恒成立时，因为（ex+2x）在单调递减，所以（ex+2x）的最大值为1，所以a1；当aex2x恒成立时，因为ex2x在单调递减，在单调递增，所以ex2x的最小值为2ln2，所以a22ln2，综上：1a22ln2点评： 本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题19如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：+=1，设r（x0，y0）是椭圆c上的任一点，从原点o向圆r：（xx0）2+（yy0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点p，q（1）若直线op，oq互相垂直，求圆r的方程；（2）若直线op，oq的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问op2+oq2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）通过直线op，oq互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程，求出圆的圆心，然后求圆r的方程；（2）因为直线op：y=k1x，oq：y=k2x，与圆r相切，推出k1，k2是方程=的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2结合点r（x0，y0）在椭圆c上，证明2k1k2+1=0（3）op2+oq2是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线不落在坐标轴上时，设p（x1，y1），q（x2，y2），联立，推出，由，求出op2+oq2是定值（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有op2+oq2=36法二：（i）当直线op，oq不落在坐标轴上时，设p（x1，y1），q（x2，y2），通过2k1k2+1=0，推出，利用p（x1，y1），q（x2，y2），在椭圆c上，联立，推出op2+oq2=36即可解答： 解：（1）由圆r的方程知，圆r的半径的半径，因为直线op，oq互相垂直，且和圆r相切，所以，即，（1分）又点r在椭圆c上，所以，（2分）联立，解得（3分）所以所求圆r的方程为 （4分）（2）因为直线op：y=k1x，oq：y=k2x，与圆r相切，所以，化简得=0（6分）同理，（7分）所以k1，k2是方程的两个不相等的实数根，（8分）因为点r（x0，y0）在椭圆c上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0 （10分）（3）op2+oq2是定值，定值为36，（11分）理由如下：法一：（i）当直线不落在坐标轴上时，设p（x1，y1），q（x2，y2），联立解得（12分）所以，同理，得，（13分）由，所以=36（15分）（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有，综上：op2+oq2=36 （16分）法二：（i）当直线op，oq不落在坐标轴上时，设p（x1，y1），q（x2，y2），因为2k1k2+1=0，所以，即，（12分）因为p（x1，y1），q（x2，y2），在椭圆c上，所以，即，（13分）所以，整理得，所以，所以op2+oq2=36 （15分）（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有op2+oq2=36，综上：op2+oq2=36 （16分）点评： 本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力转化思想的应用20已知数列an是等差数列，其前n项和为sn，若s4=10，s13=91（1）求sn；（2）若数列mn满足条件：m1=st1，当n2时，mn=stn，其中数列tn单调递增，且t1=1，tnn*试找出一组t2，t3，使得m22=m1m3；证明：对于数列an，一定存在数列tn，使得数列mn中的各数均为一个整数的平方考点： 数列与函数的综合；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （1）利用已知条件，列出方程组，直接求解首项与公差，然后求sn；（2）通过，通过t2=2，3，4分别求解推出t3=13，即可由，推出一般的取，通过mn=，化简整理，得到mn为一整数平方解答： 解：（1）设数列an的首项为a1，公差为d，由s4=10，s13=91，得，（2分）解得，所以（4分）（2）因为m1=s1=1，若t2=2，m2=s2s1=31=2，因为，所以，t3（t3+1）=14，此方程无整数解； （6分）若t2=3，m2=s3s1=61=5，因为，所以，t3（t3+1）=62，此方程无整数解；（8分）若t2=4，m2=s4s1=101=9，因为，所以，t3（t3+1）=182，解得t3=13，所以t2=4，t3=13满足题意（10分）由知t1=1，t2=1+3，则m1=1，一般的取，（13分）此时，则mn=，所以mn为一整数平方因此存在数列tn，使得数列mn中的各数均为一个整数的平方（16分）点评： 本题考查是与函数的综合应用，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力三.附加题（选修4-2：矩阵与变换）21已知二阶矩阵a有特征值1=1及对应的一个特征向量和特征值2=2及对应的一个特征向量，试求矩阵a及其逆矩阵a1考点： 二阶矩阵；特征值与特征向量的计算专题： 计算题分析： 设矩阵，则有，因为是矩阵a的属于2=2的特征向量，则有，由此能够求出矩阵a及其逆矩阵a1解答： 解：设矩阵，这里a，b，c，dr，因为是矩阵a的属于1=1的特征向量，则有，又因为是矩阵a的属于2=2的特征向量，则有，根据，则有从而a=2，b=1，c=0，d=1，因此，（6分）根据题意分别是矩阵a1属于特征值1，的特征向量，不妨设，则有，则得从而，因此（10分）点评： 本题考查矩阵的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用（选修4-4：坐标系与参数方程）22在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程是（是参数）若以o为极点、x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线c的极坐标方程考点： 圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程专题： 直线与圆分析： 求得圆c的直角坐标方程为 x2+（y1）2=1，把x=cos y=sin 代入化简可得曲线c的极坐标方程解答： 解：求得圆c的直角坐标方程为 x2+（y1）2=1，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆把x=cos y=sin 代入化简可得 （cos）2+（sin1）2=1，即 =2sin点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程，把直角坐标方程化为