11.3.2 多边形的内角和（教学设计）.doc

11.3.2 多边形的内角和（教学设计）姓名：邓贡书 ； 手机号码邮政编码：530409；详细通信地址：宾阳县黎塘镇第二初级中学 一、内容和内容解析1、内容多边形内角和公式，多边形外角和公式2、内容分析本节课是以三角形的内角和知识为基础，通过组织学生观察、类比、推理等数学活动，引导学生探索多边形的内角和与外角和公式。通过多种转化方法的探究，让学生深刻体验化归思想以及分类、数形结合的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力和语言表达能力。多边形内角和公式反映了多边形的要素之一“角”之间的数量关系，是多边形的基本性质。多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理。多边形的内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供知识基础。多边形内角和公式的探索是从具体的正方形、长方形的内角和研究出发，逐步深入提出一般的问题（如：任意一个四边形的内角和是否也等于360？你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？），进而获得一般结论，并加以推理论证，这个过程体现了从特殊到一般的研究问题方法。多边形内角和公式的探索与证明都涉及将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即：将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和公式得出多边形内角和公式，这个过程体现了将复杂图形转化为简单的基本单元的化归思想。多边形的外角和公式是三角形和外角和公式的应用、推广和深化。多边形外角和的探索是在11.2.2三角形的外角中，例4：求三角形外角和的基础上，通过本节课例2的处理，得出六边形的外角和也是360。通过类比猜想，把六边形换成n边形可以得出同相的结果：n边形的外角和等于360。这其中用到数学的转化思想：多边形的一个外角可以用相邻的内角表示（它们是互补关系），这样外角的问题就转化为内角的问题。最后，教材举例：用行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，来加深学生对多边形外角和公式的理解。基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形的内角和公式与多边形的外角和公式。二、目标和目标解析1、目标（1）了解多边形的内角、外角等概念，感悟类比方法的价值；（2）能通过不同方法探索并证明多边形的内角和公式和外角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法；（3）运用多边形内角和与外角和公式解决简单问题。2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能类比三角形的有关概念，了解多边形的内角、外角的有关特征，并能从具体情境中识别它们，感悟类比方法在学习多边形有关概念中的重要价值。达成目标（2）的标志是：学生能在教师的启发引导下，从三角形内角和知识出发，通过观察、类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和公式和外角和公式。通过多种转化方法能深刻体验化归思想以及分类、数形结合的思想。达成目标（3）的标志是：学生能将公式运用于简单的多边形内角和与外角和计算，能在多边形问题情境中（如计算正多边形的每个内角的大小）中，自觉地联想用该公式解决问题。三、教学问题诊断分析（学生学情分析）：由具体的特殊多边形内角和到n边形内角和公式的获得，是一个多层次的探索过程，本质上是由具体到抽象以及逻辑推理的过程。如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割的三角形的个数，这个过程不但结论随着多边形边数的变化而变化，而且需要关注的因素也较多边数、从一个顶点出发的对角线数、分割的三角形个数、内角和等，学生把握这一过程会有一定的难度。这时的关键是：（1）引导学生弄清解决问题（推导）的层次；（2）引导学生注意相关因素（边数、从一个顶点出发的对角线数、三角形个数）；（3）引导学生观察相关因素之间的变化关系（即边数的变化引起从一个顶点出发的对角线数的变化，对角线数的变化又引起三角形个数的变化），并使上述（1）、（2）、（3）直观化，让学生明了易懂。在这里，我让学生先在学案上自主探索，然后小组合作，探讨交流，小组汇报展示探索方法，这么做可以锻炼学生合作交流的能力，同时可以提高学生的语言表达能力。本节课的教学难点是：多边形内角和公式的推导，即获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形的个数。四、教学过程设计1、开门见山，单刀直入法今天，我们来学习11.3.2.多边形的内角和 问题1：（1）三角形是多边形吗？（2）三角形内角和是多少？（3）三角形的外角和是多少？设计意图：开宗明义，让学生注意力迅速回到课堂中来，让学生明白本节课主要研究内容，也为下面类比方法研究多边形内角和作铺垫。2、探索四边形、五边形、六边形的内角和问题2：我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、长方形的内角和都等于360。那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360呢？你能利用三角形内角和定理证明你的结论吗？师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和，进而发现：只需连接一条对角线，即可将四边形分割为两个三角形（图1）。学生说明过程，教师板书。设计意图：（1）从学生熟悉的、书籍的特例出发，建立起四边形和三角形之间的联系，为提出一般问题作铺垫；（2）通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两个三角形，得出四边形内角和等于两个三角形内角和之和，这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想。追问1：这里连接对角线起到什么作用？师生活动：学生回答将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角的和的问题。设计意图：让学生进一步感受对角线在探索四边形内角和中的作用，体会化归思想。追问2：类比前面的过程，你能探索出五边形的内角和吗？师生活动：学生先独立思考，再分组讨论，然后代表汇报，学生类比四边形内角和的研究过程，得出从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割成3个三角形（如图2），进而得出五边形的内角和为（5-2）180540。教师进一步启发学生从顶点或边两上角度解释（从顶点的角度：所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少了两个三角形；从边的角度：所取顶点与它所在的两条边不能构成三角形，所以少了两个三角形），进而可以得出五边形内角和为（5-2）180540。