13.4 课题学习 最短路径问题.doc

13.4 将军饮马 最短路径问题教学设计湖北省宜昌市金东方初中 王婷婷一、教学目标能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.教学重点利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、学生学情诊断八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和方法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生启发，在证明“最短”时，点拨学生要另选一个量，通过与求证的那个量进行比较来证明，同时让学生体会“任意”的作用，因此确定本节课的教学难点为：三、教学策略分析根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导探究发现证明归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题方法的引导与启发，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台.通过对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学课堂趣味性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化过程，提高学生学习兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.四、教学基本流程探索新知运用新知拓展新知提炼新知课外思考五、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小设计意图从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、 解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图.设计意图先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想. 3、 证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点C.连接AC、BC、BC.由轴对称的性质可知：BC=BC BC.=BCAC+BC=AC+BC=ABAC+BC=AC+BC当C与C不重合时ABAC+CBAC+BCAC+CB当C与C重合时AC+BC=AC+CB总之，AC+BCAC+CB即AC+BC最短设计意图利用现代信息技术，通过移动点C的位置，可发现：当C与C不重合时，AC+BCAC+CB，当C与C重合时，AC+BC=AC+CB.让学生很容易知道AC+BC最短，消除了学生的疑虑，发挥了多媒体的作用，让学生进一步体会作法的正确性，提高了逻辑思维能力.4、 小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.设计意图让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的学习探究做准备.（二）运用新知如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径. 师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.设计意图对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生上台操作演示，提高他们的学生兴趣与实践能力，体会成功的喜悦，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生活动：1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.设计意图本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得.教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？设计意图引导学生把握研究问题的策略、思路、方法的同时，并从运用的知识、方法、思想方面进行归纳总结，让学生对本节课有一个更清晰、更系统的认识，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.（五）课外思考将军又提出一个问题：如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？设计意图通过一系列的“将军饮马问题”的变式设计，由浅入深，环环相扣，不但学习将军这种喜欢动脑，敢于提问，勇于探索的求学精神，同时培养学生的问题意识，通过最后这一问题的设计，让学有余力的学生解答，它不仅能巩固知识，形成技能，同时激发了学生的求知欲望与勇于探究的精神.同时，也是由课内向课外的一种延伸，预示着问题并没有终结，培养学生具有终身学习的意识与创新精神！ 13.4.最短路径问题仙桃市第九中学 王月娥一、内容和内容解析 1内容 利用轴对称、平移研究某些最短路径问题2内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的两个经典问题“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析 1.目标： （1）能利用轴对称平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟应用转化思想 2. 目标解析达成目标（1）的标志是： 学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路教学时教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用教师可作适时的点拨，让学生体会“任意”的作用.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题四、教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，以几何画板为平台，通过动态的演示，对线段长度的度量，更有助于学生的探究发现.