概率论讲义 第二章 随机变量及其分布.doc

第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量1. 为什么引入随机变量?概率论是从数量上来研究随机现象统计规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念2. 随机变量的引入实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.二、随机变量的概念定义 设随机试验E的样本空间是S = e, X = X (e)是定义在样本空间S 上的实值单值函数, 则我们称X = X (e)为随机变量.2.说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(3)随机变量与随机事件的关系随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.下面我们举几个随机变量的例子:(1) n次射击命中目标的次数X (或随意抽验n件产品, 其中不合格品的件数), 它有n + 1个可能取值: 0, 1, 2, , n.(2) 灯泡寿命X, 可以取0, +)上的任意值.(3) 测量误差X, 可以取(-, +)上的任意值.有了随机变量, 随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 例如, 从一批产品中任意取出10件, 若用X表示其中的废品数, 这时, 少于2件废品、恰有1件废品两个事件, 就可以分别用X 2、X = 1来表示. 又如单位时间内电话交换台接到的呼唤次数用X表示, 此时接到不少于1次呼唤、没有接到呼唤两个事件, 可以分别用X 1、X = 0来表示. 再如, 上面(2)中事件寿命不少于200小时而不超过1000小时的事件, 就可用200 X 1000来表示.例1 “掷一颗骰子”是随机现象, 用随机变量X表示出现的点数, 求(1) X的取值范围; (2) 概率PX 4及PX 4及P2 X 0, 求常数c的值. 下面介绍三种重要的离散型随机变量.一、(0 - 1)分布(或两点分布)设随机变量X只可能取0或1两个值, 它的分布律为, k = 0, 1, (0 p 1), 或X01pk1 - pp则称X服从(0 - 1)分布. 凡是只有两个结果的试验都可以用(0 - 1)分布来描述. 二、伯努利试验、二项分布在实践中, 我们经常遇到下列类型的重复试验:(1) 每次试验的条件都相同, 且试验结果; 只有两个: A及, 且P(A) = p, P() = q = 1 - p (0 p 0是一个常数, n是任意正整数, 设npn = l , 则对于任一固定的非负整数k, 有. 证: 由, 有 .对于任意固定的k, 当n 时, 有, , .故有 . 可见, 当n很大, p很小时, 二项分布就可以用下列公式来近似计算: (l = np)(5)这就是著名的二项分布的泊松逼近公式. 例8 某人进行射击, 每次命中率为0.02, 独立射击400次, 求命中次数X 2的概率. 解: 显然, X b(400, 0.02), 则PX 2 = 1 - PX = 0 - PX = 1.这个概率接近于1, 它说明, 一个事件尽管它在一次试验中发生的概率很小, 但只要试验次数很多, 而且试验是独立进行的, 那么这一事件的发生几乎是肯定的, 所以不能轻视小概率事件. 另外, 如果在400次射击中, 击中目标的次数竟不到2次, 根据实际推断原理, 我们将怀疑“每次命中率为0.02”这一假设. 例9 为保证设备正常工作, 需要配备适量的维修工人(工人配备多了就浪费, 配备少了要影响生产). 现有同类型设备300台, 各台工作与否是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 在通常情况下, 一台设备的故障可由一人来处理(我们也只考虑这种情况), 问至少需配备多少工人, 才能保证当设备发生故障但不能维修的概率小于0.01? 解: 设需要配备N人, 记同一时刻发生故障的设备台数为X, 则X b(300, 0.01), 所要解决的问题是确定N, 使得 PX N 0.01. 由泊松定理, l = np = 3, = 0是常数, 则称X服从参数为l的泊松分布, 记为X p (l).易验证, PX = k满足条件(2).例11 有一汽车站, 每天都有大量汽车通过. 设每辆汽车在一天中的某段时间内发生事故的概率为0.0001, 而在某天的该段时间内有1000辆汽车通过, 试求发生事故的次数X 2的概率.解: 显然X b(1000, 0.0001). 因n = 1000较大, p = 0.0001较小, 故可用泊松分布来计算, l = np = 0.1, 从而.