勾股定理的应用 (18).doc

课题勾股定理的综合运用教案洪湖市峰口镇中心学校：蔡明英【教学内容】勾股定理的综合运用【学习目标】1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题2.以复习勾股定理为载体，让学生扎实掌握基础知识的同时，探究出解决折叠问题、面积问题、最短路径问题等的基本策略和基本方法；3.通过对综合题的探究学习，培养学生分析推理、概括归纳的能力，同时逐步形成数形结合、分类讨论、转化、方程等数学思想；4.使学生体验数学建模思想，进一步培养学生解决实际问题的能力.5.使学生体会数学知识的现实价值，激发学生学习数学的兴趣.【重点难点】教学重点 掌握方法、形成思想，养成思考习惯，提高思维能力.教学难点 将实际问题转化为数学问题，构建几何模型.【教学方法】自主探究，合作交流.【教学过程】一、 经典回眸 知识再现1.勾股定理及勾股定理的逆定理的内容是什么？l 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么:a2+b2=c2l 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为a、b、c且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.含300角、450角的直角三角形的三边有什么数量关系？l 含300角的直角三角形的三边之比为1:3:2 l 含450角的直角三角形的三边之比为1:1:2 3.求线段长的基本方法是什么?l 求线段长时我们总是想办法寻找或创造Rt,再用勾股定理求线段的长. 4.点A、B在直线L的同侧，如何在直线L上求作点P，使PA+PB最小？ 作法：1.作点A关于直线L的对称点A/. 2.连接A/B交直线L于点P. 点P即为所求. 此时PA+PB=A/B 【设计意图】：通过以上问题的思考，让学生回顾所学知识，为下面的练习与学习做好铺垫.二、 热身训练 强化基础（完成下列填空题）1.直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边的长为 .2.已知ABC的三边之长分别为5、12、13，则ABC的面积为 .3.在RtABC中，C=900,B=600,AC=33,则BC= .AB= .4.在RtABC中，C=900,AC=BC，AB=32，则AC= .5.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米.【设计意图】：通过练习达到承上启下，温故知新的目的，从而使学生达到知识的迁移.三、典例精析 形成技能例1：如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短距离是多少？解：连接AC，作CEAB于E. 则四边形EBDC为矩形EC=BD=8米，BE=CD=4米 AE=AB-BE=10米-4米=6米在RtAEC中，AC=AE2+EC2 =AE2+EC2 =10（米）答：小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短距离是10米. 【解题收获】：创造直角三角形，利用勾股定理求线段长. 【设计意图】：设置学生熟悉的情境问题，激发学生的学习热情，通过本题的教学使学生掌握求线段长的基本方法和思想.例2：如图，在四边形ABCD中，C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求四边形ABCD的面积 解：连接BD，在RtBCD中，BD=BC2+CD2 =42+32 =5 在ABD中，AD2+BD2=122+52=132=AB2 ABD是直角三角且ADB=900. S四边形ABCD=SABD+SBCD =1/2*AD*BD+1/2*BC*CD =1/2*12*5+1/2*4*3 =36(平方单位） 【解题收获】：1.在直角三角形中，已知两边就想求第三边. 2.在三角形中，已知三边长时就想是否能用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形.3.四边形的面积转化为两个三角形的面积之和. 设计意图：灵活运用勾股定理及其逆定理来解决几何图形的面积问题例3：如图， E为边长为2的正方形ABCD的边BC的中点，在对角线AC上找一点M，使BM+EM的值最小，并求此最小值。解：四边形ABCD是正方形， 点B与点D关于AC对称. 连接DE,交AC于M点， 点M即为所求. 即：此时，BM+EM的值最小，就是线段DE的长. 在RtDCE中, DC=2,CE=1/2BC=1 由勾股定理得：DE=DC2+CE2 =22+12 =5 BM+EM的最小值为5 【解题收获】:1.会找点M使BM+EM最小. 2.BM+EM的最小值就是线段DE的长. 3.用勾股定理求线段DE的长. 【设计意图】：线段和最小问题是近年的考试热点.利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”问题，体会“化曲为直”的转化思想.四、综合运用 能力提升教学说明:为学生提供自主探究的空间，让学生既能独立思考，又能互相合作.学生分小组讨论，老师巡班指导；学生汇报探究成果，根据反馈信息，教师及时纠正出现的错误；师生共同探求解题方法,板书解答过程.1.已知四边形ABCD中，A=600,B=D=900,AB=4,CD=1，求BC和AD的长.第2题第1题2.如图，在长方形纸片ABCD中， AB=12，BC=5，点E在AB上，现将DAE折叠，使点A落在对角线BD上的点A/处，你能求出AE的长吗？设计意图：联系本节课的知识点，设计2道难度适中的问题，要求学生具有较高的分析问题和解决问题的能力，进一步激发学生的探究兴趣，学会用所学知识解决数学问题的能力. 通过教学，让学生掌握勾股定理的两种基本的运用，已知直角三角形的两边，求第三边，直接运用勾股定理求解；已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边，可以运用勾股定理建立方程求解.培养学生解题的灵活性.五、总结反思 观点提炼1.本节课我们有哪些收获？2.本节课的教学渗透了哪些数学思想和方法？设计意图：小结和反思，不同学生有不同的学习体会，充分尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，理清思路，总结方法，体会数学思想，享受在数学活动中的快乐.六、课后巩固 深化提高1.一个三角形的三边的比为51213，它的周长为60cm，则它的面积是2.一座桥横跨一江，桥长12m，一艘小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶m3.已知直角三角形一个锐角60，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是 4.如图，已知圆柱的底面周长为6cm，高为4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm第4题第5题5.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离6.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺求竹竿高与门高第7题7如图，A、B两个村庄在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，C、D两点间的距离为3千米，现要在河边CD上建一个水厂，向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求此时铺设水管的总费用.8.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？第8题第9题9.如图，在平面直角坐标系中，将长方形ABCD沿着直线AE折叠后，顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10,8），求点E的坐标.10.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是多少？第10题11.在ABC中，C=900,AD,BE是中线，BE=210，AD=5，求AB的长.第11题选做题：12、为了筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色泊纸，如图已知圆筒高108cm，其截面直径为12cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸。（取3） 第12题第13题13.如图，AOB=45o,P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR的周长的最小值.14如图， MON=90o，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A也随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，设点D到点O的距离为h,求h的取值范围.15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是等腰三角形时，求点P的坐标.第15题第14题设计意图：通过练习及时了解学生对本节课所学知识掌握的熟练性、准确性，以便于查漏补缺，优化后期课堂教学.同时练习的设计本着尊重学生的个体差异的原则，分层要求，由易到难，梯度推进，既保证学有困难的学生消化得了，又保证学有余力的学生吃得饱.有几道题的设计，联系实际，目的是为了激发学生的探究兴趣，学会用所学知识解决实际生活中的问题的能力,体会学习数学的实用性.评价与反思叶圣陶说：“教是为了不教”，也就是说我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法.本节课整过教学过程注重了数学思想和方法的教学，从学生到教师，从教师到学生，信息流畅，反馈及时，评价及时，矫正及时.整过教学师生互动轻松愉快,和谐发展.充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用.例题的