高三数学第一轮复习《椭圆 》讲义.doc

椭圆要点梳理1椭圆的概念在平面内与两定点f1、f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫_椭圆_这两定点叫做椭圆的_焦点_，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若_ ac _，则集合p为椭圆；(2)若_ ac _，则集合p为线段；(3)若_ ab0)1 (ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为2a；短轴b1b2的长为2b焦距|f1f2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关，第二类性质是随坐标系变化而相应改变，焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关确定椭圆方程需要三个条件，两个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标(1) 椭圆中有一个十分重要的三角形of1b2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c易见c2=a2-b2，且若记of1b2=，则cos =e(2)椭圆的定义中应注意常数大于|f1f2|因为当平面内的动点与定点f1、f2的距离之和等于|f1f2|时，其动点轨迹就是线段f1f2；当平面内的动点与定点f1、f2的距离之和小于|f1f2|时，其轨迹不存在（3） 椭圆上任意一点m到焦点f的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac3求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为1 (m0，n0且mn)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为ax2by21 (a0，b0且ab)，这种形式在解题中更简便基础自测：1椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k等于()a1 b1 c. d2已知f1，f2是椭圆1的两焦点，过点f2的直线交椭圆于a，b两点在af1b中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()a6 b5 c4 d33已知圆(x2)2y236的圆心为m，设a为圆上任一点，n(2,0)，线段an的垂直平分线交ma于点p，则动点p的轨迹是()a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线4椭圆1上一点m到焦点f1的距离为2，n是mf1的中点，则|on|等于()a2 b4 c8 d.5已知f1，f2为椭圆1的两个焦点，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点在y轴上，且|pf1|t|pf2|，则t的值为()a3 b4 c5 d7 6“3mb0)或1 (ab0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2ny21 (m0，n0，且mn)解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为1 (ab0)椭圆过点a(3,0)，1，a3，又2a32b，b1，方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为1 (ab0)椭圆过点a(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程为1.综上可知椭圆的方程为y21或1.(2)设经过两点a(0,2)，b的椭圆标准方程为mx2ny21，将a，b坐标代入方程得，所求椭圆方程为x21.变式训练1(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程；解(1)当椭圆的焦点在x轴上时，a3，c，从而b2a2c2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，b3，a227.椭圆的标准方程为1.所求椭圆的标准方程为1或1.（2）已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为和，过p作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程解设椭圆的标准方程是1 (ab0)或1 (ab0)，两焦点分别为f1，f2，则由题意知2a|pf1|pf2|2，a.在方程1中令xc得|y|，在方程1中令yc得|x|，依题意并结合图形知.b2.即椭圆的标准方程为1或1.题型二 椭圆的定义及应用例2一动圆与已知圆o1：(x3)2y21外切，与圆o2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知， |co1|1r，|co2|9r，|co1|co2|10，而|o1o2|6，点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a10,2c6，b4.动圆圆心的轨迹方程为1.变式训练2求过点a(2,0)且与圆x24xy2320内切的圆的圆心的轨迹方程解将圆的方程化为标准形式为：(x2)2y262，圆心b(2,0)，r6.设动圆圆心m的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为c.则|bc|mc|bm|，而|bc|6，|bm|cm|6. 又|cm|am|，|bm|am|6|ab|4.点m的轨迹是以点b(2,0)、a(2,0)为焦点、线段ab中点(0,0)为中心的椭圆a3，c2，b.所求轨迹方程为1.题型三椭圆的几何性质例3已知f1、f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，f1pf260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：f1pf2的面积只与椭圆的短轴长有关解题导引(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|pf1|pf2|2a，得到a、c的关系(2)对f1pf2的处理方法(1)解设椭圆方程为1 (ab0)，|pf1|m，|pf2|n.