泊松定理指明了以n、p(np = l)为参数的二项分布, 当n 时趋于以l为参数的泊松分布, 这一事实也显示了泊松分布在理论上的重要性. 具有泊松分布的随机变量在实际中存在相当广泛. 例如, 纺纱车间大量纱锭上的纺线在一个时间间隔内被扯断的次数; 纺织厂生产的一批布匹上的疵点个数; 电话总机在一段时间内收到的呼唤次数; 种子中杂草种子的个数; 一本书某页(或某几页)上印刷错误的个数; 在一个固定时间内从某块放射物质中发射出的a粒子的数目等都服从泊松分布. 泊松分布通常适用于描绘大量重复试验中稀有事件(即每次试验中出现的概率很小的事件, 例如不幸事件、意外事故、非常见病、自然灾害等)出现的次数的概率分布.第三节 随机变量的分布函数 对于非离散型随机变量X, 由于其取值不能一个个列举出来, 因此在一般情况下, 需研究随机变量取值落在任意区间(x1, x2)中的概率, 即求Px1 X x2. 由于事件x1 X x2与事件X x1互不相容, 且x1 X x2X x1= X x2, 因此有Px1 X x2 = PX x2 - PX x1.由此可见, 若对任何给定的实数x, 事件X x的概率PX x确定的话, 概率Px1 X x2也就确定了, 但概率PX x随着不同的x而变化, 这个概率是x的函数, 于是引进下面的分布函数的概念. 定义 设X是一个随机变量, x是任意实数, 函数F(x) = PX x(1)称为分布函数. 注: 1 F(x)是一个普通实函数, 它的定义域是整个数轴, 故求分布函数时要就x落在整个数轴上讨论, F(x)的值域是区间0, 1. 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标, 则分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在(-, x上的概率.2 由上面的讨论, 有Px1 X x2= F(x2) - F(x1). 例1 接连进行两次射击, 以X表示命中目标的次数, 假设已知每次射击命中目标的概率为0.4, 求X的分布律与分布函数. 解: X的分布律为X012pk0.360.480.16X的分布函数为 一般地, 设离散型随机变量X的分布律为 PX = xk= pk, k = 1, 2, , 则X的分布函数为(2)这里和式是对所有满足xk x的k求和. 此外, 分布函数F(x)在x = xk (k = 1, 2, )处有跳跃, 其跳跃值为pk = PX = xk. 例2 设随机变量X的分布律为X012pk求X的分布函数, 并求, , . 例3 向区间a, b上均匀地投掷一随机点, 以X表示随机点的落点坐标, 求X的分布函数. 解: 分布函数F(x)具有以下一些性质: 1 0 F(x) 1 (- x +); 2 F(x)是单调不减函数, 即若x1 x2, 则F(x1) F(x2); 3 , ; 4 (- x0 +), 即F(x)是右连续的.第四节 连续型随机变量极其概率密度在实际问题中, 除了离散型随机变量以外, 还有非离散型随机变量, 其中常用的是连续型随机变量. 如炮弹落地点和目标之间的距离. 尽管分布函数是描述各种类型随机变量变化规律的最一般的共同形式, 但由于它不够直观, 往往不常用. 如对于离散型随机变量, 用分布律来描述既简单又直观. 对于连续型随机变量我们也希望有一种比分布函数更直观的描述方式. 定义 如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非负函数f (x), 使对任意实数x, 有(1)则称X为连续型随机变量, 其中函数f (x)称为X的概率密度函数, 简称概率密度.概率密度f (x)在几何上表示一条曲线, 称之为分布曲线. 分布函数F(x)的几何意义是分布曲线f (x)下从-到x的一块面积, 这块面积随x而改变.可以证明: 连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数. 易知, 概率密度f (x)具有下列性质: 1 f (x) 0; 2 ; 3 Px1 0, 则由X = a a - Dx X a得.又, 所以, PX = a= 0. 因此Pa X b = Pa X b = Pa X 0)上的概率为.乘积f (x)dx称为概率微分, 上式表明, 连续型随机变量X落在小区间(x, x + Dx)上的概率近似地等于概率微分. f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与概率PX = xk = pk在离散型随机变量理论中所起的作用是类似的. 