垂直于弦的直径教学设计.doc

2412 垂直于圆的直径第一课时教学设计一、教材分析1、作为圆这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这条弦的关系。2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。二、教学目标1、知识目标：（1）充分认识圆的轴对称性。（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。（3）运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算。2、能力目标： 让学生经历探究过程：“实验观察猜想验证归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 3、情感目标： 让学生亲身经历知识的探求过程，体验数学的生活性、趣味性，更进一步感受圆的美，激发他们的学习兴趣。三、教学重点 垂径定理的性质及其应用。四、教学难点 垂径定理的证明。五、教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板、三角板。六、教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、求证。令学生参与到“实验-观察-猜想-验证-归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。七、教学过程：教学环节教师活动学生活动设计目的回顾旧识回顾旧识1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。引入新课引入新课问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题揭示课题揭示课题电脑上用几何画板上作图：（1）做一圆(2) 在圆上任意作一条弦 AB；(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。 （板书课题：垂直于弦的直径）在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E师生互动师生互动运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论（1）图中圆可能会有哪些等量关系？（2）弦AB与直径CD除垂直外，还有什么性质？实验：将圆沿直径CD对折观察：图形重合部分，思考图中的等量关系猜想： AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(电脑显示)垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？引导学生通过“实验-观察-猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质探求新知探求新知提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它已知：CD是O的直径，AB是弦，ABCD证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）探索：证明：连结OA、OB， 则OAOB，又OEABOAEOBE 则AE=BECD所在的直线垂直平分弦AB当把O沿着直径CD折叠时， A点和B点重合，所以AE=EB，弧AC=弧CB，弧AD=弧DB让学生自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果概念辨析垂径定理条件的变化： 1、 AB为弦，CD为直径，ABCD满足垂径定理；2、 AB为弦，CD缩短为为CE，ABCE也满足垂径定理；3、 AB为弦，CD缩短为为OE，ABCE也满足垂径定理。运用定理变式图形，揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件。垂径定理的推论运用新知垂径定理的推论：例题1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。总结：1、在圆中解决有关弦的问题时，转化为直角三角形问题：作弦心距，连半径，构造直角三角形.2、弦心距2+半弦2=半径2学生继续通过圆的对称性，总结归纳垂径定理的推论。这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。练习11如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则OA= cm2.若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。 3.如图，O的弦AB=6 ，直径CDAB于E，CE=9 ，则OD= 的长.及时消化新知，及时反馈学情。体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。例题2如图，O的半径为17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法过圆心向弦做垂线，利用垂径定理来解决一系列类似问题。例题2的变式： 已知O的直径是50 cm，O的两条平行弦AB40 cm，CD48 cm，则弦AB与CD之间的距离为_(画图说明) 全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。练习巩固1.如图1，AB是O 的直径，弦CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ）COE=DOE B. CE=DE C. OE=BE D.BD=BC2. 如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长_3. 如图3，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB=8 cm，CD=2 cm，则OD的长_ 4如图4，在半径为50的O中，弦AB的长为50，AOB=_；点O到AB的距离为_强化训练巩固拓展知识归纳小结这节课你有什么收获？1、垂径定理相当于说一条直线如果具备(1)过圆心(直径);(2)垂直于弦;则它有哪些性质？2、2.在圆中计算有关弦长的问题时,离不开垂径定理，经常是作弦心距,连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.AB.OE 弦心距2+半弦2=半径2讲评回答