《诱导公式》教案2 (2).doc

诱导公式教案一、学习目标知识与技能通过本节内容的教学，使学生掌握+，-角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；过程与方法通过公式的应用，培养学生的化归思想，情感态度与价值观通过公式的应用，培养信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用. 难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.三、教学方法先由学生自学，然后由教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.四、课时3课时五、教学过程第1课时教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1、 初中我们已经会求锐角的三角函数值。2、 和30、45、60终边相同的角如何表示？ 本节我们将研究任意角三角函数值之间的某中关系，以及如何求任意角的三角函数值。教师提问：0、30、45、60、90的正弦、余弦、正切的三角函数值是多少？学生回答我们如何求360、390、315的三角函数值呢？温故知新公式导入1.公式(一) （其中）诱导公式（一）的作用：把把绝对值大于360的任意角的正弦、余弦、正切的三角函数问题转化为绝对值小于360角的正弦、余弦、正切三角函数问题，其方法是先在绝对值小于360角找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果2公式（二）: 它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)（如图4-5-2）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x,sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cos公式二的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义根据点P的坐标准确地确定点P的坐标是关键，这里充分利用了对称性质事实上，在图1，点P与点P关于x轴对称直观的对称形象为我们准确写出P的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性公式(三) 由公式（一）可以看出，角和加上偶数倍的所有三角函数值相等。角和加上奇数倍的正，余弦值互为相反数； 角和加上奇数倍的正切函数值相等。 让学生在单位圆中画出角与角，观察两个角的位置关系。引导学生在单位圆中画出角与角，观察其位置关系，在结合公式（一）得到公式（三）1根据任意角的三角函数定义可知两个角若终边相同，那么它们的三角函数值也应该相同。由此导出公式（一）2学生在单位圆中画出角与角，观察出角的终边关于x轴对称，结合三角函数定义可得到公式（二）3利用角的终边在单位圆中的不同位置关系而得到相应的诱导公式。应用举例例1下列三角函数值： （1）cos210； (2)sin解：（1）cos210=cos(180+30)=cos30=；（2）sin=sin()=sin=例2求下列各式的值： （1）sin()；(2)cos(60)sin(210)解：（1）sin()=sin()=sin=；（2）原式=cos60+sin(180+30)=cos60sin30=0例3化简解：原式 = =1例4已知cos(+)= ，2，则sin(2)的值是（ ）（A）(B) (C)(D)选A分析：本题是诱导公式三的巩固性练习题求解时，只须设法将所给角分解成180+或（+），为锐角即可分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题求解时一般先用诱导公式二把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式三把它们化为锐角的正弦、余弦来求分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用求解时先用诱导公式三把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和二把sin(2)化成sin,再用同角三角函数的平方关系即可课堂练习1求下式的值：2sin(1110) sin960+答案：2提示：原式=2sin(30)+sin60=22化简sin(2)+cos(2)tan(24)所得的结果是（ ）（A）2sin2(B)0(C)2sin2(D) 1答案：C选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用使用方法：供课堂练习用评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面有着较高的要求若只计算一次便获得准确结果，表明在利用诱导公式一、二、三求解三角函数式的值方面已达到了较熟练的程度加强格式的规范化，减少计算错误。课堂小结通过本节课的教学，我们获得了诱导公式值得注意的是公式右端符号的确定在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中，我们又一次使用了转化的数学思想通过进行角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性本节课我们学习了哪些诱导公式？它们角的终边具有什么几何特征？如何记住公式？师生共同回顾本节课所学习的诱导公式，加强记忆，熟能生巧。布置作业练习A、练习B通过完成作业巩固诱导公式的（一）、（二）、（三），达到熟练运用。记准公式，计算准确第2课时教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入 复习提问： 诱导公式（一），（二）及（三）的内容公式(一) （其中）公式二: 公式(三)学生默写温故知新新课讲授公式（四） 四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题。1、在上一课时的基础上，可以请学生先讨论探索性的进行讲解，充分发挥学生学习的潜能，既有助于激发学习数学的积极性，又便于在学生的讲解过程中发现他们理解知识上的不足，最后再由老师进行纠正和深入讲解。例题讲解归纳小结例1 求证：证： 左边 = 右边 等式成立例2 例3 解： 从而例4 解： 四、课堂练习：1计算：sin315-sin(-480)+cos(-330) 解：原式 = sin(360-45) + sin(360+120) + cos(-360+30)= -sin45 + sin60 + cos30 =2已知解： 3求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则：原式成立4已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。解： sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) - sin(3p - a) = 2cos(4p - a)- sin(p - a) = 2cos(- a) sina = - 2cosa 且cosa 0 5已知解：由题设： 由此：当a 0时，tana 0, cosa 0, a为第二象限角， 当a = 0时，tana = 0, a = kp, cosa = 1， cosa = -1 , 综上所述：6若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0- 1sinx1 ； a的取值范围是五、小结 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“- a”公式化为正角的三角函数；2用“2kp + a”公式化为0，2p角的三角函数；3用“pa”或“2p - a”公式化为锐角的三角函数六、课后作业：习题及补充练习七、板书设计以教师适当的分析为主，学生自练为辅。1、例题1-3主要是对诱导公式（一）和（四）的直接运用，检验学生是否已正确掌握，既是检测，又是下一步教学的辅助。2、例2是一道综合性较强的题目，既有对诱导公式的灵活应用，又有与函数知识的结合，意在使学生建立知识之间的综合练习。3、课堂练习仍然紧紧围绕本节的重点内容设置，因此，主要以学生自练为主，适当可以小组为单位进行互查，对于习题的解答过程中反映出来的错误，及时给予纠正，同时，对解答步骤也必须给予规范。4、作业的布置照顾到了不同层次学生的需求，既有对基础知识的巩固反馈，又有对前面所学知识的综合练习。第3课时教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习提问： 四组诱导公式的内容老师提问，学生回答。温故知新例题讲授例1求下列三角函数的值(1) sin240；(2)；(3) cos(252)；(4) sin（）解：（1）sin240=sin(180+60)sin60=(2) =cos=；(3) cos(252)=cos252= cos(180+72)=cos72=03090；(4) sin（）=sin=sin=sin=例2求下列三角函数的值(1)sin(11945)；(2)cos；(3)cos(150)；(4)sin解：(1)sin(11945)=sin11945=sin(1806015)= sin6015=08682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(150)=cos150=cos(18030) =cos30=；(4)sin=sin()=sin=例3求值：sincossin略解：原式=sincossin =sincos+sin =sin+cos+sin =+03090=13090 例4求值：sin(1200)cos1290+cos(1020)sin(1050)+tan855解：原式sin(120+3360)cos(210+3360)+cos(300+2360)sin(330+2360)+tan(135+2360)sin120cos210cos300sin330+tan135sin(18060)cos(180+30) cos(36060)sin(36030)+=sin60cos30+cos60sin30tan45=+1=0例5化简：略解：原式=1例6化简：解：原式= = =例7求证：证明：左边= = =，右边=，所以，原式成立例8求证证明：左边 tan3右边，所以，原式成立例9已知求：的值解：已知条件即， 又，所以：=例10已知,求:的值解：由，得，所以故 =1tan2tan2=1+例11已知的值解：因为，所以：=m由于所以于是：=，所以：tan= 例12已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是 2（）=从而 =三、课堂练习：1已知sin(+) ，则的值是（ ）（A）(B) 2(C)(D)2式子的值是（ ）（A）(B)(C)(D) 3，是一个三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）（A）sin(+)+sin(B)cos(+) cos(C)sin(+)cos()tan(D)cos(2+)+ cos24已知：集合，集合，则P与Q的关系是（ ）（A）PQ(B)PQ(C)P=Q(D)PQ=5已知对任意角均成立若f (sinx)=cos2x，则f(cosx)等于（ ）（A）cos2x(B)cos2x(C) sin2x(D)sin2x6已知，则的值等于 7= 8化简：所得的结果是 9求证10设f(x)=， 求f ()的值答案与提示1D 2B 3C 4C 5A 6 70 82cos9提示：左边利用诱导公式及平方关系，得，右边利用倒数关系和商数关系，得，所以左边=右边10提示：分n=2k，n=2k+1(kz)两种情况讨论，均求得f(x)=sin2x故f()=四、小结 四组诱导公式的作用：任意一个角都可以表示为的形式。这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到之间角的三角函数求值问题。学生先做，老师对答案。重点问题 重点讲解。学生观察分析，老师启发，边讲边练。说明：本题是诱导公式二、三的直接应用通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表说明：本题是公式二，三的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题利用公式求解时，应注意符号说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三以及同角三角函数的关系与前面各例比较，更具有综合性通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有一定的综合性尽管问题是以证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是一定的，求解时既要注意诱导公式本身所涉及的符号，又要注意根据的范围确定三角函数的符号说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要复杂一些它对于学生熟练诱导公式及同角三角函数关系式的应用提高运算能力等都能起到较好的作用说明：通过观察，获得角与角之间的关系式=（），为顺利利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当善于引导学生观察，充分挖掘