如果把x看成质点的坐标, f (x)看成在x处的线密度, 则Px1 X x2=就可看成是分布在线段x1x2上的质量, 这就是称f (x)为概率密度的理由. 例1 确定常数A, 使(- x +)为某一随机变量的概率密度. 例2 设随机变量X的概率密度为 求X的分布函数F(x). 例3 设随机变量X的概率密度 (- x +). 求(1) 常数A; (2) 概率;(3) X的分布函数F(x). 解: (1) 由, 得 . (2) =.(3) X的分布函数F(x)为 (- x 0, 求(1) 常数A、B;(2) 概率;(3) X的概率密度f (x).注: 若已知X的概率密度f (x), 要求分布函数F(x), 用积分方法, 当f (x)是分段函数时, 积分要分段讨论; 若已知X的分布函数F(x), 要求概率密度f (x), 则用微分方法, 当F(x)是分段函数时, 在分段点处用导数定义求导, 当不存在(个别点), 则可任意规定的值(个别点的值不影响积分结果). 下面介绍几个重要的连续型随机变量.一、均匀分布 如果随机变量X的取值范围是有限区间(a, b), 并且落在a, b中的任一小区间的概率只与这个区间的长度成正比, 而与该小区间的位置无关, 则称X在(a, b)上服从均匀分布, 它的概率密度为 分布函数为记为X U (a, b). 例5 设随机变量X U (0, 10), 求方程有实根的概率. 解: D=, X -2或X 2, 所以 PX -2 + PX 2 = 0.8.二、指数分布 如果连续型随机变量X的概率密度为其中q 0是常数, 则称X服从参数为q 指数分布, 其分布函数为 指数分布有重要应用, 常用它来作为各种“寿命”分布的近似. 例如无线电元件的寿命、动物的寿命、电话问题中的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都常假定服从指数分布. 服从指数分布的随机变量X具有以下有趣的性质: 对于任意的s、t 0, 有PX s + t X s = PX t. 事实上PX s + t X s =.此性质称为无记忆性. 如果X是某一元件的寿命, 那么上式表明: 已知元件已使用了s小时, 它总共能使用至少s + t小时的条件概率, 与从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等. 这就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆. 具有这一性质是指数分布有广泛应用的原因. 三、正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为， (- x 0)为常数, 则称X服从参数为m、s 的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X N (m、). 其分布函数为 (- x 0, 有Pm - h X m= Pm X m + h.2 当x = m 时, 曲线处于最高点(), 当x m 时, f (x)单调减少, 即当x向左右远离m 时, 曲线逐渐降低, 整条曲线呈现“中间高, 两边低”的形状. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离m 越远, X落在这个区间上的概率越小.3 在x = m s 处曲线有拐点, 并以x轴为渐近线.4 参数m 确定了曲线的位置, s 确定了曲线的形状. s 越大, 曲线越平坦; s 越小, 曲线越集中.特别地, 当m = 0, s = 1时, 称X服从标准正态分布, 其概率密度和分布函数分别用j(x)和F(x)表示, 即, .我们知道, 利用分布函数F(x)可以计算事件“X x”的概率. 但当X N (0, 1)时, 就无法用初等方法计算, 因此, 为计算方便, 人们编制了F(x)的函数表, 从表中可查出服从N (0, 1)的随机变量小于指定值x(x 0)的概率PX x = F(x).因=(j(x)是偶函数), 所以, 当x 0时, 只要查得F(-x), 即可求得F(x)的值.对一般的正态分布, 可利用变换, 将其化成标准正态分布, 即有.事实上, =(令)=.对任意区间x1, x2, 有.例6 设X N (0, 1), 求:(1) PX 1.15; 0.8749(2) PX -2.35; 0.0094(3) P0.02 X 1.15; 0.4821(4) P-1.85 X 0.04; 0.4838例7 设X N (108, 9), 求: (1) P101.1 X 117.6; 0.9886(2) 求常数a, 使PX a = 0.01. 