【备考】高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 立体几何 文.DOC

立体几何 g1空间几何体的结构8g1，g62013北京卷 如图12，在正方体abcda1b1c1d1中，p为对角线bd1的三等分点，p到各顶点的距离的不同取值有()图12a3个 b4个c5个 d6个8b解析 设棱长为1，bd1，bp，d1p.联结ad1，b1d1，cd1，得abd1cbd1b1bd1，abd1cbd1b1bd1，且cosabd1，联结ap，pc，pb1，则有abpcbpb1bp，apcpb1p，同理dpa1pc1p1，p到各顶点的距离的不同取值有4个18g1，g4，g52013广东卷 如图14(1)，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac上的点，f是bc的中点，af与de交于点g，将abf沿af折起，得到如图14(2)所示的三棱锥abcf，其中bc.图14(1)证明：de平面bcf；(2)证明：cf平面abf；(3)当ad时，求三棱锥fdeg的体积18解：g2空间几何体的三视图和直观图10g2，g72013北京卷 某四棱锥的三视图如图13所示，该四棱锥的体积为_图13103解析 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此v(33)13.18g2，g42013福建卷 如图13，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abdc，abad，bc5，dc3，ad4，pad60.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥pabcd的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若m为pa的中点，求证：dm平面pbc；(3)求三棱锥dpbc的体积图1318解：(1)在梯形abcd中，过点c作ceab，垂足为e.由已知得，四边形adce为矩形，aecd3，在rtbec中，由bc5，ce4，依勾股定理得be3，从而ab6.又由pd平面abcd得，pdad.从而在rtpda中，由ad4，pad60，得pd4 .正视图如图所示(2)方法一：取pb中点n，联结mn，cn.在pab中，m是pa中点，mnab，mnab3.又cdab，cd3，mncd，mncd，四边形mncd为平行四边形，dmcn.又dm平面pbc，cn平面pbc，dm平面pbc.方法二：取ab的中点e，联结me，de.在梯形abcd中，becd，且becd，四边形bcde为平行四边形，debc.又de平面pbc，bc平面pbc，de平面pbc.又在pab中，mepb，me平面pbc，pb平面pbc，me平面pbc.又demee，平面dme平面pbc.又dm平面dme，dm平面pbc.(3)vdpbcvpdbcsdbcpd，又sdbc6，pd4 ，所以vdpbc8 .6g22013广东卷 某三棱锥的三视图如图12所示，则该三棱锥的体积是()图12a. b. c. d16b解析 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是112，选b.5g22013广东卷 执行如图11所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是()图11a1 b2 c4 d7 5c解析 13，s101，i2；23，s112，i3；s224，i4；43，故输出s4，选c.7g22013湖南卷 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()a. b1c. d.7d解析 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为，选d.8g22013江西卷 一几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12a2009 b20018c1409 d140188a解析 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为3229，长方体体积为1054200.故选a.13g22013辽宁卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的体积是_图13131616解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为v44161616.9g22013新课标全国卷 一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为()图139a解析 在空间直角坐标系oxyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥oabc为题中所描叙的四面体，而其在zox平面上的投影为正方形ebdo，故选a.图144g22013山东卷 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图11所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()图11a4 ，8 b4 ，c4(1)， d8，84b解析 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为，侧面积424 ，体积为222.12g22013陕西卷 某几何体的三视图如图12所示，则其表面积为_图12123解析 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面底面圆，代入数据计算为s412123.11g22013新课标全国卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的体积为()图13a168 b88c1616 d81611a解析 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱这个空间几何体的体积是44224168.5g22013浙江卷 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图11所示，则该几何体的体积是()图11a108 cm3 b100 cm3c92 cm3 d84 cm35b解析 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3663441088100(cm3)所以选择b.19g2和g52013重庆卷 如图14所示，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，pa2 ，bccd2，acbacd.