五、教学过程设计：活动设计学生活动设计意图感受情景，抛出问题.一位将军要从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？1、 感受情景，激发学习热情.2、问题思考 利用问题情景，从学生熟悉的生活 情景中抛出数学问题，既增强学生的探究欲望，调动学生学习热情.同时也体现了数学与生活的联系.活动一、抽象问题提问:1.你能从这个实际问题中抽象出数学模型吗？2.请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题._l_A_B明确：（1）将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线（2）点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.学生通过观察分析，体会实际问题数学化的过程，同时也培养学生的模型思想.l活动二：自主探究_l_A_B_C问题1 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 如果学生有困难，适时提示：_l_A_B（1） 如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B处，且满足直线l上的 任意一点C，都能保持CB = C B吗?_B_A_B_C（3）此时，点B与点B有怎样的位置关系？ l1、学生独立思考，画图分析，并尝试回答2、学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充.1、设计异侧问题，为进一步探究同侧问题作铺垫，通过搭建台阶，为学生探究问题提供方向，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。2、追问找点的过程，让学生在反思中体会轴对称的作用3、在小组合作学习中学生找到解决问题的方法，意在体现学生的合作意识.活动三：问题解决1、作法：（1）作点B关于直线l的对称点B.(2) 连接AB，与直线l相交于点C.则点C即为所求.1、学生动手作图，并说明作图方法.2、比较不同作法.帮助学生比较，判断不同作法的合理性，让学生真正理解解决问题的方法.活动四：证明最短_C_B_A_B_C问：你能证明AC +BC最短吗？l证明：在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短追问：证明AC +BC最短时，为什么要在直线上任取一点C（与点C 不重合）呢？1.教师几何画板验证2.师生共同分析然后学生说明证明过程，教师板书1.几何画板演示，一方面让学生从数的角度感知作法的正确性，也让学生在动态中感知点C位置的任意性2.几何证明让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力活动五：反思归纳回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？ 活动六：类比探究如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）1、 抽象出数学图形及数学问题. 如图，a/b,点A 和点B是两条平行线a与b外的两点，当点在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？2、 教师结合几何画板演示让学生观察：随着点在直线b上的位置的改变，观察 AM、MN 、NB 的长度，你有什么发现？ 3、 小组讨论，交流，全班展示解决问题方法方法呈现（之一）将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A连接AB ,线段AB与直线b的交点N的位置即为所求，学生围绕问题回答相互补充，达成共识。1、学生思考，画出图形，抽象出数学问题2、教师结合几何画板引导学生观察当点在直线b上的位置的改变时，AM、MN、NB 的长度变化情况，明确线段MN的长度不变，但AM+NB会发生变化的体会选址的意义.3、学生分小组讨论，寻找答案，进行全班展示，并说明自己的想法学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.也为接下来的问题积累活动经验.这个问题有着很好的实际背景，情景贴近生活实际，平移是问题实现转化的一个重要策略，问题串的设计， 可以让学生更好地想到将问题转化为“两点之间，线段最短”，而去进一步探索实现这种转化的方法，激活学生思维，增强学生的探究欲望，让接下来的小组活动真正落到实处。通过合作学习意在体现学生的合作意识.活动七：反思小结1.上述最短路径问题，我们借助了哪些图形变化将问题化难为易，运用了什么知识解决的？2.你能说说解决最短路径问题的基本策略吗？学生回顾所学，回看动画内容，回答问题.让学生回顾本节课的学习.体会解决最短路径问题的基本策略，感悟转化思想.练习ABCPQ山河岸大桥：如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法. 附：教学设计说明 一、教学内容的地位及作用最短路径问题是人教版八年级上册第十三章“轴对称”中一节的内容，为本单元的课题学习，在学习该内容前，学生已经学习了轴对称、轴对称图形，会画一些简单的轴对称图形，对“最短路径问题”的探究，让学生在前几节课上获得的知识和经验能够得到很好地应用，有利于这些知识的系统化和网络化。在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中有很强的现实意义.二、教学理念1、注重以活动为主线为追求课堂教学的有效性，努力设计出“能引发学生数学思考”的课堂活动。构建以活动为主线的教学形式，让学生在活动中体验数学、领悟数学、理解数学。本课中，课件及模具演示，图形变换由“静态”转化为“动态”，让学生实实在在地经历观察、猜测，推理、验证等一系列活动，使学生的学习始终贯穿于活动之中，让学生在欢乐、宽松的学习环境中主动学习.2、 强化学生对数学本质的认识 这一节课的数学学习，遵循“实践，认识，再实践，再认识”的认知规律，让学生在反反复复的琢磨后逐渐得到解决问题的思想方法，体会轴对称、平移图形变换的作用，感悟“转化”思想这些数学本质.