57.50例8 设, 求:(1) Pm - s X m + s; 0.6826 (2) Pm - 2s X m + 2s; 0.9544 (3) Pm - 3s X m + 3s. 0.9974此例表明, 当时, X以99.74%的概率落入区间(m - 3s , m + 3s)内, 即X的可取值几乎全部在(m - 3s , m + 3s)内, 这就是统计中的3s 原则.例9 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的. 设男子身长X服从m = 170cm, s = 6cm的正态分布, 即, 问车门高度应如何确定?解: 设车门高度为hcm. 按设计要求, PX h 0.10或PX 0.99, 所以, , h = 184cm.为了便于今后应用, 对于标准正态随机变量, 我们引入a分位点的概念.设X N (0, 1), 对给定的数a, 0 a za = 1 - F( za) = a , 从而, F( za) = 1 - a , 查表可得. 如, z0.05 = 1.645, z0.3 = 0.52.一般地, 对随机变量X, 若对给定的数a, 0 a 1, 称满足条件PX za= 1 - F(za)的数za为此概率分布的上(侧) a分位点(数).在自然现象和社会现象中, 大量随机变量服从或近似服从正态分布. 一般地, 只要某个随机变量是由大量相互独立、微小的偶然因素的总和所构成, 而且每一个别偶然因素对总和的影响都均匀地微小, 则可断定这个随机变量必近似服从正态分布. 第五节 随机变量的函数的分布在微积分中, 函数y = g(x)是一个最基本的概念, 同样, 在概率论与数理统计中, 也常遇到随机变量的函数. 例如, 在测量圆轴截面面积的试验中, 所关心的随机变量圆轴截面面积A不能直接测量得到, 只能直接测量圆轴截面的直径d这个随机变量, 再根据关系式 得到A, 这里随机变量A是随机变量d的函数.一般地, 设g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x的集合上的函数, 如果当X取值为x时, 随机变量Y的取值为y = g(x), 则称Y是随机变量X的函数, 记为Y = g(X). 下面我们讨论如何由已知的随机变量X的分布去求得它的函数的分布.一、X是离散型随机变量 设X是离散型随机变量, 则Y = g(X)也是一个离散型随机变量, 若X的分布律为Xx1x2xnpkp1p2pk求Y = g(X)的分布律. 当X取得它的某一可能值xi时, 随机变量Y = g(X)取值yi = g(xi) (i = 1, 2, ). 如果诸g(xi)的值全不相等, 则Y的分布律为Y = yiy1 = g(x1)y2 = g(x2)yn = g(xn)PY =g(xi)p1p2pk这是因为事件Y =g(xi)= X = xi (i = 1, 2, ). 如果数g(xi)中有相等的, 则把那些相等的值分别合并起来, 并根据概率可加性把对应的概率相加, 就得到函数Y = g(X)的分布律. 例1 已知X的分布律为X012345pk求: (1) Y = 2X + 1;(2) Y = 分布律. 例2 设随机变量X的分布律为X123npk求的分布律解: 因 所以, 只有三个可能取值: -1, 0, 1. 而取得这些值的概率分别是,.所以, Y的分布律为Y-101pk二、X是连续型随机变量若X是连续型随机变量. Y = g(X)是X的函数, 则Y也是随机变量, 这时如何求出Y = g(X)的分布呢? 先看一个例子.例3 已知, 求的概率密度.解: 设Y的分布函数为FY (y), 于是FY (y) = PY = y= PX s y + m = FX(s y + m).其中FX (x)为X的分布函数. 将上式两边对y求导, 并利用概率密度是分布函数的导数的关系得.再将代入, 有,这表明Y N(0, 1).在以上推导过程中, 除去用到分布函数的定义以及分布函数和概率密度的关系之外, 还用到这样一个等式= PX s y + m. 表面上看, 只是把不等式“”变形为“X s y + m”, 它们是同一个随机事件, 因而概率相等. 实质上关键在于把的分布函数在y的值FY (y)转化为X的分布函数在s y + m 的值FX (s y + m). 这样就建立了分布函数之间的关系, 然后通过求导得到Y的概率密度. 这种方法叫做“分布函数法”, 按照上例的解题思路, 可得到下面的定理:定理 设随机变量X具有概率密度fX (x), - x 0 (或恒有 0 (或 0). 因而g(x)单调增加(或单调减少), 它的反函数h(y)存在, 并且h(y)在(a,.b)内单调增加(或单调减少)且可导.设g(x)单调增加, Y的分布函数为,于是Y的概率密度为, g(-) g(+), 设g(x)单调减少, Y的分布函数为.