数学专题18含有参数的不等式问题.doc

高中数学高考总复习 专题十八 含有参数的不等式问题众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集；（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。一、立足于“直面求解”解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切入。例1.设关于x的不等式 （1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+），求m的取值范围；（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m20,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为axb型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。解：（1）由题设，原不等式 m（x+2）m2+(x-3) (m R，m0) (m-1)xm2-2m-3 (1)当m1时，由（1）解得 当m=1时，由（1）得x R;当m1时，原不等式的解集为 当m=1时，原不等式的解集为R当mm2-2m-3 m2-5m0 0m0以及 ， m的取值或取值范围由此而产生。例2已知关于x的不等式组 的整数解的集合为-2,求实数R的取值范围。分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x= -2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。解：不等式x2-x-20 (x+1)(x-2)0 x2不等式 x2-x-20的解集A=（-，-1） （2，+ ），显然-2A不等式2x2+(2R+5)x+5R0 (x+R)(2x+5)0 设这一不等式的解集为B，则由-2 B，得：（-2+R）（-4+5）0 R2 注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1= -R， ，(1)当 时, 由得 , 即 此时-2 B(2)当 时,由得 x|x AB,x Z=-2 于是由、得所求实数的取值范围为-3，2）点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R0的解集为B，而后首先由-2 B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。二、致力于“化生为熟”化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的题”。而对所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。例1.若不等式 的解集为（-，1）（2，+），求a的取值范围。分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。解：不等式 （a-1）x+1(x-1)0 解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a0且1-a1以下以 式左边多项式的根 与1的大小为主线展开讨论：（1）当01-a1即0a1时， 由得x1，即a1这与题设条件不符于是由（1）、（2）所得a的取值范围为 解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）原不等式 （1-a）x-1(x-1)0 又原不等式的解集为（-，1）（2，+） 注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根 所求a的取值范围为 点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形”一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0的解集为（-，x1） (x2 ,+),则必需（1）ac0 （2）x1为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x2为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；例2.若不等式 的解集为(-3,-1) 2,+ ）,求实数a的值分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用.解:原不等式 (x+a)(x2+4x+3) 0(x2+4x+30) (x+1)(x+3)(x+a)0(x-1,且x-3)设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x-3且x-1)则原不等式 f(x) 0由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, f(2)=0 a=-2所求实数a=-2点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题，集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。例1.若对 中的一切实数a，满足不等式 b的x也满足不等式 ,求正实数a的取值范围。分析：注意到各不等式的解组成集合，为将已知的两不等式的“解”之间的关系转化为两个集合之间的关系，首先从化简两个不等式的解集切入解：设集合A=x| |x-a|0,于是由(5)、（6）得b的取值范围为 。