(1)求证：bd平面pac；(2)若侧棱pc上的点f满足pf7fc，求三棱锥pbdf的体积图1419解：(1)证明：因为bccd，即bcd为等腰三角形，又acbacd，故bdac.因为pa底面abcd，所以pabd，从而bd与平面pac内两条相交直线pa，ac都垂直，所以bd平面pac.(2)三棱锥pbcd的底面bcd的面积sbcdbccdsinbcd22sin.由pa底面abcd，得vpbcdsbcdpa2 2.由pf7fc，得三棱锥fbcd的高为pa，故vfbcdsbcdpa2 ，所以vpbdfvpbcdvfbcd2.8g2和g72013重庆卷 某几何体的三视图如图13所示，则该几何体的表面积为()图13a180 b200 c220 d2408d解析 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为(28)4240.四个侧面的面积和为(2852)10200，所以该直四棱柱的表面积为s40200240，故选d.g3平面的基本性质、空间两条直线g4空间中的平行关系17g4，g5，g72013北京卷 如图15，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分别是cd和pc的中点求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.图1517证明：(1)因为平面pad底面abcd，且pa垂直于这两个平面的交线ad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde，所以abed为平行四边形，所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd.又因为adpaa，所以cd平面pad，所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef，所以cdef，所以cd平面bef，所以平面bef平面pcd.18g2，g42013福建卷 如图13，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，abdc，abad，bc5，dc3，ad4，pad60.(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥pabcd的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若m为pa的中点，求证：dm平面pbc；(3)求三棱锥dpbc的体积图1318解：(1)在梯形abcd中，过点c作ceab，垂足为e.由已知得，四边形adce为矩形，aecd3，在rtbec中，由bc5，ce4，依勾股定理得be3，从而ab6.又由pd平面abcd得，pdad.从而在rtpda中，由ad4，pad60，得pd4 .正视图如图所示(2)方法一：取pb中点n，联结mn，cn.在pab中，m是pa中点，mnab，mnab3.又cdab，cd3，mncd，mncd，四边形mncd为平行四边形，dmcn.又dm平面pbc，cn平面pbc，dm平面pbc.方法二：取ab的中点e，联结me，de.在梯形abcd中，becd，且becd，四边形bcde为平行四边形，debc.又de平面pbc，bc平面pbc，de平面pbc.又在pab中，mepb，me平面pbc，pb平面pbc，me平面pbc.又demee，平面dme平面pbc.又dm平面dme，dm平面pbc.(3)vdpbcvpdbcsdbcpd，又sdbc6，pd4 ，所以vdpbc8 .18g1，g4，g52013广东卷 如图14(1)，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac上的点，f是bc的中点，af与de交于点g，将abf沿af折起，得到如图14(2)所示的三棱锥abcf，其中bc.图14(1)证明：de平面bcf；(2)证明：cf平面abf；(3)当ad时，求三棱锥fdeg的体积18解：8g4、g52013广东卷 设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若l，l，则b若l，l，则c若l，l，则d若，l，则l8b解析 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选b.16g4，g52013江苏卷 如图12，在三棱锥sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.过a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点求证：(1)平面efg平面abc；(2)bcsa.图1216证明：(1)因为asab，afsb，垂足为f，所以f是sb的中点又因为e是sa的中点，所以efab.因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efege，所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc，且交线为sb，又af平面sab，afsb，所以af平面sbc.因为bc平面sbc，所以afbc.又因为abbc，afaba，af，ab平面sab，所以bc平面sab.