实验八 多元函数积分 数学实验课件习题答案.doc

天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 实验八 多元函数积分 所属课程名称 数学实验 实 验 类 型 上机实验 实 验 日 期 2013-5-14 班 级 10级数应（2）班 学 号 291010836 姓 名 吴保石 成 绩 一、实验概述：【实验目的】掌握用Mathematica计算二重积分与三重积分的方法；深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算法，提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力【实验原理】1重积分命令Integrate和NIntegrate，例：Integratex*y2，x，0，1，y，0，xNIntegrateSinx*y2，x，0，1，y，0，12柱坐标系中作三维图形命令CylindriealPlot3D首先调用作图软件包输入GraphicsParametricPlot3D命令CylindriealPlot3D的使用格式是CylindricalPlot3Dzr，q，r，r1，r2，q，q1，q2例CylindricalPlot3Dr2，r，0，2，t，0，2Pi3球坐标系中作三维图形命令SpheriealPlot3D命令SphericalPlot3D的使用格式是SphericalPlot3Drf，q，f，f1，f2，q，q1，q2，选项 例SphericalPlot3D2，u，0，Pi，v，0，2Pi，PlotPoints404向量的内积与通常一样，用“”表示两个向量的内积，例如输入vec1=a1，b1，c1vec2=a2，b2，c2则定义了两个三维向量，再输入vec1.vec2【实验环境】系统Microsoft Windows XPProfessional版本 2002Service Pack 3GhostXP_SP3电脑公司快速装机版V2011.07Intel（R） Core（TM）i3 CPU550 3.20GHz3.19GHz,1.74GB的内存Mathematica 5.2二、实验内容：【实验方案】通过用Mathematica 5.2软件，计算：1计算重积分2重积分的应用3计算曲线积分4计算曲面积分【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1计算重积分例81计算，其中D为由所围成的有界区域(*Example8.1*)Integratex*y2，y，1，2，x，2-y，Sqrty例82计算，其中为(*Example8.2*)Clearf，r；fx_，y_=Exp-(x2+y2)；Integratefx，y，x，-1，1，y，-Sqrt1-x2，Sqrt1-x2Integrate(fx，y/.xr*Cost，yr*Sint)*r，t，0，2Pi，r，0，1例8.3计算三重积分，其中W由曲面和围成(*Example8.3*)g1=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh，Sqrt2*Sinfi*Sinth，Sqrt2*Cosfi，fi，0，Pi/4，th，0，2Pig2=ParametricPlot3Dz*Cost，z*Sint，z，z，0，1，t，0，2PiShowg1，g2，ViewPoint1.3，-2.4，1.0gx_，y_，z_=x2+y2+z；Integrategx，y，z，x，-1，1，y，-Sqrt1-x2，Sqrt1-x2，z，Sqrtx2+y2，Sqrt2-x2-y2Integrate(gx，y，z/.xr*Coss，yr*Sins)*r，r，0，1，s，0，2Pi，z，r，Sqrt2-r2Integrate(gx，y，z/.xr*Sinfi*Coss，yr*Sinfi*Sint，zr*Cosfi)*r2*Sinfi，s，0，2Pi，fi，0，Pi/4，r，0，Sqrt22重积分的应用例8.4求由曲面与所围成的空间区域W的体积(*Example8.4*)Clearf，g；fx_，y_=1-x-y；gx_，y_=2-x2-y2；Plot3Dfx，y，x，-1，2，y，-1，2Plot3Dgx，y，x，-1，2，y，-1，2Show%，%jx=Solvefx，ygx，y，yy1=jx1，1，2y2=jx2，1，2tu1=Ploty1，x，-2，3，PlotStyleDashing0.02，DisplayFunctionIdentity；tu2=Ploty2，x，-2，3，DisplayFunctionIdentity；Showtu1，tu2，AspectRatio1，DisplayFunction$DisplayFunctionxvals=Solvey1y2，xx1=xvals 1，1，2x2=xvals 2，1，2volume=Integrategx，y-fx，y，x，x1，x2，y，y1，y2/Simplify例8.5求曲面在Oxy平面上部的面积S(*Example8.5*)Graphicsparametricplot3DCylindricalPlot3D4-r2，r，0，2，t，0，2PiClearz，z1；z=4-x2-y2；z=SqrtDz，x2+Dz，y2+1z1=Simplifyz/.xr*Cost，yr*Sint；Integratez1*r，t，0，2Pi，r，0，2/Simplify例8.6在Oxz平面内有一个半径为2的圆，它与z轴在原点O相切，求它绕z轴旋转一周所得旋转体体积(*Example8.6*)SphericalPlot3D4Sint，t，0，Pi，s，0，2Pi，Plotpoits30，ViewPoint4，0.54，2Integrater2*Sint，s，0，2Pi，t，0，Pi，r，0，4Sint3计算曲线积分例8.7求，其中，路径L为：(*Example8.7*)Clearx，y，z；luj=t，t2，3t2；Dluj，tds=SqrtDluj，t.Dluj，t；Integrate(Sqrt1+30x2+10y/.xt，yt2，z3t2)*ds，t，0，2例8.8求，其中(*Example8.8*)vecf=x*y6，3x*(x*y5+2)；vecr=2Cost，Sint；Integrate(vecf.Dvecr，t)/.x2Cost，ySint，t，0，2Pi例8.9求锥面与柱面的交线的长度(*Example8.9*)g1=ParametricPlot3DSinu*Cosv，Sinu*Sinv，Sinu，u，0，Pi，v，0，2Pi，DisplayFunctionIdentity；g2=ParametricPlot3DCost2，Cost*Sint，z，t，0，2Pi，z，0，1.2，DisplayFunctionIdentity；Showg1，g2，ViewPoint1，-1，2，DisplayFunction$DisplayFunctionParametricPlot3DCost2，Cost*Sint，Cost，t，-Pi/2，Pi/2，ViewPoint1，-1，2，TicksFalseClearx，y，z；x=Cost2；y=Cost*Sint；z=Cost；qx=x，y，z；IntegrateSqrtDqx，t.Dqx，t/Simplify，t，-Pi/2，Pi/2%/N4计算曲面积分例8.10计算曲面积分，其中S为锥面被柱面所截得的有限部分(*Example8.10*)Clearf，g，r，t，mj；fx_，y_，z_=x*y+y*z+z*x；gx_，y_=Sqrtx2+y2；mj=Sqrt1+Dgx，y，x2+Dgx，y，y2/Simplify；Integrate(fx，y，gx，y*mj/.xr*Cost，yr*Sint)*r，t，-Pi/2，Pi/2，r，0，2Cost例8.11计算曲面积分，其中S为球面 的外侧(*Example8.11*)ClearA，fa，ds；A=x3，y3，z3；fa=x，y，z/a；ds=a2*Sinu；Integrate(A.fa/.xa*Sinu*Cosv，ya*Sinu*Sinv，za*Cosu)*ds/Simplify，u，0，Pi，v，0，2PiCalculusVectorAnalysisSetCoordinatesCartesianx，y，z；diva=DivA；Integrate(diva/.xr*Sinu*Cosv，yr*Sinu*Sinv，zr*Cosu)*r2*Sinu，v，0，2Pi，u，0，Pi，r，0，a【实验结论】（结果）通过用mathematica5.2在计算机上输入相应的命令程序，解决以下问题：首先，解决计算重积分的问题；其次，重积分的应用的相关题目；还有计算曲线积分的问题；最后，计算曲面积分的相关内容。【实验小结】（收获体会）通过本节的学习初步掌握了重积分命令Integratex*y2，x，0，1，y，0，x和NIntegrateSinx*y2，x，0，1，y，0，1；柱坐标系中作三维图形命令 GraphicsParametricPlot3 CylindricalPlot3Dzr，q，r，r1，r2，q，q1，q2；球坐标系中作三维图形命令SphericalPlot3Drf，q，f，f1，f2，q，q1，q2，选项；向量内积vec1=a1，b1，c1 vec2=a2，b2，c2 再输入vec1.vec2。以及通过上机练习之后，更深层次的理解了计算重积分，重积分的应用，计算曲线积分，计算曲面积分的相关内容。三、指导教师评语及成绩：评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确. 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期：附录1：源 程 序第1题Integratey*Sinx-x*Siny,x,0,Pi/6,y,0,Pi/2第2题1.24012NIntegrateSinExpx*y,x,0,1,y,0,10.917402第3题IntegrateExp2x*(2y-z),x,0,3,z,1,x,y,z-x,z+xIntegrateArcTanx*y,x,0,1,y,0,1第4题Integratex*Cosy2,x,0,3,y,x2,9 第5题IntegrateExpx2,y,0,2,x,2y,4 IntegrateExpx2,x,0,4,y,0,x/2 第6题 IntegrateSinq,q,ArcTan3,Pi-ArcTan3 第7题Clearg1g1=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,2,t,0,2Pi,DisplayFunctionIdentityg2=Plot3D1,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunctionIdentityShowg1,g2,DisplayFunction$DisplayFunctionClearggx_,y_,z_=z/(x2+y2+z2)(3/2); Clearf,r,t,s;fx_,y_,z_=x4+y2+z2; 第8题d1=SqrtDluj,t.Dluj,t;NIntegrate(Sqrt1+x3+5y3/.xt,y(t2)/3,zSqrtt)*d1,t,0,2 5.80805第9题S1=3/(1+x2),2/(1+y2);S2=Cost,Sint;Integrate(S1.DS2,t)/.xCost,ySint,t,0,Pi 第10题Clearz;zx_,y_=x*y;g1=ParametricPlot3Dr*Cost,r*Sint,r2Cost*Sint,r,0,2,t,0,2Pi,DisplayFunctionIdentityg2=ParametricPlot3DCost,Sint,z,t,0,2Pi,z,-3,3,DisplayFunctionIdentityShowg1,g2,ViewPoint1,-1,1,DisplayFunction$DisplayFunction Graphics3D第11题ClearA,f1,d1;A=0,0,x2*y2*z;f1=x,y,z/a;d1=a2*Sinu;Integrate(A.f1/.xa*Sinu*Cosv,ya*Sinu*Sinv,za*Cosu)*d1/Simplify,u,Pi/2,Pi,v,0,2Pi 第12题Clearf,g,r,t;fx_,y_,z_=x+y+z;gx_,y_=Sqrta2-x2-y2;mj=Sqrt1+Dgx,y,x2+Dgx,y,y2/Simplify;Integrate(fx,y,gx,y*mj/.xr*Cost,yr*Sint)*r,t,0,2Pi,r,Sqrta2-h2,a附录2：实验报告填写说明 1实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4实验环境：实验用的软、硬件环境。5实验方案（思路、步骤和方法等）：这是