导数热难点题.doc

导数热难点题型1 已知函数. 若存在，使，求a的取值范围. 变式：（1）已知,若存在，使，求a的取值范围.。（a3）（2）已知,若任意，使 ， 求a的取值范围. （a3） 若上单调递减.又 若从而在（0，上单调递增，在，+上单调递减. 据题意， 综上，的取值范围是（3，+）. 2 已知函数,若对任意，不等式总成立，求实数的取值范围。由恒成立，且恒大于0，可得恒成立。令，设，则， （当且仅当时，“=”号成立）。的最大值为，故实数的取值范围是。3 设=，若对一切，都有恒成立，求的取值范围. =，令，因为对一切，都有恒成立等价于对一切，都有恒成立.所以即解得.则当时，对一切，都有恒成立. 4 若实数，函数,若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.（I）令，或若，在点附近，当时，；当时，是函数的极小值点，极小值为；.5分在点附近，当时，；当时，是函数的极大值点，极大值为（II）若在上至少存在一点使得成立，则在上至少存在一解，即在上至少存在一由（I）知，函数在区间上递增，在上递减，要满足条件应有函数的极大值，即综上，实数的取值范围为5 已知函数，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.(). 5分当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. 6分当时，由，得.在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 8分（）由已知，转化为. 9分 10分由()知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 11分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值， 13分所以，解得. 14分6已知，函数，（）求函数的单调区间和值域；（）设若，总存在，使得成立，求的取值范围（已知）解：（） 1分令解得：（舍去） 2分列表：01-0+可知的单调减区间是，增区间是； 5分因为 ，所以 当时，的值域为 6分（）因为，所以， 8分为0，1上的减函数，所以 9分因为 当时，的值域为由题意知：所以 11分又，得 13分7 已知函数在区间 1，上是增函数，求实数a的取值范围.，要在1，上是增函数，则有在1，内恒成立，.9分即在1，内恒成立又（当且仅当x=1时取等号），所以.14分类题：（1） 若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：又在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即在1,1的最大值为 故的取值范围为【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.类题：（2） 若函数f(x)=x3ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A.a3 B.a=2C.a3D.0a3解析：f(x)=3x22ax=3x(xa),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(xa)0,即a2,a3.答案：A8 设函数在区间上是增函数，求实数的取值范围 拓展：改成有什么区别？若，则，此函数在上单调递增，满足题意若，则令，得，由已知，在区间上是增函数，即当时，0恒成立若，则只须1，即01若，则，当时，则在区间上不是增函数综上所述，实数的取值范围是9 已知函数的定义域是R，且在区间上是增函数，求实数a 的取值范围答案 类题：（1）已知函数，且在区间上是减函数，求实数a 的取值范围。（2）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。解：（x）=3ax2+6x1. 要使f（x）在0，4递减，则当x（0，4）时，（x）1时，2x3x2+1.证明：令f（x）=2x3x21，则（x）=6x22x=2x（3x1）. 当x1时，（x）0恒成立.f（x）在（1，+）上单调递增.又f（1）=0，f（x）在（1，+）上恒大于零，即当x1时，2x3x2+1.11 已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有（ d） A.3B.2个 C.1个 D.0个（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）0，f（x）在1，2上单调递增.f（x）f（1）=7. f（x）=0在1，2上无根. 类题：证明方程x33x+c=0在0，1上至多有一实根.证明：设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）.当x（0，1）时，（x）0恒成立.f（x）在（0，1）上单调递减. f（x）的图象与x轴最多有一个交点.因此方程x33x+c=0在0，1）上至多有一实根.12 设R，函数.,当恒成立，求a的取值范围.（）解：对函数求导数，得 3分令 4分令 5分所以，的单调递增区间为；的单调递减区间为（，1） 6分（）解：由（）知，在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，所以，在0，2上的最小值为 8分由所以，在0，2上的最大值为 10分因为，当解得 ，即a的取值范围是1，0 14分13 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程。 解：（1） 为函数的单调增区间 而当时， -1，1为f(x)的单调减区间 7分 （2）设切点为，则所求切线方程为 由于切线过点 解得 所以切线方程为即类题 ：（1）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ d ） （A） （B） （C） （D）解： 0或2，代入可验正D正确。选D（2） 曲线，过点A（0，16）作曲线f（x）的切线，求曲线的切线方程。切点横标2，y=9x+1614 已知函数f(x)=x3-12x+1的图象与直线y=m有三个公共点，求m的取值范围.解f(x)=x3-12x+1。7分()由条件可知，函数f(x)有极大值f(-2)=17,极小值f(2)=-15。11分因为f(x)的图象与直线y=m恰有三个公共点，所以，-15m17. 13分 练习1已知函数f（x）=ax3+3x2x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.解：（x）=3ax2+6x1.（1）当（x）0时，f（x）为减函数.3ax2+6x10（xR），a0时，=36+12a0，a3.a3时，（x）1，即a2时，函数f（x）在（，1）上为增函数，在（1，a1）上为减函数，在（a1，+）上为增函数.依题意，当x（1，4）时，（x）0，4a16. 5a7.a的取值范围为5，7.评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.3 已知函数. （）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值解析：的定义域为， 1分 的导数. 3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 5分所以，当时，取得最小值. 6分（）解法一：令，则， 8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，