因为sa平面sab，所以bcsa.15g42013江西卷 如图15所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且abcd，则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_图15154解析 直线ef与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交图1418g4，g52013辽宁卷 如图14，ab是圆o的直径，pa垂直圆o所在的平面，c是圆o上的点(1)求证：bc平面pac；(2)设q为pa的中点，g为aoc的重心，求证：qg平面pbc.18证明：(1)由ab是圆o的直径，得acbc.由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.(2)联结og并延长交ac于m，联结qm，qo，由g为aoc的重心，得m为ac中点，由q为pa中点，得qmpc.又o为ab中点，得ombc.因为qmmom，qm平面qmo.mo平面qmo，bcpcc，bc平面pbc，pc平面pbc，所以平面qmo平面pbc.因为qg平面qmo，所以qg平面pbc.18g4，g7，g112013新课标全国卷 如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点(1)证明：bc1平面a1cd；(2)设aa1accb2，ab2，求三棱锥ca1de的体积图1718解：(1)证明：联结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点，联结df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.图18(2)因为abca1b1c1是直三棱柱，所以aa1cd.由已知accb，d为ab的中点，所以cdab.又aa1aba，于是cd平面abb1a1.由aa1accb2，ab2 得acb90，cd，a1d，de，a1e3，故a1d2de2a1e2，即dea1d.所以vca1de1.19g4，g52013山东卷 如图15，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点(1)求证：ce平面pad；(2)求证：平面efg平面emn.图1619证明：(1)证法一：取pa的中点h，联结eh，dh.因为e为pb的中点，所以ehab，ehab.又abcd，cdab，所以ehcd，ehcd.因此四边形dceh是平行四边形所以cedh.又dh平面pad，ce平面pad，因此ce平面pad.证法二：联结cf.因为f为ab的中点，所以afab.又cdab，所以afcd.又afcd，所以四边形afcd为平行四边形因此cfad.又cf平面pad，所以cf平面pad.因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又ef平面pad，所以ef平面pad.因为cfeff，故平面cef平面pad.又ce平面cef，所以ce平面pad.(2)因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又abpa，所以abef.同理可证abfg.又effgf，ef平面efg，fg平面efg，因此ab平面efg.又m，n分别为pd，pc的中点，所以mncd.又abcd，所以mnab，因此mn平面efg.又mn平面emn，所以平面efg平面emn.18g4，g112013陕西卷 如图15，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o是底面中心，a1o底面abcd，abaa1.图15(1)证明：平面a1bd平面cd1b1；(2)求三棱柱abda1b1d1的体积18解： (1)证明：由题设知，bb1瘙綊dd1，四边形bb1d1d是平行四边形，bdb1d1.又bd平面cd1b1，bd平面cd1b1.a1d1瘙綊b1c1瘙綊bc，四边形a1bcd1是平行四边形，a1bd1c.又a1b平面cd1b1，a1b平面cd1b1.又bda1bb，平面a1bd平面cd1b1.(2)a1o平面abcd，a1o是三棱柱abda1b1d1的高又aoac1，aa1，a1o1，又sabd1，vabda1b1d1sabda1o1.19g4，g5，g7，g112013四川卷 图18如图18，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abac2aa12，bac120，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad上异于端点的点(1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面add1a1；(2)设(1)中的直线l交ac于点q，求三棱锥a1qc1d的体积(锥体体积公式：vsh，其中s为底面面积，h为高)19解：(1)如图，在平面abc内，过点p作直线lbc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面a1bc.由已知，abac，d是bc的中点，所以，bcad，则直线lad.因此aa1平面abc，所以aa1直线l.又因为ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l平面add1a1.(2)过d作deac于e.因为aa1平面abc，所以deaa1.又因为ac，aa1在平面aa1c1c内，且ac与aa1相交，所以de平面aa1c1c.由abac2，bac120，有ad1，dac60，所以在acd中，dead.又sa1qc1a1c1aa11，所以va1qc1dvda1qc1desa1qc11.