本节课的活动设计，课件演示，为课堂注入了新的活力，师生的操作与交流指向了思路的分析，“变与不变”的直观感知是一种体验，更是一种感悟，隐藏其中的“四基”也就是在这种体验和感悟中自然生产的.三、教法学法本节课采取直观演示法和自主探究法，使用动画演示，化静为动，帮助学生理解找所求点的方法以及作法的合理性，并通过学生自主操作、合作探究，使问题得到解决。在设计问题时，注重问题的启发性和思考性，在学生自主探究中暴露问题，从而引导学生的分析、思考.本节课采取合作学习的方式，充分给予学生展示自己的机会，采取小组展示和全班展示，教师适时给予评价，充分调动学生的学习积极性.23课题：13.4最短路径问题天门市外国语学校 钱 琴导学案【教学内容】 本节课是八年级上册第十三章第四节的课题学习，学生已经有了两点之间线段最短、三角形三边关系、画轴对称图形和平移等知识基础，以此探究生活中的最短路径问题，本课以轴对称变换和平移变换的方式，把两点一线或两点两线的题转化成“两点在一条直线两侧”的题，用“两点之间线段最短”解决问题.学生难以理解的是求最短路径时如何把多条线段转到一条直线上，所以采用多媒体教学让学生看图得到直观感受，理解折线转直的方法.【教学目标】 1.利用轴对称或平移性质将折线转化到同一条直线上，解决最短路径问题； 2.通过独立思考、合作探究等方法解决问题，培养学生数学建模能力； 3.数学来源于生活并服务于生活，培养学生的数学学习兴趣及解决实际问题的能力.【学习重难点】 重点：用所学知识作出最短路径. 难点：灵活利用轴对称或平移性质将折线转化到直线上，解决问题并证明.【学情分析】学生已经具备了以下的知识基础：两点之间线段最短、三角形三边关系、画轴对称图形和平移等知识，再准备好铅笔、直尺，就可以进行本节课关于最短距离的探究了.利用三边关系验证最短距离是本节课的难点.老师用多媒体演示不同类型的路径题转化成两点在一条直线异侧的题，引导学生用已学的知识解决问题，演示最短路径与其它路径的动态比较过程，让学生先感受，进而理解其证明方法.【教学策略】启发式教学，多媒体辅助教学学习过程【探究活动一】复习巩固 引入新知1.探究问题：如图1所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 2.已知：如图2，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.【探究活动二】探究归纳 生成新知ABl （将军饮马问题）相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 1.抽象问题：你能把这个问题抽象成数学问题吗？ 我们可以将笔直的河流抽象成一条_，A地和B地抽象成_.请画出图形. 这个数学问题可以描述为： 如图，点A，B 在直线l 的_，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，_与_ 的和最小？ 2.转化问题：能否把直线l同侧的两点A，B转化到直线l的异侧呢？(如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B吗？) 问题可转化为：当点C在l的什么位置时，_+_的和最小？ 3.解决问题： 如图3，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 请画出图形. B4.证明结论：如图4，在直线l上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC，你能证明AC + CB A C+ CB吗？ 【探究活动三】拓展探究 深化新知 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 1.抽象问题：你能把这个问题抽象成数学问题吗？我们可以将平行的河岸抽象成两条_，A地和B地抽象成_.请画出图形.这个数学问题可以描述为： 如图，N为直线b上的一个动点，MN直线b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，_+_+_最小？ 2.转化问题：能否把两条直线异侧的两点A，B转化到一条直线异侧的两点呢？(将AM沿与河岸方向垂直的方向平移一个河宽，点M移动到点_，点A移动到点_，则AA=_，AM+NB=_+_)问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，_+_最小？ 3.解决问题：如图5，N为直线b上的一个动点，MN直线b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 4.证明结论： 如图6，在直线b上另外任取一点N，过点N作NMa，垂足为M，连接AM，AN，NB，证明：AM+MN+NBAM+MN+NB.【课堂小结 梳理新知】【当堂检测 巩固新知】 如图7所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短 导学设计【导学目标】 1.利用轴对称或平移性质将折线转化到同一条直线上，解决最短路径问题；2.通过独立思考、合作探究等方法解决问题，培养学生数学建模能力；3.数学来源于生活并服务于生活，培养学生的数学学习兴趣及解决实际问题的能力.【导学重难点】重点：用所学知识解决及证明最短路径问题.难点：灵活利用轴对称或平移性质将折线转化到直线上，解决问题.导学过程导入：最短路径问题是生活中常见的实际问题.比如人们在选择最短路线、铺设管道、修建道路等方面，如果能够做出最好的选择，就会起到节约人力、物力、财力的作用.这一节课让我们从将军饮马问题入手，一起来探讨“如何设计最短路径”.【导学一】复习巩固 引入新知 设置意图：通过3道题的训练，让学生回顾“两点之间线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等最短路径问题，为学习新知识做铺垫.操作流程：1.学生独立思考，回答问题；2.老师补充点评.【导学二】探究归纳 生成新知设置意图：带领学生一起走进故事情境，探索数学家海伦到底怎样应用数学知识解决了将军的问题.操作流程：同桌交流、小组合作等方式分别完成1-4题，