点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。例2.要使满足关于x的不等式2x2-9x+a0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一个，求实数a的取值范围。分析：根据例1的解题经验，我们以求出有关不等式的解集切入，而后利用有关解集之间的关系突破。解:设A=x|x2-4x+30，则A=（1，3）；B=x|x2-6x+80,则B=（2，4）； AB=（1，4）设C=x|2x2-9x+a0, 则由题设得 C AB，即C （1，4）又设f(x)= 2x2-9x+a则f(x)的图象是以直线 为对称轴且开口向上的抛物线由C （1，4）得x|f(x）0 (1,4) 于是可知实数a的取值范围为 点评：上述解答进行了两次转化：第一次是转化为集合间的关系： C AB；第二次是注意到2x2-9x+a0为二次不等式，于是在C AB=（1，4）的基础上，进一步将问题转化为已知一元二次不等式的解集，而这样的问题恰是我们所熟悉的，于是解题胜利在望。配伍练习：已知三个不等式：（1）|2x-4|5-x;（2） （3）2x2+mx-10 对任何x R恒成立 a0且=b2-4ac0;ax2+bx+c0 对任何x R恒成立 a0且=b2-4acm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）注意到对任意x R，总有x2+x+10对任意x R 恒 成立 对任意x R 恒有3x2+2x+2m（x2+x+1）成立 对任意x R 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0成立 注意到m N*， m=1（2）设f(x)=|x+1|+|x-2|,则f(x)m对一切实数x恒成立 mf(x)的最小值 （1）f(x)=|x+1|+|x-2|（x+1）-（x-2）|=3 (当且仅当-1x2时等号成立)f(x)的最小值为3（当且仅当x -1，2时所得） （2）于是由（1）（2）得m3，即所求的取值范围为 。例2.若不等式 对一切x R恒成立，求实数的取值范围。分析：为化生为熟，首先考虑在不等式的等价变形过程中去掉绝对值，而后再转化为二次三项式大于0（或小于0恒成立问题）。解：不等式 注意到 原不等式对一切x R恒成立 -5(3x2-2x+3)x2+2mx+15(3x2-2x+3)对一切x R恒成立 所求m的取值范围为（-11，9）点评：在原不等式等价变形过程中，化整为零，使各个部分都归结为二次型不等式恒成立的问题，这也是在应用解决数学问题通用的化整为零，灵活机动的战略战术.例3.已知三个关于x的不等式：(1)|2x-4|5-x;(2) ;(3)2x2+mx-10 若同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），试求m的取值范围。分析：本例的条件与结论与例2颇为相似，于是考虑由例2的解题思路切入并延伸。解：将（1）（2）联立，得： 0x1或2x3设不等式（1）的解集为A，（2）的解集为B （3）的解集为C则有AB=0，1）（2，3）由题设知 ，即0，1） （2，3） C再由题设知，当x 0，1） （2，3）时，不等式（3）恒成立 当x 0,1） 2,3，时，不等式2x2+mx-10恒成立 注意到当x=0时，2x2+mx-10显然成立，当x 0,1） 2,3，时，不等式2x2+mx-10恒成立 设 则由1）得mg(x)恒成立 mg(x)的最小值或mg(x)的下确界注意到g(x)在（0，1）(2,3)内为减函数g（x）g(3)又 g(x)的下确界为 由（2）（3）得 ，即所求m的取值范围为 点评：题面与第一步的转化都与前面的例2“有着惊人的相似之处”，但是第二步的转化却有着明显的差异：前者是转化为已知二次函数f(x)0的解集为（x1, x2） a0的解集为（-, x1）（x2,+） a0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。于是由此不等式所含的数 和ax想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。解：设t= ，则t0且原不等式 由题设知关于t的不等式 (t0)的解集为（2， ）一元二次方程 的两根为2， 由韦达定理得 由此解得 点评：这里“化生为熟”的手段是“换元”，变量转换，是使问题完成从“无理”向“有理”的质的转变的重要手段.例2定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是减函数，当x 0， 时，f（sin2x-msinx+m）+f(-2)0恒成立，求m的取值范围.分析：注意到这里含有抽象的函数符号“f”，故首先想到通过“反用”单调性的定义脱去“f”，将所给问题转化为普通的不等式恒成立的问题；又注意到“f ”之下是关于sinx的二次三项式，为使有关不等式以及解题过程双双简明，考虑第二次转化时运用变量转换.