因此三棱锥a1qc1d的体积是.17g4，g5、g112013天津卷 如图13所示，三棱柱abca1b1c1中，侧棱a1a底面abc，且各棱长均相等，d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点(1)证明ef平面a1cd；(2)证明平面a1cd平面a1abb1；(3)求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值图1317解：(1)证明：如图，在三棱柱abca1b1c1中，aca1c1，且aca1c1，联结ed，在abc中，因为d，e分别为ab，bc的中点，所以deac且deac，又因为f为a1c1的中点，可得a1fde，且a1fde，即四边形a1def为平行四边形，所以efda1.又ef平面a1cd，da1平面a1cd，所以，ef平面a1cd.(2)证明：由于底面abc是正三角形，d为ab的中点，故cdab，又由于侧棱aa1底面abc，cd平面abc，所以a1acd，又a1aaba，因此cd平面a1abb1，而cd平面a1cd，所以平面a1cd平面a1abb1.(3)在平面a1abb1内，过点b作bga1d交直线a1d于点g，联结cg，由于平面a1cd平面a1abb1，而直线a1d是平面a1cd与平面a1abb1的交线，故bg平面a1cd，由此得bcg为直线bc与平面a1cd所成的角设三棱柱各棱长为a，可得a1d，由a1adbgd，易得bg.在rtbgc中，sinbcg.所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.4g4，g52013浙江卷 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()a若m，n，则mnb若m，m，则c若mn，m，则nd若m，则m4c解析 对于选项c，若mn，m，易得n.所以选择c.g5空间中的垂直关系图1518g52013安徽卷 如图15，四棱锥pabcd的底面abcd是边长为2的菱形，bad60，已知pbpd2，pa.(1)证明：pcbd；(2)若e为pa的中点，求三棱锥pbce的体积18解：(1)证明：联结ac，交bd于o点，联结po.因为底面abcd是菱形，所以acbd，bodo.由pbpd知，pobd.再由poaco知，bd面apc，又pc平面apc，因此bdpc.(2)因为e是pa的中点，所以vpbcevcpebvcpabvbapc.由pbpdabad2知，abdpbd.因为bad60，所以poao，ac2，bo1.又pa，故po2ao2pa2，即poac.故sapcpoac3.由(1)知，bo面apc，因此vpbcevbapcsapcbo.17g4，g5，g72013北京卷 如图15，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分别是cd和pc的中点求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.图1517证明：(1)因为平面pad底面abcd，且pa垂直于这两个平面的交线ad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde，所以abed为平行四边形，所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd.又因为adpaa，所以cd平面pad，所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef，所以cdef，所以cd平面bef，所以平面bef平面pcd.19g5、g112013全国卷 如图13所示，四棱锥pabcd中，abcbad90，bc2ad，pab和pad都是边长为2的等边三角形图13(1)证明：pbcd；(2)求点a到平面pcd的距离19解：(1)证明：取bc的中点e，联结de，则四边形abed为正方形过p作po平面abcd，垂足为o.联结oa，ob，od，oe.由pab和pad都是等边三角形知papbpd，所以oaobod，即点o为正方形abed对角线的交点故oebd，从而pboe.因为o是bd的中点，e是bc的中点，所以oecd.因此pbcd.(2)取pd的中点f，联结of，则ofpb.由(1)知，pbcd，故ofcd.又odbd，op，故pod为等腰三角形，因此ofpd.又pdcdd，所以of平面pcd.因为aecd，cd平面pcd，ae平面pcd，所以ae平面pcd.因此o到平面pcd的距离of就是a到平面pcd的距离，而ofpb1，所以点a到平面pcd的距离为1.18g1，g4，g52013广东卷 如图14(1)，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac上的点，f是bc的中点，af与de交于点g，将abf沿af折起，得到如图14(2)所示的三棱锥abcf，其中bc.图14(1)证明：de平面bcf；(2)证明：cf平面abf；(3)当ad时，求三棱锥fdeg的体积18解：8g4、g52013广东卷 设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()a若l，l，则b若l，l，则c若l，l，则d若，l，则l8b解析 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选b.16g4，g52013江苏卷 如图12，在三棱锥sabc中，平面sab平面sbc，abbc，asab.过a作afsb，垂足为f，点e，g分别是棱sa，sc的中点求证：(1)平面efg平面abc；(2)bcsa.图1216证明：(1)因为asab，afsb，垂足为f，所以f是sb的中点又因为e是sa的中点，所以efab.因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.同理eg平面abc.又efege，所以平面efg平面abc.(2)因为平面sab平面sbc，且交线为sb，又af平面sab，afsb，所以af平面sbc.因为bc平面sbc，所以afbc.又因为abbc，afaba，af，ab平面sab，所以bc平面sab.因为sa平面sab，所以bcsa.19g5，g72013江西卷 如图17所示，直四棱柱abcda1b1c1d1中，abcd，adab，ab2，ad，aa13，e为cd上一点，de1，ec3.(1)证明：be平面bb1c1c；(2)求点b1到平面ea1c1的距离图1719解：(1)证明：过b作cd的垂线交cd于f，则bfad，efabde1，fc2.