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专题四 与弹簧相关的问题【专题分析】与弹簧相关的问题可以和高中物理大部分章节综合，从牛顿定律连接体问题到动量、机械能问题，从电场到复合场问题，都有可能遇到弹簧。弹簧问题涉及的物理过程比较复杂，对考生要求较高，同时，这类问题在各种试卷中包括高考题，出现的频度很高，可以以选择题的形式出现，也可以出现在计算题中。虽然弹簧问题过程复杂，难度比较高，属于考生比较头疼的类型，但是进行分类的话，弹簧类问题只涉及三种情况：1、胡克定律问题。在涉及弹簧弹力大小的计算或弹簧长度的求解时，需要使用胡克定律，此时一定要区分好弹簧长度与弹簧的形变量。2、弹性势能问题。弹性势能的公式高中不作要求，但应该掌握弹性势能随弹簧形变量的增加而增大。当形变量为零时，弹性势能为零；形变量相同，弹性势能相同。其中，形变量指的是弹簧的伸长量或压缩量。例如，同一根弹簧被压缩2cm和被拉长2cm所对应的弹性势能是一样的。3、简谐运动问题。做简谐运动的弹簧振子遵循简谐振动的规律，尤其是振动的对称性，使用得当，可以大大简化解题过程。如果在弹簧类题目中做如上分析，分类求解，可以降低试题难度。mAFk1k2图3-4-1【题型讲解】题型一 求解弹力胡克定律问题例题1：如图3-4-1所示，物体质量为m，其上下各栓接一弹簧，劲度系数分别为k1、k2，k2与地面未连接，现在k1上端A点施加一外力F缓慢上提，求当下方弹簧弹力变为原来的时，A点上升的距离。解析：题目中所谈缓慢上提，可以认为整个系统始终处于平衡状态。A点上升的距离，实际上等于两弹簧前后总长的差值，因此应分析出两弹簧的初态和末态的情况，对比后得出长度的改变量，从而得出结果。同时注意下面的弹簧由于和地面未连接，所以不能被拉长。在开始时，弹簧k1处于原长，形变量x1=0，弹簧k2弹力为mg，形变量x2=；当k2弹力变为原来的1/3时，形变量x2=，上方弹簧的弹力应为，形变量，被拉长。所以，k1长度变化为x1=k2长度变化为x1=A点上升的距离为 OmL0图3-4-2变式训练如图3-4-2所示，在光滑的水平面上，用一轻质弹簧连接一小球，使小球绕弹簧的另一端做匀速圆周运动。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧原长为L0，小球质量为m，圆周运动的角速度为，求此时弹簧的长度及弹力。（答案：；）思考与总结 题型二 求解弹性势能能量转化守恒问题a图3-4-3bv0例题2：如图3-4-3所示，a、b两球质量均为m，小球b上连一轻质弹簧，静止在光滑水平面上。小球a以速度v0向小球b运动，求弹簧上的最大弹性势能。 解析：题目表面上是弹簧类题目，但实质是动量守恒模型中的弹簧问题。当弹簧势能最大时，弹簧处于最长或最短状态，由动量模型可知，此时两球速度相同。两球运动过程中动量守恒，当弹簧最短时，速度相同此时弹簧上弹性势能最大，由机械能守恒定律两式联立可得：P图3-4-4Qv0变式训练(06全国)如图3-4-4所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，质量相等。Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于AP的初动能 BP的初动能的1/2CP的初动能的1/3 DP的初动能的1/4(答案：B)例题3：物体A、B质量均为MA=MB=8kg，中间由弹簧相连，静止于水平地面上,如图3-4-5所示。另一质量为m=8kg的物体C由A物体正上方0.8m高处释放，与A碰撞后粘合在一起。当A、C一起运动到最高点P时，物体B对地面的压力恰好为零。如果将C的质量变为24kg，则当A、C运动到P点时的速度是多少？图3-4-5ABkC解析：物体C与物体A碰撞遵守动量守恒定律，但碰撞过程中有热量生成，损耗了机械能。在与弹簧作用过程中，为变加速运动，弹力为变力，求功存在困难，但是发现过程前后其形变量大小相等，所以弹性势能相等，由此可知只有动能和重力势能的相互转化。