顺序统计量ppt课件.pptx

第2节顺序统计量 一 定义 定义 设 X1 X2 Xn 是从总体X中抽取的一个样本 x1 x2 xn 是其中一个观测值 将观测值按从小到大的次序重新排列为 1 1 定义 X k 取值为x k k 1 2 n 由此得到 1 2 称其为样本 X1 X2 Xn 的次序统计量 对应的 1 2 称为其观测值 特别的 说明 m 1 为最大顺序统计量 1 min1 为最小顺序统计量 由于每个X k 都是样本 x1 x2 xn 的函数 所以 1 2 也都是随机变量并且它们一般不相互独立 X k 称为第k个顺序统计量 即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大排序后的第k个值 二 常用顺序统计量 极差中位数分位数四分位数 1 极差 为样本极差 极差反映了随机变量X取值的分散程度 排序后处于中间位置上的值 不受极端值的影响主要用于顺序数据 也可用数值型数据 但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小 即 1 2 中位数 位置确定 中位数位置 数值确定 为奇数 为偶数 3 分位数 设 1 1 为取自总体X的次序统计量 称Mp为p分位数 1 若 不是整数 12 1 若 是整数 4 四分位数 排序后处于25 和75 位置上的值 不受极端值的影响计算公式 五数概括与箱线图 次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图 在得到有序样本后 容易计算如下五个值 最小观测值xmin x 1 最大观测值xmax x n 中位数m0 5 第一4分位数Q1 m0 25第三4分位数Q3 m0 75 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓 三 顺序统计量的分布 1 单个顺序统计量的分布 设总体X的密度函数为f x 分布函数为F x x1 x2 xn为样本 则第k个次序统计量x k 的密度函数为 1 11 证明 对任意的实数x 考虑次序统计量x k 取值落在小区间 x x x 内这一事件 它等价于 样本容量为n的样本中有1个观测值落在区间 x x x 之间 而有k 1个观测值小于等于x 有n k个观测值大于x x 其直观示意图见下图 x k 的取值示意图 样本的每一分量小于等于x的概率为F x 落入区间 x x x 概率为F x x F x 落入区间 x x b 的概率为1 F x x 而将n个分量分成这样的三组 总的分法有 1 1 种 于是 若以Fk x 记x k 的分布函数 则由多项分布可得 两边同除以 x 并令 x 0 即有 推论1 最大次序统计量x n 的概率密度函数为 推论2 最小次序统计量x 1 的概率密度函数为 1 11 lim 0 1 1 1 1 按概率密度函数计算次序统计量的密度函数 设F x 是总体X的分布函数 X1 X2 Xn为X的样本 X 1 X 2 X n 为顺序统计量 F 1 x F n x 分别表示随机变量X 1 X n 的分布函数 则对任意实数x有 P 1 2 1 1 1 1 1 1 1 P 1 2 1 1 1 1 1 按概率密度函数计算次序统计量的密度函数 当X为连续型随机变量且有密度函数f x 时 则X 1 X n 也是连续型随机变量 且它们的密度函数分别为 1 1 1 1 1 例1 设总体X分布为U 0 X1 X2 Xn是取自总体的样本 试写出X 1 X n 的密度函数 例2 设总体X G l X1 X2 Xn为X的样本 求 f 1 x f n x 0 0 0 F 1 0 0 0 1 1 1 1 00 0 1 1 1 00 0 例3 设 X1 X2 Xn 是来自正态总体N 12 9 的样本 求 1 max 1 5 182 m 1 5 9 解 1 因X1 X2 Xn独立 且服从相同分布 max 1 5 18 1 max 1 5 18 1 1 18 5 18 1 15 18 1 1 185 1 18 1235 1 25 1 0 97725 0 1089 2 m 1 5 9 1 m 1 5 9 1 1 9 5 9 1 1 95 1 1 9 1235 1 1 15 1 15 1 0 84135 0 5785 例4 设总体X的密度函数为f 3 2 0 1 现从该总体中抽得一个容量为5的样本 试计算 2 12 解 我们首先应求出x 2 的分布 由总体密度函数不难求出总体分布函数为 可以得到x 2 的密度函数为 于是 四 思考 样本X1 X2 Xn是一组独立同分布的随机变量 那么顺序统计量 1 2 是否是一组独立同分布的随机变量 设总体X的分布如下 现抽取容量为3的样本 共有27种可能取值 列表如下 例5 设总体X的分布为仅取0 1 2的离散均匀分布 其分布各不相同 进而可得X 1 与X 2 的联合分布如下 X 1 与X 2 并不独立 X 1 由此可得X 1 X 2 X 3 的分布列如下 注 在一个样本中 X1 X2 Xn是独立同分布的 而次序统计量X 1 X 2 X