在rtbef中，be.在rtcfb中，bc.在bec中，因为be2bc29ec2，故bebc.由bb1平面abcd得bebb1.所以be平面bb1c1c.(2)三棱锥ea1b1c1的体积vaa1sa1b1c1.在rta1d1c1中，a1c13 .同理，ec13 ，a1e2 .故sa1c1e3 .设点b1到平面ea1c1的距离为d，则三棱锥b1a1c1e的体积vdsa1c1ed，从而d，d.图1418g4，g52013辽宁卷 如图14，ab是圆o的直径，pa垂直圆o所在的平面，c是圆o上的点(1)求证：bc平面pac；(2)设q为pa的中点，g为aoc的重心，求证：qg平面pbc.18证明：(1)由ab是圆o的直径，得acbc.由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.(2)联结og并延长交ac于m，联结qm，qo，由g为aoc的重心，得m为ac中点，由q为pa中点，得qmpc.又o为ab中点，得ombc.因为qmmom，qm平面qmo.mo平面qmo，bcpcc，bc平面pbc，pc平面pbc，所以平面qmo平面pbc.因为qg平面qmo，所以qg平面pbc.19g4，g52013山东卷 如图15，四棱锥pabcd中，abac，abpa，abcd，ab2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点(1)求证：ce平面pad；(2)求证：平面efg平面emn.图1619证明：(1)证法一：取pa的中点h，联结eh，dh.因为e为pb的中点，所以ehab，ehab.又abcd，cdab，所以ehcd，ehcd.因此四边形dceh是平行四边形所以cedh.又dh平面pad，ce平面pad，因此ce平面pad.证法二：联结cf.因为f为ab的中点，所以afab.又cdab，所以afcd.又afcd，所以四边形afcd为平行四边形因此cfad.又cf平面pad，所以cf平面pad.因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又ef平面pad，所以ef平面pad.因为cfeff，故平面cef平面pad.又ce平面cef，所以ce平面pad.(2)因为e，f分别为pb，ab的中点，所以efpa.又abpa，所以abef.同理可证abfg.又effgf，ef平面efg，fg平面efg，因此ab平面efg.又m，n分别为pd，pc的中点，所以mncd.又abcd，所以mnab，因此mn平面efg.又mn平面emn，所以平面efg平面emn.19g4，g5，g7，g112013四川卷 图18如图18，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abac2aa12，bac120，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad上异于端点的点(1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面add1a1；(2)设(1)中的直线l交ac于点q，求三棱锥a1qc1d的体积(锥体体积公式：vsh，其中s为底面面积，h为高)19解：(1)如图，在平面abc内，过点p作直线lbc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面a1bc.由已知，abac，d是bc的中点，所以，bcad，则直线lad.因此aa1平面abc，所以aa1直线l.又因为ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l平面add1a1.(2)过d作deac于e.因为aa1平面abc，所以deaa1.又因为ac，aa1在平面aa1c1c内，且ac与aa1相交，所以de平面aa1c1c.由abac2，bac120，有ad1，dac60，所以在acd中，dead.又sa1qc1a1c1aa11，所以va1qc1dvda1qc1desa1qc11.因此三棱锥a1qc1d的体积是.17g4，g5、g112013天津卷 如图13所示，三棱柱abca1b1c1中，侧棱a1a底面abc，且各棱长均相等，d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点(1)证明ef平面a1cd；(2)证明平面a1cd平面a1abb1；(3)求直线bc与平面a1cd所成角的正弦值图1317解：(1)证明：如图，在三棱柱abca1b1c1中，aca1c1，且aca1c1，联结ed，在abc中，因为d，e分别为ab，bc的中点，所以deac且deac，又因为f为a1c1的中点，可得a1fde，且a1fde，即四边形a1def为平行四边形，所以efda1.又ef平面a1cd，da1平面a1cd，所以，ef平面a1cd.(2)证明：由于底面abc是正三角形，d为ab的中点，故cdab，又由于侧棱aa1底面abc，cd平面abc，所以a1acd，又a1aaba，因此cd平面a1abb1，而cd平面a1cd，所以平面a1cd平面a1abb1.(3)在平面a1abb1内，过点b作bga1d交直线a1d于点g，联结cg，由于平面a1cd平面a1abb1，而直线a1d是平面a1cd与平面a1abb1的交线，故bg平面a1cd，由此得bcg为直线bc与平面a1cd所成的角设三棱柱各棱长为a，可得a1d，由a1adbgd，易得bg.在rtbgc中，sinbcg.所以直线bc与平面a1cd所成角的正弦值为.19g52013新课标全国卷 如图15所示，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若abcb2，a1c，求三棱柱abca1b1c1的体积图1519解：(1)取ab的中点o，联结oc，oa1，a1b，因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由题设知abc与aa1b都是边长为2的等边三角形，所以ocoa1.又a1c，则a1c2oc2oa，故oa1oc.