于是Y的概率密度为, g(+) 0 (或 0)., 此时a = ming(a), g(b), b =maxg(a), g(b).例4 设随机变量X具有概率密度fX (x), - x +, 求线性函数Y = a + bX (a、b为常数, 且b 0)的概率密度.解: 因y = g(x) = bx + a, 故. 而, 由定理得,- y +.若, 则(- x +), 故Y的概率密度为.因而, 这就是说正态随机变量X的线性函数仍服从正态分布, 只是参数不同而已.例5 设X具有概率密度fX (x), - x 0, Y的分布函数为由于, 且PY = 0 = 0, 所以当y 0时, 其分布函数FY (y) = 0, 于是Y的概率密度为例如, 设X N (0, 1), 其概率密度为(- x +), 则的概率密度为称Y服从自由度为1的分布.习 题 课一、要点与要求本章主要内容是把随机事件数量化, 使得随机事件极其概率能够用随机变量极其分布函数来表示, 以便使用微积分等数学工具研究随机现象. 这一章是本课程的重点.1 求离散型随机变量X的分布律时, 首先要确定X的取值, 然后求出对应于各取值的事件的概率, 要注意验证, 否则不正确.两点分布、二项分布、泊松分布是三种常用离散型随机变量的概率分布.2 使用概率密度f (x)描述连续型随机变量X, f (x)满足f (x) 0, . 对于任意(a, b), 有.均匀分布、正态分布、指数分布是三种常用连续型随机变量的分布.3 可以使用分布函数统一描述离散型随机变量和连续型随机变量. 当分布函数F(x)中含有待定常数时, 常利用, 或F(x + 0) = F(x)来确定该常数. 而当概率密度f (x)及分布律中含有待定常数时, 常利用或来确定该常数.有概率密度f (x)求分布函数F(x), 要在相应的区间段把F(x)写成f (x)的变上限积分, 利用公式, 可由分布函数F(x)求概率密度f (x).离散型随机变量的分布函数为分段函数, 若随机变量X的取值为n个, 则要分为n + 1段, 其图形是右连续的阶梯曲线.4 对正态随机变量, 我们有F(-x) = 1 - F(x).若, 则.5 随机变量的函数是一个重要概念. 对连续型随机变量X的函数Y = g(X), 要了解求Y的分布的原理和方法, 当g(x)是严格单调函数时, Y的概率密度可使用公式计算出来.本章中的概念比第一章少, 并且多数概念容易理解, 重点是计算问题. 对离散型随机变量, 求它的分布律实质上是第一章内容的继续, 要用到第一章中的许多内容; 对连续型随机变量, 在进行各种计算时, 涉及到高等数学中的知识, 主要是定积分的计算(其中包括无穷限的广义积分), 要牢记积分的基本公式, 掌握简单的换元积分法和分部积分法, 同时要掌握简单的极限计算.二、典型例题例1 选择题1. 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数, 为使F(x) = a F1(x) - b F2(x)是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取(98数三)( ) A(A) ;(B) ;(C) ;(D) .2.设X1与X2是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为f1 (x)与f2 (x), 分布函数分别为F1(x)与F2(x), 则(2002数一)( ) D(A) f1 (x) + f2 (x)必为某一随机变量的概率密度;(B) f1 (x) f2 (x)必为某一随机变量的概率密度;(C) F1(x) + F2(x)必为某一随机变量的分布函数;(D) F1(x) F2(x)必为某一随机变量的分布函数.3. 设随机变量X服从正态分布, 则随s 的增大, 概率P|X - m| s(95)( ) C(A) 单调增大;(B) 单调减小;(C) 保持不变;(D) 增减不定.4. 设随机变量X与Y均服从正态分布, , . 记p1 = PX m - 4, p2 = PY m + 5, 则(93)( ) A(A) 对任何实数m , 都有p1 = p2;(B) 对任何实数m , 都有p1 p2.5. 设随机变量X的概率密度为j(x), 且j(-x) = j(x), F(x)是X的分布函数, 则对任何实数a, 有(93数四)( ) B(A) ;(B) ;(C) F(-a) = F(a); (D) F(-a) = 2F(a) - 1.例2 填空题1. 设随机变量X服从参数为2、p的二项分布, 设随机变量Y服从参数为3、p的二项分布. 若, 则PY 1 = . (97数四) 2. 已知随机变量X的概率密度为 - x +, 则X的分布函数F(x) = .(90数一) 3. 