设计意图：将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点作出的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为进一步探究六边形内角和奠定基础。 图1 图2 图3追问3：如图3，从六边形的一个顶点出发，可作_条对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的内角和等于180_。师生活动：学生类比四边形、五边形内角和的研究过程回答追问3。设计意图：让学生进一步体会将六边形分割成几个三角形的化归过程，明确相关因素（边数、对角线条数、三角形数）对六边形内角和的影响，为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定基础。3、探索并证明n边形的内角和公式A1A2A3A4A5A6An图4问题3：你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？师生活动：学生独立思考后，回答出n边形的内角和等于（n-2）180，然后师生共同分析证明思路。证明过程如下：从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以n边形的内角和等于（n-2）180。设计意图：让学生体会从具体到抽象的研究问题的方法，感悟化归思想的作用。追问1：边数从某顶点出发的对角线数三角形数内角和456n师生活动：师生共同填写表格，得出规律：多边形边数增加1，内角和就增加180。设计意图：通过填写表格，回顾n边形内角和的探索思路。追问2：前面我们通过从一个顶点出发作对角线，将多边形分割成几个三角形，进而探究出多边形的内角和，那么，是否还有其他分割多边形的方法呢？师生活动：学生自主探究，小组讨论交流，并让小组代表板演并讲解思路，学生可能有以下几种方法：方法1：如图5，在n边形内任取一点，连接A1, A2,A3,An,则n边形被分成了n个三角形，这n个三角形的内角和为n180，以为公共顶点的n个角的和是360，所以n边形的内角和是n180-360，即（n-2）180。方法2：如图6，在边A1 A2上任取一点P，连接PA3, PA4,PAn,则n边形被分成了（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和为（n1）180，以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180，所以n边形的内角和是（n-1）180-180，即（n-2）180。设计意图：让学生尝试用不同的方法分割多边形，把n边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用，进一步加深对n边形内角和公式推理过程的理解。A1A2A3A4A5A6An图6PA1A2A3A4A5A6An图5CDAB图74、巩固多边形内角和公式例1：填空（1）十边形的内角和为_。（2）已知一个多边形的内角和为1080，则它的边数为_。师生活动：学生独立完成，并口头说明理由。设计意图：让学生从正反两个方面运用公式，解决与多边形内角和有关的简单计算问题。例2：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？师生活动：教师提出问题，学生画出图形（图7）,并根据图形将文字语言翻译成符号语言，明确题中已知A+C=180,所求的是B+D的度数。在这里要用到四边形内角和等于360。完成解题过程后，教师引导学生得出结论：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形内角和公式，利用公式解决具体问题。练习1：（1）图8中的x=_,图9中的x=_。x8012075图9x图8x2314图1056ABCDEF（2）一个多边形的各个内角都等于108，它是_边形。设计意图：通过练习巩固多边形的内角和公式。5、探索并证明六边形的外角和例3：如图10，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？师生活动：教师提出问题（1）任何一个外角同它相邻的内角有什么关系？（2）六边形的六个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？联系这些问题，考虑外角和的求法。师生共同完成六边形外角和等于360设计意图：让学生观察、思考，把求六边形的外角和转化为六个平角减去六边形内角和的问题，通过建立知识之间的联系，把未知转化为已知的数学方法，将复杂问题转化为简单问题，提高学生的数学素养，进一步提高学生利用多边形内角和公式解决问题的能力，也为下一步同类比方法由特殊到一般去探究多边形外角和作铺垫。6、探索多边形外角和公式图11思考：现在我们知道三角形外角和是360，六边形外角和也是360，那么我们猜想：是不是所有的多边形的外角和与边数多少无关，不管边数多少，它总是等于360呢？能将上面的六边形改为n边形吗？师生活动：n180-（n-2）1802180360得出多边形外角和公式：多边形的外角和等于360。设计意图：让学生再次体会从具体到抽象的研究方法，感悟推广方法和化归思想的作用。加深理解：介绍新方法。我们还可以这样理解为什么多边形外角和等于360。如图11：从多边形的边上一点出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点，在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360。设计意图：用不同的解法，开拓学生的视野与思维，进一步加深对多边形外角和公式的理解。练习2 ：（1）一个多边形每个外角都是60，它是_边形。（2）一个多边形的内角和与外角和相等，它是_边形。设计意图：通过练习巩固多边形的外角和公式。7、小结：教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎样得出这个公式的？在探究多边形内角和公式时，连接对角线有什么作用？（3）运用这两个公式，你能解决什么问题？设计意图：引导学生从知识内容、数学方法和解法应用价值三个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂问题转化为简单的基本单元的化归思想，强调从特殊到一般的研究问题的方法。8、布置作业：教科书习题11.3第2、4、5、6题。五、目标检测设计：1、八边形内角和是_。设计意图：考查学生对多边形内角和公式的运用，求内角和。2、若一个多边形的内角和为900，则这个多边形的边数_。A6B.7C.8D.9设计意图：考查学生对多边形内角和的第二个应用：求边数。3、正六边形的每个内角都是_。A60B.80C.100D.120设计意图：考查学生对正多边形概念的理解及多边形内角和公式的运用。4、若一个多边形的每个外角都等于60，则它的内角和等于_。A180B.720C.1080D.540设计意图：考查学生对多边形外角和与内角和公式的应用。325、已知一个多边形的内角和是外角和的 ，则这个多边形的