因为ocabo，所以oa1平面abc，oa1为三棱柱abca1b1c1的高又abc的面积sabc，故三棱柱abca1b1c1的体积vsabcoa13.4g4，g52013浙江卷 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()a若m，n，则mnb若m，m，则c若mn，m，则nd若m，则m4c解析 对于选项c，若mn，m，易得n.所以选择c.19g2和g52013重庆卷 如图14所示，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，pa2 ，bccd2，acbacd.(1)求证：bd平面pac；(2)若侧棱pc上的点f满足pf7fc，求三棱锥pbdf的体积图1419解：(1)证明：因为bccd，即bcd为等腰三角形，又acbacd，故bdac.因为pa底面abcd，所以pabd，从而bd与平面pac内两条相交直线pa，ac都垂直，所以bd平面pac.(2)三棱锥pbcd的底面bcd的面积sbcdbccdsinbcd22sin.由pa底面abcd，得vpbcdsbcdpa2 2.由pf7fc，得三棱锥fbcd的高为pa，故vfbcdsbcdpa2 ，所以vpbdfvpbcdvfbcd2.g6三垂线定理8g1，g62013北京卷 如图12，在正方体abcda1b1c1d1中，p为对角线bd1的三等分点，p到各顶点的距离的不同取值有()图12a3个 b4个c5个 d6个8b解析 设棱长为1，bd1，bp，d1p.联结ad1，b1d1，cd1，得abd1cbd1b1bd1，abd1cbd1b1bd1，且cosabd1，联结ap，pc，pb1，则有abpcbpb1bp，apcpb1p，同理dpa1pc1p1，p到各顶点的距离的不同取值有4个g7棱柱与棱锥17g4，g5，g72013北京卷 如图15，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分别是cd和pc的中点求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.图1517证明：(1)因为平面pad底面abcd，且pa垂直于这两个平面的交线ad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde，所以abed为平行四边形，所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd.又因为adpaa，所以cd平面pad，所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef，所以cdef，所以cd平面bef，所以平面bef平面pcd.10g2，g72013北京卷 某四棱锥的三视图如图13所示，该四棱锥的体积为_图13103解析 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此v(33)13.8g72013江苏卷 如图11，在三棱柱a1b1c1abc中，d，e，f分别是ab，ac，aa1的中点，设三棱锥fade的体积为v1，三棱柱a1b1c1abc的体积为v2，则v1v2_图118124解析 设三棱柱的底面积为s，高为h，则v2sh，又d，e，f分别为ab，ac，aa1的中点，所以saeds，且三棱锥fade的高为h，故v1saedhshsh，所以v1v2124.19g5，g72013江西卷 如图17所示，直四棱柱abcda1b1c1d1中，abcd，adab，ab2，ad，aa13，e为cd上一点，de1，ec3.(1)证明：be平面bb1c1c；(2)求点b1到平面ea1c1的距离图1719解：(1)证明：过b作cd的垂线交cd于f，则bfad，efabde1，fc2.在rtbef中，be.在rtcfb中，bc.在bec中，因为be2bc29ec2，故bebc.由bb1平面abcd得bebb1.所以be平面bb1c1c.(2)三棱锥ea1b1c1的体积vaa1sa1b1c1.在rta1d1c1中，a1c13 .同理，ec13 ，a1e2 .故sa1c1e3 .设点b1到平面ea1c1的距离为d，则三棱锥b1a1c1e的体积vdsa1c1ed，从而d，d.18g4，g7，g112013新课标全国卷 如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点(1)证明：bc1平面a1cd；(2)设aa1accb2，ab2，求三棱锥ca1de的体积图1718解：(1)证明：联结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点，联结df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.图18(2)因为abca1b1c1是直三棱柱，所以aa1cd.由已知accb，d为ab的中点，所以cdab.又aa1aba，于是cd平面abb1a1.由aa1accb2，ab2 得acb90，cd，a1d，de，a1e3，故a1d2de2a1e2，即dea1d.所以vca1de1.19g4，g5，g7，g112013四川卷 图18如图18，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面abc，abac2aa12，bac120，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad上异于端点的点(1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面add1a1；(2)设(1)中的直线l交ac于点q，求三棱锥a1qc1d的体积(锥体体积公式：vsh，其中s为底面面积，h为高)19解：(1)如图，在平面abc内，过点p作直线lbc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面a1bc.由已知，abac，d是bc的中点，所以，bcad，则直线lad.因此aa1平面abc，所以aa1直线l.又因为ad，aa1在平面add1