在pf1f2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn.4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn2a2(当且仅当mn时取等号)，4a24c23a2.，即e.e的取值范围是.(2)证明由(1)知mnb2，spf1f2mnsin 60b2，即pf1f2的面积只与短轴长有关变式训练3(1)已知椭圆1(ab0)的长、短轴端点分别为a、b，从此椭圆上一点m(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点f1，abom.求椭圆的离心率e；设q是椭圆上任意一点，f1、f2分别是左、右焦点，求f1qf2的取值范围解f1(c,0)，则xmc，ym，kom.kab，omab，bc，故e. 设|f1q|r1，|f2q|r2，f1qf2，r1r22a，|f1f2|2c，cos 110，当且仅当r1r2时，cos 0，0，(2)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点p到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点p的距离等于的点的坐标分析：点在椭圆上，就有byb，因此在求椭圆上的点到点 p 的距离的最大值时，应分类讨论解：依题意可设椭圆方程为（ab0）(下略)y21椭圆上到点p的距离等于的点的坐标为和注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解时，如求函数的单调区间、最值时（3）已知椭圆1 (ab0)的长轴长为4，离心率为，点p是椭圆上异于顶点的任意一点，过点p作椭圆的切线l，交y轴于点a，直线l过点p且垂直于l，交y轴于点b.求椭圆的方程；试判断以ab为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由解2a4，a2，c1，b.椭圆的方程为1. 能设点p(x0，y0) (x00，y00)，由题意知直线l的斜率存在设直线l的方程为yy0k(xx0)，代入1，整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的两个相等实根，2x0，解得k.直线l的方程为yy0(xx0) 令x0，得点a的坐标为.又1，4y203x2012.点a的坐标为.又直线l的方程为yy0(xx0)，令x0，得点b的坐标为.以ab为直径的圆的方程为xx0.整理，得x2y2y10.令y0，得x1，以ab为直径的圆恒过定点(1,0)和(1,0)题型四直线与椭圆的位置关系例4已知椭圆1 (ab0)的离心率为e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4 (1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点a，b已知点a的坐标为(a,0)，点q(0，y0)在线段ab的垂直平分线上，且4求y0的值解(1)由e，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2b，由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组，得a2，b1，所以椭圆的方程为y21.( 2)由(1)知a(2,0)，且直线l的斜率必存在设b点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则l的方程为yk(x2)于是a，b两点的坐标满足方程组由方程消去y并整理，得 (14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，从而y1.设线段ab的中点为m，则m点的坐标为.以下分两种情况：当k0时，点b的坐标为(2,0)，线段ab的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.当k0时，线段ab的垂直平分线方程为y .令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理得7k22.故k，所以y0.综上，y02或y0.探究提高(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题(2)的求解中，常因忽略直线l与x轴重合的特殊形式变式训练4(1)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为，且经过点m(1，)，过点p(2,1)的直线l与椭圆c相交于不同的两点a，b. 求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足 2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解设椭圆c的方程为1(ab0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆c的方程为1.若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为yk(x2)1，由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆c相交于不同的两点a，b，设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理得32(6k3)0，解得k.又x1x2，x1x2，且2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k2)，即x1x22(x1x2)4(1k2)所以24(1k2)，解得k所以k.于是存在直线l满足条件，其方程为yx.(2)设椭圆c：1 (ab0)的离心率e，点a是椭圆上的一点，且点a到椭圆c两焦点的距离之和为4. 