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实验十一Bezier曲线的绘制 一 实验目的 初步了解Bezier曲线的定义 能利用MATLAB软件绘制二次Bezier曲线和三次Bezier曲线 二 相关知识 Bezier广泛应用于外形设计的参数曲线逼近方法 它通过对一些特定点的控制来控制曲线的形状 我们称这些点为控制顶点 现在我们来给出Bezier曲线的数学表达式 在空间给定个点 称下列参数曲线为n次的Bezier曲线 其中是Bernstein基函数 其表达式为 二 相关知识 一般称折线为曲线的控制多边形 称点为的控制顶点 Bezier曲线与其控制多边形的关系可以这样认为 控制多边形是的大致形状的勾画 是对其中是Bernstein基函数 其表达式为 一般称折线为曲线的控制多边形 称点为的控制顶点 Bezier曲线与其控制多边形的关系可以这样认为 控制多边形是的大致形状的勾画 是对的逼近 Bezier曲线有许多性质 我们这里仅讨论两条 1 端点位置我们指出 和是的两个端点 这一点容易从的表达式得到 即 2 端点的切线Bezier曲线在点与边相切 在点与边相切 此性质可以从以下二式得证 Bezier曲线还有一些其它性质 这些将在 计算机图形学 计算几何 等课程中专门讨论 Bezier曲线有许多性质 我们这里仅讨论两条 1 端点位置我们指出 和是的两个端点 这一点容易从的表达式得到 即 2 端点的切线Bezier曲线在点与边相切 在点与边相切 此性质可以从以下二式得证 Bezier曲线还有一些其它性质 这些将在 计算机图形学 计算几何 等课程中专门讨论 现在我们讨论Bezier曲线的MATLAB绘制 先讨论2次Bezier曲线 即的情形 此时有3个顶点 为了在MATLAB中计算方便 我们将Bezier曲线的一般表示式改写为矩阵形式 我们得到 这样 对于确定的 我们取定区间中的值后 即可计算的值 注意 是与到 这样 对于确定的 我们取定区间中的值后 即可计算的值 注意 是与对应的 如果是平面上的点即2维坐标 则也是2维坐标 如果是空间的点即3维坐标 则也是3维坐标 因此 对于每一组确定的可绘制出一条2次Bezier曲线 完成平面2次Bezier曲线的MATLAB程序如下 先编制完成Bezier曲线计算和绘制的函数bezier2 m 其参数是控制顶点的坐标 BezierSquareCurvePloter ThisfilewillcreateaBeziersquarecurveanddispaytheplot TheparameteristheVertexmatrix function X bezier2 Vertex 对应的 如果是平面上的点即2维坐标 则也是2维坐标 如果是空间的点即3维坐标 则也是3维坐标 因此 对于每一组确定的可绘制出一条2次Bezier曲线 完成平面2次Bezier曲线的MATLAB程序如下 先编制完成Bezier曲线计算和绘制的函数bezier2 m 其参数是控制顶点的坐标 BezierSquareCurvePloter ThisfilewillcreateaBeziersquarecurveanddispaytheplot TheparameteristheVertexmatrix function X bezier2 Vertex BCon 1 21 220 100 our3X3constantMatrixfori 1 1 50 forloop1 50instepsof1par i 1 49 XY i par 2par1 BCon Vertex end yep wehavecreatedourdata wewilldisplaytheverticesandthecurveusing MATLABsbuilt ingraphicfunctionsclf thiswillclearthefigureplot Vertex 1 Vertex 2 ro XY 1 XY 2 b thiswillcreateaplotofboththeVerticesandcurve theverticeswillberedowhilethecurveisblueline ifyouareimpatientyoucansavethefileandruntheBCon 1 21 220 100 our3X3constantMatrixfori 1 1 50 forloop1 50instepsof1par i 1 49 XY i par 2par1 BCon Vertex end yep wehavecreatedourdata wewilldisplaytheverticesandthecurveusingMATLABsbuilt ingraphicfunctionsclf thiswillclearthefigureplot Vertex 1 Vertex 2 ro XY 1 XY 2 b thiswillcreateaplotofboththeVerticesandcurve theverticeswillberedowhilethecurveisblueline ifyouareimpatientyoucansavethefileandrunthe scriptagininMATLABline Vertex 1 Vertex 2 color g addthecontrolpolygon xlabel xvalue ylabel yvalue title SquareBezierCurve legend Vertex Curve ControlPolygon youcanmovethelegendontheplot 然后 在命令行定义Bez2Vertex 00 0 30 7 1 00 2 即定义 再在命令行输入bezier2 Bez2Vertex 则可得到如下的图形 ifyouareimpatientyoucansavethefileandrunthe scriptagininMATLABline Vertex 1 Vertex 2 color g addthecontrolpolygon xlabel xvalue ylabel yvalue title SquareBezierCurve legend Vertex Curve ControlPolygon youcanmovethelegendontheplot 然后 在命令行定义Bez2Vertex 00 0 30 7 1 00 2 即定义 再在命令行输入bezier2 Bez2Vertex 则可得到如下的图形 通过改变控制顶点的坐标 即可得到所需要的2次Bezier曲线 接着我们讨论3次Bezier曲线 我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法 我们得到 这样 我们就可以用与前面几乎相同的程序来绘制3次Bezier曲线了 如设 则可得到如下的3次Bezier曲线 注意 图中 o 表示控制顶点 直线表示控制多边形 曲线即为Bezier曲线 当我们需要的曲线较为复杂时 仅用一段Bezier曲线难以表示 此时 我们可以采用拼接的方法 通过重复使用较为简单的绘制方法来绘制出较为复杂的图形 在拼接时 我们首先要求曲线是连续的 我们以二段3次Bezier曲线的拼接为例来讨论 设控制顶点分别为和 则当与重合时 即能保证曲线连续 我们称两段曲线这样的连续为零阶几何连续 在此基础上 如果我们保证与重合 且和均不为零且同向 则我们可以保证曲线在处是在拼接时 我们首先要求曲线是连续的 我们以二段3次Bezier曲线的拼接为例来讨论 设控制顶点分别为和 则当与重合时 即能保证曲线连续 我们称两段曲线这样的连续为零阶几何连续 在此基础上 如果我们保证与重合 且和均不为零且同向 则我们可以保证曲线在处是光滑的 此时 我们称该曲线在处为一阶几何连续 在稍微复杂一点的条件下 我们还可以使曲线在拼接处有相同的曲率 同时 Bezier曲线还有其它的生成算法 这些都留待以后去讨论 三 实