当A静止时，弹簧被压缩，有在C自由落体的过程中，由动能定理物体C与A碰撞时，由动量守恒定律当A、C一起运动到最高点P时，物体B对地面的压力恰好为零所以两状态所对应的弹性势能由机械能守恒定律当C的质量为，物体C与A碰撞时，由动量守恒定律 当A、C一起运动到最高点P时，由机械能守恒定律图3-4-6由以上各式可得对弹簧弹性势能高中阶段不要求掌握其表达式，但可由弹簧的弹性形变量大小相等，判断弹性势能相等。变式训练（05年全国理综）如图3-4-6所示，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向现在挂钩上升一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g(答案： ) 思考与总结 题型三 弹簧振子简谐运动类问题ABkk图3-4-7例题4：如图3-4-7所示，物体A质量为m，物体B质量为M，通过轻质弹簧连接，弹簧的劲度系数为k，令物体A在竖直方向上做简谐运动，当物体A运动到最高点时，物体B恰好对地面无压力，求物体A简谐运动的振幅以及A运动到最低点时，物体B对地面的压力。解析：振动的振幅为最大位移处与平衡位置间的距离，由题目可以得出平衡位置和最高点两处弹簧的状态，从而得出振幅值。至于最低点的时压力情况，可以由振动的对称性得出。当A处于平衡位置时，有弹力等于A的重力此时弹簧被压缩量当A处于最高点时，物体B对地面无压力，此时弹力等于B的重力此时弹簧被拉长因此振幅在最高点物体A振动的回复力为合外力当A运动到最低点时，由对称性可知，回复力与最高点等大反向此时弹簧弹力 对物体B，由平衡条件 可得由牛顿第三定律，物体B对地面的压力，方向向下。对应弹簧振子问题，多注意其运动的对称性，可简化运算。 变式训练如图3-4-8所示，一个劲度系数为k，由绝缘材料制成的轻弹簧，一端固定，另一端与质量为m，带正电荷q的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上，当加入如图所示的场强为E的匀强电场后，小球开始运动，下列说法正确的是（ ）+E图3-4-8A球的速度为零时，弹簧伸长qE/kB球做简谐振动，振幅为qE/kC运动过程中，小球的机械能守恒D运动过程中，小球的电势能、动能和弹性势能相互转化 (答案：BD) 例题5：一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中 A升降机的速度不断减小B升降机的加速度不断变大 C先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值解析：弹簧下端刚好和地面接触时，弹簧处于原长状态，所以此时升降机只受重力作用，其加速度为重力加速度，会继续向下做加速运动。随着升降机向下加速，弹簧逐渐被压缩，向上的弹力逐渐增大，但是只要弹力小于重力，升降机就会继续向下加速，但是其加速度却逐渐变小。当弹簧弹力的大小与升降机重力相等时，升降机的合外力等于零，其加速度也为零。但此时升降机仍具有向下的速度，会继续向下运动，使弹簧弹力开始大于重力，所以之后升降机的合外力开始向上逐渐增大，开始做加速度逐渐增大的减速运动。所以选项C正确。OAB图3-4-9对于升降机向下的运动过程，可以看做时竖直弹簧振子的一部分。其平衡位置为重力与弹簧弹力等大反向处。弹簧原长时的位置并不是振动的最高点，因为此时升降机具有向下的速度。如图3-4-9所示，O点表示平衡位置，A点表示弹簧原长位置，则A点相对于平衡位置O的对称点B一定不是最低点，所以最低点的加速度一定大于B点的加速度。在平衡位置有，根据对称性可知在B点弹簧的形变量为O点的2倍，所以在B点弹簧弹力，可求的该点的加速度方向向上，大小为g，所以升降机运动到最低点时加速度的值一定大于重力加速度的值。