高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性课件 理.ppt

第11节导数在研究函数中的应用 最新考纲 考点专项突破 知识链条完善 经典考题研析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 f x0 0是可导函数f x 在x x0处取极值的什么条件 提示 必要不充分条件 因为当f x0 0且x0左右两端的导数符号变化时 才能说f x 在x x0处取得极值 反过来 如果可导函数f x 在x x0处取极值 则一定有f x0 0 知识梳理 1 函数的单调性与导数 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常函数 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上不存在变号零点 单调递增 单调递减 2 函数的极值与导数 1 函数极小值的概念 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 2 函数极大值的概念 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点与极大值点统称为 极小值与极大值统称为 3 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内不是单调函数 即在某区间上的单调函数无极值 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 3 函数的最值与导数求函数y f x 在闭区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中的一个为最大值 的一个为最小值 4 利用导数解决实际生活中的优化问题 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 极值 最大 最小 拓展提升 1 若函数f x 的图象连续不断 则f x 在 a b 内一定有最值 2 若函数f x 在 a b 内是单调函数 则f x 一定在区间端点处取得最值 3 若函数f x 在开区间 a b 内只有一个极值点 则相应的极值一定是函数的最值 4 极值与最值的关系 极值只能在定义域内取得 不包括端点 最值却可以在端点处取得 有极值的不一定有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成为最值 非常数可导函数最值只要不在端点处取 则必定在极值处取 对点自测 1 函数f x x lnx的单调递减区间是 a 1 b 0 1 c 1 d 0 b 2 函数f x x3 3x在区间 1 2 上的最大值和最小值分别为 a 2和 2 b 2和0 c 0和 2 d 1和0 a 解析 由f x x3 3x 求导得f x 3x2 3 3x2 3 0 得x 1 在 1 2 上有一个极值 且f 1 2 f 1 2 f 2 2 则可得最大值和最小值分别为2和 2 故选a 3 2016 唐山质检 函数f x 3x2 lnx 2x的极值点的个数是 a 0 b 1 c 2 d 无数个 a 4 2016 广西桂林市高考模拟 若函数f x lnx ax在区间 1 上单调递减 则a的取值范围是 a 1 b 1 c 1 d 1 a 5 给出下列命题 f x 0是f x 为增函数的充要条件 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 函数的极大值不一定比极小值大 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 其中真命题是 写出所有真命题的序号 解析 错误 f x 0能推出f x 为增函数 反之不一定 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 所以f x 0是f x 为增函数的充分条件 但不是必要条件 错误 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个 正确 一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 极大值可能比极小值大 也可能比极小值小 还可能与极小值相等 错误 对可导函数f x f x0 0只是x0点为极值点的必要条件 如y x3在x 0时f 0 0 而函数在r上为增函数 所以0不是极值点 正确 当函数仅在区间端点处取得最值时 这时的最值不是极值 答案 第一课时利用导数研究函数的单调性 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 利用导数研究函数单调区间 高频考点 考查角度1 不含参数函数的单调区间高考扫描 2013高考新课标全国 卷 2014高考新课标全国 卷 2015高考新课标全国 卷 2016高考新课标全国 卷 例1 导学号18702104设f x a x 5 2 6lnx 其中a r 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 2 求函数f x 的单调区间 用导数求函数的单调区间的 三个方法 1 当不等式f x 0或f x 0或f x 0或f x 0及方程f x 0均不可解时求导数并化简 根据f x 的结构特征 选择相应的基本初等函数 利用其图象与性质确定f x 的符号 得单调区间 反思归纳 考查角度2 根据导函数零点大小与定义域的关系讨论函数的单调区间 例2 已知函数f x 2lnx x2 ax g x alnx x2 3ax a r 若h x f x g x 求函数h x 的单调递减区间 含参数函数的单调区间 需根据参数取值范围讨论求解 其讨论方法主要是考虑导函数零点是否存在 若存在 有几个 导函数零点如何划分定义域 是否在定义域内 多个零点的大小 导函数符号是否确定等方面 反思归纳 考查角度3 构造函数判断导数符号 例3 已知函数f x k为常数 e 2 71828 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 考查角度1 导函数图象的理解高考扫描 2015高考新课标全国 卷 例4 已知函数f x 的导函数f x 的图象如图所示 那么函数f x 的图象最有可能是 考点二 函数导数与函数单调性关系的应用 高频考点 解析 由导函数的图象 可得当x 2 0 时 f x 0 且开口向下 则f x 在 2 上递减 在 2 0 上递增 在 0 上递减 故选a 导函数f x 图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f x 图象上升部分对应的区间 递增区间 导函数f x 图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f x 图象下降部分对应的区间 递减区间 反思归纳 考查角度2 利用导数构造函数解不等式 反思归纳 考查角度3 根据函数单调性求参数范围 2 若函数g x 在 2 1 内存在单调递减区间 求a的取值范围 3 若函数g x 在 2 1 上不单调 求a的取值范围 反思归纳 1 函数y f x 在 a b 上是增函数 或减函数 则f x 0 或f x 0 在 a b 内恒成立 2 函数y f x 在 a b 上存在单调递增 或递减 区间 则f x 0 或f x 0 在 a b 内有解 3 函数y f x 在 a b 内不单调 则y f x 在 a b 内有变号零点 备选例题 例1 2017 湖北黄石市高三第一次联考 设函数f x lnx k r 1 若曲线y f x 在点 e f e 处的切线与直线x 2 0垂直 求f x 的单调递减区间和极小值 其中