两个原理62.doc

东北师大附中20112012学年高三数学（理）第一轮复习导学案062 分类加法原理与分步乘法原理 编写教师：杨艳昌 审稿教师：刘彦永一、知识梳理 1分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N m+ n 种不同的方法2分步乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N mn 种不同的方法注意：分类计数原理与分步计数原理，都有涉及完成一件事的不同方法的种数它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成二、题型探究题型一：分类计数原理的应用例1某学校高三(1)班有男生30人，女生20人；高三(2)班有男生30人，女生30人；高三(3)班有男生35人，女生20人现从中选一名学生。(1)若从高三(1)班或(2)班或(3)班选，有多少种不同的选法？(2)若从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选，有多少种不同的选法？解：(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；同理，从高三(3)班中选一人有55种选法，共有506055165(种)(2)从高三(1)、(2)班男生中选有303060(种)，从高三(3)班女生中选有20种，共有30302080(种)拓展提升:运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性题型二：分步计数原理的应用例2现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？分析:完成的一件事是排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行解:先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法由分步计数原理可得值班表共有不同排法数为：544441280种拓展提升解决问题时，理清思路，按事件发生的过程合理分步 例3 4封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是()（A）34 （B）43 (C) (D)解析：第n封信有3种投法(n1,2,3,4)，根据分步计数原理4封不同的信投入三个不同的信箱共有333334种投法答案：A题型三：两个原理的综合应用例4 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数为 ()（A）240 （B）204 （C）729 （D）920解析：分8类，当中间数为2时，有122种；当中间数为3时，有236种；当中间数为4时，有3412种；当中间数为5时，有4520种；当中间数为6时，有5630种；当中间数为7时，有6742种；当中间数为8时，有7856种；当中间数为9时，有8972种故共有26122030425672240种答案：A例5 如图，用6种不同的颜色给右图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种(用数字作答)解法一:将4个区域标上数字1,2,3,4.先对区域1涂色，有6种方法，再对区域2涂色有5种方法，3与1同色，4与2可以同色也可以不同色，不同涂色方法有65(14)150种；3与1不同色，4只能与2或者1同色，不同涂色方法有654(11)240种，涂色方案共有150240390种解法二:当使用两种颜色涂色种数为C230种当使用三种颜色涂色时，可能1,3或1,4或2,4相同视为一个区域，涂色方案有CA3360种涂色方案共有30360390种拓展提升:解决计数问题的基本思想就是先对问题进行分类，在每个类中再进行分步，根据乘法原理计算各个类的数目，最后根据加法原理计算总的数目三、方法提升：1对“分类”与“分步”的理解(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成2分类计数原理与分步计数原理的选用两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事情需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理四、反思感悟：五、课后作业：一、选择题(1) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ D ）(A) 26 (B)24 (C)20 （D）19 3 5 12B 4 6 A 6 7612 8 (2)已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(D)（A）18 ( B) 10 (C)16 (D)14（3）从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b，组成复数abi，其中虚数有(A)（A）36个 (B)42个 (C)30个 (D) 35个解析：由于a，b互不相等且为虚数，所有b只能从1,2,3,4,5,6中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，根据分步计数原理知虚数有6636(个) (4)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 (A)(A) 504 (B) 210 (C) 336 (D) 120(5) 中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在图中的A、B、C、D四个区域落座现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，则不同的着装方法种数为（ D ） (A) 24 (B) 48 (C) 36 (D) 84(6)某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(A)（A）81105 (B)896 (C)9106 (D) 9876543解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9105部，同理升为七位时为9106.可增加的电话部数是9106910581105.(7)只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 (C)(A) 6个 (B) 9个 (C) 18个 (D)36个解析：由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法故共可组成33218个不同的四位数(8) 如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，不同的染色方案的种数为（ A ） (A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48二、 填空题(9) 如右图所示为一电路图，若只闭合一条线路，从A到B共有_条不同的线路可通电解析：按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有3种，中线路中有一种，下线路中有224(种)根据分类计数原理，共有3148(种)答案：8(10) 如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种解析：每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，故共有24313种情况答案：13(11) .有 8 组解？(12) 若集合A1、A2满足A1A2A，则称(A1，A2)为集合A的一个拆分，并规定：当且仅当A1A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种拆分，则集合Aa1，a2，a3的不同拆分有 27 种.三、解答题(13) 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？150种(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？485052124800种(14) 有0、1、2、8这9个数字用五张卡片，正反两面分别写上0、8；1、7；2、5；3、4；6、6；且6可作9用这五张卡片共能拼成多少个不同的四位数？解：由于正反两面可用，且一张卡片在拼一个四位数的过程中至多出现在一个数位上，同时首位不可为0,6可作9用，首位有9种拼法，百位有8种拼法，十位有6种拼法，个位有4种拼法共能拼成98641728(个)不同的四位数(15) 用n种不同颜色为下侧两块广告牌着色(如图甲、乙所示)，要求在、四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色(1)若n6，为甲着色时共有多少种不同方法？(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.解：完成着色这件事，共分四个步