解：由f(x)为奇函数得-f(-2)=f(2)f(sin2x-msinx+m)-f(-2) 当x 0， 时恒成立 f(sin2x-msinx+m)f(2) 当x 0， 时恒成立 令sinx=t, 则由x 0， 得0t1由得f(t2-mt+m)f(2) 当t 0，1时恒成立 又f(x)在R上为减函数，由得 t2-mt+m2 当t 0，1时恒成立 m（1-t）2-t2 当t 0，1时恒成立 当t=1时，对任意m R都有m(1-t)2-t2成立 当t1时，令 g(x)= (0t1)则由得mg(t) （0t1）恒成立 mg(t)(0t1)的最小值 g(t)= = 易知g(t)在0,1）内递增， g(t)有最小值g(0)=2由得 m2 于是由，得所求m的取值范围为（-，2）点评：回顾上述解题过程，在脱去符号“f“之后，首先借助换元，促使关于sinx的二次不等式恒成立的问题，转化为关于t的二次不等式恒成立的问题，完成化繁为简的第一次转化；在此基础上进而由对式的“主元转换”切入，使问题进一步转化为g(x)= （0tm（x2-1）对于m -2，2成立，求x的取值范围分析：注意到这里限定m的范围，所以若将已知不等式视为关于m的一次型不等式，则所给问题便转化为：已知关于m的一次型不等式在m -2，2上恒成立，求其系数中所含x的取值范围，于是，利用一次函数的单调性便可轻易破解解：原不等式 （1-x2）m+(2x-1)0f(m)=(1-x2)m+2x-1则f(m)为m的一次函数或常数函数，其几何意义为直线，于是原不等式对任意m -2，2成立 x 点评：上述解法的详细过程为分类讨论:（i）当1-x20 -1x0(-2m2)得f(-2)0 (ii)当1-x20 x1时,f(m)在-2,2上为减函数由f(m)0(-2m2)得 (iii)当1-x2=0 x=1时当x=1时f(m)=10当x=-1时f(m)=-30不成立,综上(i)(ii)(iii)得所求的x的取值范围为 例2. 已知对于满足p=16sin3,且 - , 的所有实数p,不等式log22x+plog2x+12log2x+p恒成立,求实数x的取值范围.分析:由题设易得p -2,2,所给不等式为log2x的二次不等式,也可视为P的一次型不等式,由此想到以P为主元考察并转化问题.解：由P=16sin3, 又不等式log22x+plog2x+12log2x+p log22x+(P-2) log2x+(1-P)0 (以x为主元) （log2x-1）P+（log22x- 2log2x+1）0 (以P为主元) 设f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2 注意到当log2x=1即x=2时原不等式不成立故f(p)为p的一次函数，并且由得所给问题等价于f(p)在区间-2，2上恒大于0 所求实数x的取值范围为 点评：在这里不可忽略考察（3）中P的关系log2x-1=-0的料情形，事实上，当log2x-1=0即x=2时原不等不成立，故这里x2，即这里的f(p)不存在为常数求的情形若a,b -11且ab，则有 （1）判断f(x)在区间-1，1的单调性；（2）解不等式 （3）若f(x)m2-2am+1对所有x -1，1，a -1,1恒成立，求m的取值范围。分析：注意到这里f(x)为轴象数，故（1）的数解只能运用数的单调性定义，而f(x)的单调性一经确定，便为（2）的推理以及（3）的转化奠定理论基础。解：（1）设x1, x2 -1,1且x10并且由题设得 f(x1)-f(x2)0 ,即 f(x1)f(x2)f(x)在区间-1，1上的增区数。（2）注意到f(x1)定义域为-1，1，且f(x)在用区间-1，1递增，利用增数定义为 原不等式的解集为 (3)由(1)知f(x)在闭区间-1,1上为增函数 f(x) m2-2am+1在x -1,1, -1,1上恒成立 m2-2am+1(-1a1)f(x) (-1 x1) m2-2am+1f(1) 在a -1,1上恒成立 m2-2am+10 在a -1,1上恒成立 (以m为主元 (-2m)a+m2 0 在a -1,1上恒成立 (以m为主元 当g(a)=(-2m)a+m2，则g(a)为a的一次函数 由（5）（6）得 g(a)0在a -1,1上恒成立 g(1) 0且g(-1) 0 m-2 或m2所求m的取值范围为（-,-m）2,+ 点评：这里的解题经历三次视角的转化：第一次是由到，将f(x)在给定区间上递增，视为相关不等式在给定区间上恒成立；第二次是以到，将不等式与f(x)的最大值建立联系；第三次是从到，将关于m的二次不等式视为关于a的一次型不等式，由此，解题一步步转化，一步步走向熟悉与简明.五、练习（高考真题）1、（2005-辽宁卷）在R上定义运算 ：x y=x(1-y),若不等式（x-a） (x+a)1对任意实数x成立，则（ ）A-1a1 B. 0a0，设x0 （0，+），y=kx+m是曲线y=f(x)在点（x0 f(x0)）处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m （1）用x0 f(x0),f(x0)表示m；（2）证明：当x （0，+）时，g（x）f(x)；（3）若关于x的不等式 在0，+）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。分析与解答：1、分析：注意到我们对上面定义的陌生，故首先想到从本题对运算的定义切入，将有关不等式转化为普通不等式：由所给定义（x-a） (x+a)1对任意x R成立 （x-a）(1-x-a)0对x R恒成立 =1-4（1-a2+a）0 4a2-4a-30 故应选C2、分析：由P正确且Q正确推出m的范围首先需要寻找命题P与命题Q成立 时，变量m所满足的等价条件，故从命题P、Q的转化切入。解：由x1, x2为方程x2-ax-2=0的两个实根，得x1+x2=a， x1x2=-2 命题P正确 不等式 对任意实数a -1，1成立（1）-1a1, 8a2+89, 由（1）得命题P正确 |m2-5m-3|3 m2-5m-3-3或m2-5m-33 m-1或0m5或m6即当m （-，-10，5 6，+时，命题P正确 （2）又 f(x)的图象是开口向上的抛物线要使f(x)在（-，+）上有极值，只需f(x)的最小值小于零 m4即当m （-，-1）（4,+ ）时 ,命题Q正确 （3）于是由（2）、（3）知，当命题P、Q同时正确时，m的取值范围由（-，-1）（4,5 6，+）。点评：在这里命题Q的转化：注意到f(x)在R上可导，所以f（x）在R上存在极值，只需f(x)可取正值、负数与零值，又f（x）是二次项系数为正数的二次函数，且在R上连续，故只f(x)的最小值小于0，这一步步化隐为明的转化,值得