求椭圆c的方程；椭圆c上一动点p(x0，y0)关于直线y2x的对称点为p1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围解依题意知，2a4，a2.e，c，b.所求椭圆c的方程为1.点p(x0，y0)关于直线y2x的对称点为p1(x1，y1)，解得：x1，y1.3x14y15x0.点p(x0，y0)在椭圆c：1上，2x02，则105x010.3x14y1的取值范围为10,10（3）已知椭圆e：1（ab0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6（）求椭圆e的方程；（）如图，设椭圆e的上、下顶点分别为a1、a2，p是椭圆上异于a1、a2的任意一点，直线pa1、pa2分别交x轴于点n、m，若直线ot与过点m、n的圆g相切，切点为t证明：线段ot的长为定值解：（）由e，得a2b 又2a2b6，即ab3 解，得a2，b1故椭圆e的方程为y214分（）由（），知a1(0，1)，a2(0，1)，设p(x0，y0)，则直线pa1的方程为y1x，令y0，得xn；直线pa2的方程为y1x，令y0，得xm设g()，h），则r2()2h2()2h2， |og|2()2h2，|ot|2|og|2r2()2h2()2h2y1，即x4(1y)，|ot|24，|ot|2即线段ot的长为定值2 （4） 已知，椭圆c以过点a（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。求椭圆c的方程；e,f是椭圆c上的两个动点，如果直线ae的斜率与af的斜率互为相反数，证明直线ef的斜率为定值，并求出这个定值。 解：由题意，c1,可设椭圆方程为。 因为a在椭圆上，所以，解得3，（舍去）。所以椭圆方程为 设直线方程：得，代入得 设（，），（，）因为点（1，）在椭圆上，所以， 。又直线af的斜率与ae的斜率互为相反数，在上式中以代，可得， 。所以直线ef的斜率。即直线ef的斜率为定值，其值为。 椭圆练习题（1）一、选择题1已知椭圆c的短轴长为6，离心率为，则椭圆c的焦点f到长轴的一个端点的距离为 ()a9 b1c1或9 d以上都不对2已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆c：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是 ()a.1 b.1c.y21 d.13已知椭圆x2sin y2cos 1 (0b0)，且可知其左焦点为f(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆c的方程为1.(5分)方法二依题意，可设椭圆c的方程为1(ab0)，且有解得b212或b23(舍去)从而a216.(3分)所以椭圆c的方程为1. (2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆c有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线oa与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在11已知椭圆g：y21过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆g于a，b两点(1)求椭圆g的焦点坐标和离心率；(2)将|ab|表示为m的函数，并求|ab|的最大值解：(1)焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率为(2)，直线与圆相切，即由得， |ab|的最大值为2椭圆练习题（2）1已知f1、f2是椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a、b两点，若abf2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是()a. b. c.1 d.2若点o和点f分别为椭圆1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为()a2 b3 c6 d83在椭圆1内，通过点m(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为()ax4y50 bx4y50c4xy50 d4xy50二、填空题4如图，已知点p是以f1、f2为焦点的椭圆1 (ab0)上一点，若pf1pf2，tanpf1f2，则此椭圆的离心率是_5如图所示，a，b是椭圆的两个顶点，c是ab的中点，f为椭圆的右焦点，oc的延长线交椭圆于点m，且|of|，若mfoa，则椭圆的方程为_1_6如图，在平面直角坐标系xoy中，a1、a2、b1、b2分别为椭圆1 (ab0)的四个顶点，f为其右焦点，直线a1b2与直线b1f相交于点t，线段ot与椭圆的交点m恰为线段ot的中点，则该椭圆的离心率为_25_解析：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：， 则在椭圆上， 解得：7在平面直角坐标系xoy中，设椭圆1 (ab0)的焦距为2c，以点o为圆心，a为半径作圆m.若过点p所作圆m的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_8设f1、f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为(6,4)，则|pm|pf1|的最大值为_15_三、解答题9设a、b分别为椭圆1 (ab0)的左、右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距 (1)求椭圆的方程；(2)设p(4，x) (x0)，若直线ap，bp分别与椭圆相交异于a，b的点m，n，求证：mbn为钝角(1)解依题意得，a2c，b2a2c23c2，设椭圆方程为1，将代入，得c21，故椭圆方程为1.(2)证明由(1)知，a(2,0)，b(2,0)， 设m(x0，y0)，则2x00，即mbp为锐角，则mbn为钝角10已知方向向量为v(1，)的直线l过点(0，2)和椭圆c：1(ab0)的右焦点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆c的方程；(2)若已知点d(3,0)，点m，n是椭圆c上不重合的两点，且，求实数的取值范围解(1)直线