三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.2 二项式定理课件.ppt

10 2二项式定理 1 二项式定理 a b n an an 1b1 an rbr bn n n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 c 2 几个基本概念 1 二项展开式 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 2 项数 二项展开式中共有n 1项 3 二项式系数 在二项展开式中各项的系数 r 0 1 2 n 叫做 4 通项 二项展开式中的an rbr叫做二项展开式的通项 用tr 1表示 即通项为展开式的第r 1项 tr 1 an rbr r 0 1 n 二项式系数 c 4 通项公式主要用于求二项式的指数 求满足条件的项或系数 求展开式的某一项或系数 在运用公式时要注意以下几点 1 an kbk是第k 1项 而不是第k项 2 运用通项公式tk 1 an kbk解题时 一般都需先转化为方程 组 求出n k 然后代入通项公式求解 3 求展开式的一些特殊项 通常都是由题意列方程 组 求出k 再求所需的某项 有时需要求n 计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系 3 在二项式定理中 如果设a 1 b x 则得到公式 1 x n 1 x x2 x3 xn 若a 1 b x 则得到公式 1 x n 1 x x2 1 nxn 5 在 a b n的展开式中 令a b 1 得 2n 令a 1 b 1 得 0 2n 1 这种由一般到特殊的方法叫 赋值法 6 二项式系数的性质 1 对称性与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 事实上 这一性质直接由公式 得到 2 增减性 当k 时 二项式系数逐渐增大 由对称性知后半部分是逐渐减小的 3 最大值当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 最大值为 c 当n为奇数时 中间两项的二项式系数相等 且同时取得最大值 最大值为 或 c 1 设二项式的展开式的各项系数和为p 所有二项式系数的和是s 若p s 272 则n a 6b 5c 4d 8答案c中令x 1 得4n p 所有二项式系数的和为2n s 所以4n 2n 272 解得n 4 c 2 2x 3 5的展开式中x2项的系数为 a 2160b 1080c 1080d 2160答案b因为tr 1 2x 5 r 3 r 令5 r 2 得r 3 故含x2项的系数是22 3 3 1080 故选b 3 在的二项展开式中 若常数项为60 则n等于 a 3b 6c 9d 12答案btr 1 n r 2r 由 0 知n 3r 展开式中的常数项为 60 若n 3 则 6 60 排除a 同理 将n 6 9 12代入一一验证得n 6 故选b c c 4 已知 x 1 15 a0 a1x a2x2 a15x15 则a0 a1 a2 a7等于 a 215b 214c 28d 27答案b x 1 15 x15 x14 x13 x15 r a15x15 a14x14 a13x13 a1x a0 a0 a1 a2 a7 214 故选b c 5 的展开式中 只有第五项的二项式系数最大 则展开式中的常数项是 答案7解析只有第五项的二项式系数最大 所以n 8 tr 1 1 r2r 8 令 0 得r 6 所以常数项为 1 626 8 7 6 设a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a2015 x 1 2015 x2 x 1 1007 x 2 则a1 a2 a2015的值为 答案1解析在已知式中令x 1 得a0 1 再令x 0 得a0 a1 a2 a2015 2 所以a1 a2 a2015 1 c c 求展开式中的指定项或指定项的系数典例1 1 2015湖南 6 5分 已知的展开式中含的项的系数为30 则a a b c 6d 6 2 2015课标 10 5分 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 a 10b 20c 30d 60 3 2015天津 12 5分 在的展开式中 x2的系数为 答案 1 d 2 c 3 解析 1 的展开式的通项为tr 1 5 r a r 依题意 令5 2r 3 得r 1 a 1 30 a 6 故选d 2 x2 x y 5 x2 x y 5的展开式中只有 x2 x 3y2中含x5y2 易知x5y2的系数为 30 故选c 3 的展开式的通项为tr 1 x6 r x6 2r 令6 2r 2 得r 2 所以x2的系数为 1 化简通项时注意通项表示的是第r 1项而不是第r项 应用通项时注意两点 2 常数项是指通项中字母的指数为0的项 有理项是指通项中字母的指数为整数的项 1 1 2015浙江稽阳联谊学校联考 1 04 1 已知的展开式中存在常数项 求当正整数n取最小值时的展开式中的常数项 解析tr 1 x2 n r x 3r x2n 5r 由2n 5r 0得r r 0 1 2 n nmin 5 此时r 2 常数项为 10 1 2 2015浙江宁波宁海中学阶段检测 在的展开式中 x的幂指数是整数的项共有 a 3项b 4项c 5项d 6项 答案c解析因为tr 1 24 r 故当r 0 6 12 18 24时 幂指数为整数 共有5项 c c 研究二项式系数典例2 1 2015湖北 3 5分 已知 1 x n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等 则奇数项的二项式系数和为 a 212b 211c 210d 29 2 2015浙江新高考研究卷自选模块四 舟山中学 04 1 在二项式的展开式中 各项系数之和为a 各项二项式系数之和为b 且a b 72 求展开式中的常数项 答案 1 d解析 1 1 x n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为 得n 10 c 从而有 210 又 奇数项的二项式系数和为 29 2 令x 1 得a 4n 又b 2n 所以4n 2n 72 所以2n 8 所以n 3 此时展开式的通项为tk 1 3k x k 3k 令 0 得k 1 展开式中的常数项为3 9 1 二项式定理给出的是一个恒等式 对于a b的一切值都成立 因此 可将a b设定为一些特殊的值 在使用赋值法时 令a b等于多少 应视具体情况而定 一般取 1 1或0 有时也取其他值 2 一般地 若f x px q n a0 a1x a2x2 anxn 则f x 的展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 2 1 2015浙江镇海中学新高考调研卷一 17 已知 1 x 2015 a0 a1x a2x2 a2015x2015 求 a0 a1 a2 a1007 2 2012的值 解析 a0 a1 a2 a2015 22015 且a0 a2015 a1 a2014 a2 a2013 a1007 a1008 a0 a1 a2 a1007 a2015 a2014 a2013 a1008 22015 22014 a0 a1 a2 a1007 2 2012 4 c 2 2已知 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a9x9 则 a0 a1 a2 a9 等于 a 29b 49c 39d 1答案b解析x的奇数次方的系数都是负值 a0 a1 a2 a9 a0 a1 a2 a3 a8 a9 已知条件中只需赋值x 1即可 故选b c 二项式系数的最值问题典例3 2015浙江镇海中学新高考调研卷二 17 已知的展开式中前三项的系数成等差数列 求展开式中系数最大的项 解析由题设 得 2 即n2 9n 8 0 解得n 8或n 1 舍去 设第k 1项的系数最大 则 即 k 2或k 3 所以系数最大的项为t3 7x5 t4 7 c 有关二项式系数和项的系数的最值问题 其关键是要明确 二项展开式的二项式系数与该项的系数