若随机变量X服从均值为2、方差为的正态分布, 且P2 X 4 = 0.3, 则PX 0), 且二次方程无实根的概率为, 则m = . (2002数一) 45. 设随机变量X服从(0, 2)上的均匀分布, 则随机变量在(0, 4)内的概率密度fY (y) = .(93数一) 例3 一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等. 以X表示汽车首次遇到红灯前已通过路口个数, 求随机变量X的分布绿及分布函数.解: 由题设可知, X的可能取值为0、1、2、3. 设Ai = 汽车在第i个路口首次遇到红灯(i = 0、1、2、3). A0、A1、A2、A3相互独立, 且, 所以得;从而, X的分布律为X0123pk例4 一批产品共10件, 其中7件正品, 3件次品. 每次从这批产品中任取一件, 在下述三种情况下, 分别求直至取得正品为止所需次数X的分布律:(1) 每次取出的产品不再放回去;(2) 每次取出的产品仍放回去;(3) 每次取出一件产品后, 总是另取一件正品放回到这批产品中.解: (1)X1234(3)X1234pkpk(2)X123kpk例5 设X服从泊松分布, 且已知PX = 1= PX = 2, 求PX = 4. l = 2, 例6 甲地需要与乙地的10个电话用户联系, 每一个用户在一分钟内平均占线12秒钟, 并且各个用户是否使用电话是相互独立的. 为了使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99, 问应当有多少电话线路?分析: 由题设先求出在任意时刻10个电话用户中使用电话的户数X的分布律, 然后求出m, 使得PX m = 0.99, m即为所求的电话线路数.解: 每一个电话用户在任意时刻使用电话的概率为, 设任意时刻10个用户中使用电话的户数为X. 由于各个用户是否使用电话相互独立, 而且每一用户任意时刻使用电话的概率为, 故, 其分布律为 (k = 0, 1,2, , 10).设有m条线路, 使得任意时刻用户能够通话的概率为0.99, 那么m应当满足PX m = 0.99, 由于,于是m应当满足.顺次取m = 0 、1、2、试算, 得到当m = 5时, 故应取m = 5, 即应当有5条线路可以保证任意时刻用户使用电话时能够通话的概率为0.99.例7 设随机变量X的概率密度为(1) 求常数A; () (2) 计算; () (3) 求分布函数F(x).例8 设连续型随机变量X的分布函数为求: (1) 系数A、B; (1, -1)(2) X的概率密度f (x); (3) P1 X 15 = 1 - PX 15 = 0.5069.由于每次测量的随机误差相互独立, 将3次测量看作3重伯努利试验, 则得3次测量中每次X的绝对值都超过15m的概率p =, 因此, 所求概率为P = 1 - p = 0.8698.例11 电源电压在不超过200伏、200240伏和超过240伏这三种情况下, 元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2. 设电源电压X服从正态分布: , 求(1) 元件损坏的概率a;(2) 元件损坏时, 电压在200240伏之间的概率b. (91)解: 事件X 200、200 240构成完备事件组, 而, 所以, 有PX 200= F(-0.8) = 0.21186;P200 240= = 1 - F(0.8) = 0.21186.(1) 设B = 元件损坏, 则由全概率公式得 a = 0.21186 0.1 + 0.57628 0.001 + 0.21186 0.2 = 0.0641.(2) 由贝叶斯公式, 得.例12 某单位招聘2500人, 按考试成绩从高分到低分依次录用, 共有10000人报名. 假设报名者的成绩, 已知90分以上有359人, 60分以下有1151人, 问被录用者中最低分为多少?解: 本题中已知成绩, 但不知m、s的值是多少, 故求出m、s是关键. 由题意, PX 90=0.0359, PX 90=0.9641, 而PX 90 = =0.9641 , 查表得.又PX 60 = 0.1151 = ,查表得 = 1.2.解得: s = 10, m = 72, 所以, . 已知录用率为0.25, 设被录用者中最低分为x0, 则PX x0 = , , x0 = 78.75.例13 设, - x 0.令h(x)=, 则, . 当时, h(x)有最小值, 所以, 当且仅当时, h(x)= 0.=.由f (x)为概率密度知必有, 因此. 因此 .综上所述, f (x)为(- , +)上的概率密度, 系数a、b、c必须且只需满足下列条件: a 0, , .例14 设离散型随机变量X的分布律为X-4-1024pka2a求: (