【志鸿优化设计】（湖北专用）高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4．1任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案 理 新人教A版 .doc

第四章三角函数、解三角形41任意角和弧度制及任意角的三角函数1了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1任意角(1)角的分类任意角可按旋转方向分为_、_、_.(2)象限角第一象限角的集合_第二象限角的集合_第三象限角的集合_第四象限角的集合_(3)轴线角角终边位置角的集合在x轴非负半轴上_在x轴非正半轴上_在y轴非负半轴上_在y轴非正半轴上_在x轴上_在y轴上_坐标轴上_2弧度制(1)弧度制长度等于_长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以_作为单位来度量角的制度叫做弧度制(2)角度与弧度之间的换算360_rad,180_rad,1 rad，1 rad_.(3)弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角为(弧度)，半径为r，则l_；s扇形_.3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)_叫做的正弦，记作sin ，即sin y_叫做的余弦，记作cos ，即cos x_叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)定义域rr各象限符号_口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同的角的三角函数值(kz)(公式一)sin(k2)_cos(k2)_tan(k2)_三角函数线有向线段mp叫做角的正弦线有向线段om叫做角的余弦线有向线段at叫做角的正切线1终边与坐标轴重合的角的集合为()a|k360，kzb|k180，kzc|k90，kzd|k18090，kz2设角终边上一点p(4a,3a)(a0)，则sin 的值为()a. b c. d3已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()a2 bsin 2 c. d2sin 14已知sin 0，tan 0，那么是()a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角5若点p在角的终边上，且|op|2，则点p的坐标为_一、象限角及终边相同的角【例11】若是第三象限的角，则是()a第一或第二象限的角b第一或第三象限的角c第二或第三象限的角d第二或第四象限的角【例12】 已知角是第一象限角，确定2，的终边所在的位置方法提炼1对与角终边相同的角的一般形式k360的理解(1)kz；(2)是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无穷多个，它们相差360的整数倍2已知的终边位置，确定k，(kn*)的终边的方法：先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出k或的范围，然后就k的可能取值讨论k或的终边所在位置提醒：不少同学往往容易把“小于90的角”等同于“锐角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kz请做演练巩固提升1二、三角函数的定义【例2】已知角的终边经过点p(4a,3a)(a0)，求sin ，cos ，tan 的值方法提炼(1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论(2)熟记几组常用的勾股数组，如(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(8,15,17)，(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便(3)若角已经给定，不论点p选择在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数的定义，角的三角函数值也都是确定的请做演练巩固提升4三、扇形的弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为r.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？方法提炼(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值(3)记住下列公式：lr；slr；sr2.其中r是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，s是扇形面积请做演练巩固提升2不理解三角函数的定义而致误【典例】 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若p(4，y)是角终边上的一点，且sin ，则y_.错解：因p(4，y)是角终边上的一点，且sin .sin y.错因：题中p点不在单位圆上，不能直接用定义表示sin ，而应利用下列方法求解，若角终边上任意一点p(x，y)，|op|r，则sin ，cos ，tan 这两个定义是等价的正解：p(4，y)是角终边上的一点，由三角函数的定义知sin ，又sin ，解得y8.答案：8答题指导：对于三角函数的定义要牢固记忆，并且与单位圆中的要区分开，要知道只有在单位圆中点的纵坐标才是角的正弦，而本题的错因恰是对三角函数的定义理解不清而导致1若k18045(kz)，则在()a第一或第三象限 b第一或第二象限c第二或第四象限 d第三或第四象限2已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()a1 b4 c1或4 d2或43(2012大纲全国高考)正方形abcd的边长为1，点e在边ab上，点f在边bc上，aebf.动点p从e出发沿直线向f运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点p第一次碰到e时，p与正方形的边碰撞的次数为()a8 b6 c4 d34角的终边上有一点p(3t,4t)(tr且t0)，则sin 的值是_5已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)正角负角零角(2)|2k2k，kz|2k2k，kz|2k2k，kz|2k2k2，kz(3)|2k，kz|2k，kz|k，kz2(1)半径弧度(2)2(3)|rlr|r23yx正正正正负负负负正负正负sin cos tan 基础自测1c解析：当角的终边在x轴上时，可表示为k180，kz.当角的终边在y轴上时，可表示为k18090，kz.当角的终边在坐标轴上时，可表示为k90，kz.2b解析：设p与原点的距离为r，p(4a,3a)，a0，r|5a|5a.sin .3c解析：由已知可得该圆的半径为.2弧度的圆心角所对的弧长为2.4c解析：sin 0，在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上，又tan 0，在第一或第三象限，在第三象限5(1，)解析：根据三角函数的定义，x|op|cos21，y|op|sin2.p点的坐标为(1，)考点探究突破【例11】 b解析：由已知，得2k2k(kz)，kk(kz)是第一或第三象限的角【例12】 解：是第一象限的角，k2k2(kz)(1)k42k4(kz)即2k222k2(kz)2的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上(2)kk(kz)，当k2n(nz)时，2n2n(nz)的终边在第一象限当k2n1(nz)时，(2n1)(2n1)(nz)，即2n2n(nz)，的终边在第三象限综上，的终边在第一象限或第三象限【例2】 解：r5|a|.若a0，r5a，角是第二象限角，且sin ，cos ，tan .若a0，r5a，角是第四象限角，且sin ，cos ，tan .【例3】 解：(1)设弧长为l，弓形面积为s弓，则60，r10，l|r10(cm)，s弓s扇s10102sin 50(cm2)(2)扇形周长c2rl2rr，r，s扇r22.当且仅当24，即2弧度时，扇形面积有最大值为 cm2.演练巩固提升1a解析：当k为奇数时，在第三象限；当k为偶数时，在第一象限2c解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意得解得r1，l4或r2，l2.3b解析：如图，由题意：tanbef，x2为hd中点，x3d，x4c，x5h，