图3-4-10变式训练如图3-4-10所示，竖直放置在水平面上的轻弹簧，下端与地面固定，将一个金属球放置在弹簧顶端（球与弹簧不粘连），并用力向下压球，使弹簧压缩稳定后，用细线把弹簧栓牢，烧断细线后，球将被弹起，且脱离弹簧后能继续向上运动，那么该球从细线烧断到脱离弹簧的运动过程中A球刚脱离弹簧时，弹簧的弹性势能最小B球刚脱离弹簧时，动能最大C球所受合外力的最大值不一定大于重力值D在某一阶段内，球的动能减小，而机械能增加(答案：AD ) 思考与总结 强化训练图3-4-111、如图3-4-11所示，A为系在竖直轻弹簧上的小球，在竖直向下的恒力F的作用下，弹簧被压缩到B点，现突然撤去力F，小球将在竖直方向上开始运动，若不计空气阻力，则下列中说法正确的是（ ）A小球运动是简谐运动B小球在上升过程中，重力势能逐渐增大C小球在上升过程中，弹簧的形变量恢复到最初（指撤去力F的瞬间）的一半时，小球的动能最大D小球在上升过程中，动能先增大后减小图3-4-122、（07南充市）如图3-4-12所示，质量为M的圆形框架放在水平地面上，框架所在平面垂直于地面，一轻质弹簧固定在框架上，下端拴着一个质量为m的小球，在小球上下运动中，框架始终没有跳起，当框架对地面压力为零的瞬间，小球的加速度大小为（ ） Ag B(Mm)gm C0 D(M+m)gmFAB3mm图3-4-133用质量不计的弹簧把质量为3m的木板A与质量m的木板B连接组成如图3-4-13所示的装置。B板置于水平地面上，现用一个竖直向下的力F下压木板A，撤消F后，B板恰好被提离地面。由此可知力F的大小是（ ）A7mg B4mgC3mg D2mg图3-4-144、如图3-4-14所示，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长则物体在振动过程中（ ）A物体的最大动能应等于mgAB弹簧的弹性势能和物体动能总和不变C弹簧的最大弹性势能等于2mgAD物体在最低点时的弹力大小应为2mg图3-4-15v传感器a传感器b5、如图3-4-15所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度。该装置是在矩形箱子的前、后壁上各安装一个压力传感器。用两根相同的轻弹簧夹着一个质量为2.0kg的滑块，滑块可无摩擦滑动，两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器上读出。现将装置沿运动方向固定在汽车上，传感器a在后，汽车静止时，传感器a、b的读数均为10N（取g=10m/s2）。若当汽车如图中速度方向运动时，传感器a的读数为14N，b的读数为6.0N，求此时汽车的加速度大小为 m/s2，加速度方向向 。 图3-4-166、在木块上固定一个弹簧测力计，弹簧测力计下端吊一个光滑的小球。将此装置一起放在倾角为的斜面上，如图3-4-16所示。木板对斜面静止时弹簧测力计的示数为F1；木板沿着斜面向下滑，弹簧测力计的示数为F2。求木板与斜面间的动摩擦因数。图3-4-177、 如图3-4-17所示，A、B两物块质量均为m，中间连接一轻弹簧，A物块用一根细线悬挂。用手托住物块B缓慢上移，使弹簧恰好恢复到原长，然后由静止释放。当B下降了x0而到达Q点时，速度刚好减为零。现将B物块换成质量为2m的另一物块C。仍在弹簧处于原长时由静止释放，当C向下运动中刚好超过Q点时细线被拉断.求：(1)细线能承受的最大拉力；(2)细线刚被拉断时物块C的速度。图3-4-188、如图3-4-18所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板系统处于静止状态现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d（重力加速度为g）答案：a = ；d = BAF30图3-4-199、质量mA=10kg的物块A与质量mB=2kg的物块B放在倾角=300的光滑斜面上处于静止状态，轻质弹簧一端与物块B连接，另一端与固定档板连接，如图3-4-19所示。弹簧的劲度系数k=400N/m，现给物块A施加一个平行于斜面向上的F，使物块A沿斜面向上做匀加速运动，已知力F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，求：（g=10m/s2）（1）