痛并快乐着谈高等几何学习中的数学美.doc

高等几何期终考试论文 06020130罗茜痛并快乐着谈高等几何学习中的数学美内容摘要数学有科学皇后的美誉，但大多数人都觉得数学晦涩难懂，怎样体现数学这位皇后的本来面目，本文以高等几何的学习为例谈谈数学美。关键字 困难 享受 数学美 思维提高米卢提倡快乐足球，意思就是：要热爱足球本身，从足球的运动中的到真正的乐趣，而不是为了利益去踢，这样才可以把足球踢好。 数学通报2004，12，从数学享受快乐学习数学也一样，如果一个学生对数学很感兴趣，能在数学的学习中得到快乐，那么他就会自觉的去学习。不管在学习的过程中遇到什么困难，他都能克服，并且在痛苦中享受快乐，在痛苦中成长。这样的学习才真正领会了数学学习的本质，而数学中可以引起学生兴趣的，不是数学以外的东西，而是 靠数学美，靠数学自身的魅力。下面以射影几何的学习为例谈谈数学美的几个方面。1 自然美数学来源现实，并在实际需要的刺激下发展完善，我们所学的数学内容都来源于现实世界。它的美是与生俱来的。这学期学习了射影几何，我不禁要问：我们所学拓广平面在现实中存在吗？是否是形而上学？既然我们生活在欧氏空间中，那么欧氏几何的内容已经足够了，为什么还要学习射影几何？它有什么用？实际上，这些知识的提出决不是凭空的，是有实际依据的；15，16世纪地理大发现和航海术的发展，人们越来越发现所使用的地图不精确。为了的绘制出更精确的地图，才衍生出射影几何这门学科，射影几何应画图的需要产生。有这些问题的引入，学习知识就不会空泛。尽量从现实世界出发，从问题出发，在解决问题时同时引入模型。是数学建模的基础思想。我们学习数学决不是为了考试，而是要学有所用，用已有的知识解决实际的问题，这样才能体现数学的价值。这样的数学不再是枯燥的，形而上学的，而是有用的，学习的人也自然会被数学的自然美所吸引。2 简单美例1 已知非退化二阶曲线及外一点P, 过P求作的两切线.在高中大家一般会用直尺靠上去粗略的画一条线。这种画法虽然理论上正确，但是误差大，实际操作不方便。学习了配极变换这一章后，我们得到一种新的方法利用已知结论作P关于的极线p. 设p交于E,F, 连PE, PF即可（如图）.这种方法不仅理论正确，而且画图较精确，误差小，但是步骤稍繁了一点；有更简捷的方法！过P任作三割线, 可得切线，多么简捷美妙！例2已知两个二次点列中的三对相异对应点， 求做由此确定的二次曲线的任一点的对应点。认识论中说，人们认识事物的过程是丛简单到一般，所以当我们遇到比较难解决的问题的时候，不妨先想象它简单的一些特殊情形，说不定会的到一些好的启示 ，这到作图题直接做比较困难，但是我们可以先考虑它的退化情形，当二次曲线退化成两条直线，问题变成两个点列上的第四对应点问题，由此想到STEINER作图法，只要做出透视轴即可。方法也十分简便；2统一美数学的统一美体现在两个方面，一是数学对其他学科的统一，另一是数学本身的统一 中学数学教与学，2004 8月，论数学精神和数学教育数学对其他学科的作用是不言而喻的。古希腊毕达哥拉斯学派信奉：万物皆为数的观点，并将当时的课程为四大部分算术几何音乐天文，分别对应了数的绝对理论，数的应用，静止的量和运动的量。柏拉图更是在自己学院的门口刻上，不懂几何者不得入内；说明数学对其他学科的作用。实际上，数学的普遍应用早就揭示了数量之间的关系特征。现代数学又深入一步，揭示了构成事物或过程各要素之间的联系和整体性。例如：爱因斯坦相对论以数学为工具揭示了时间空间物质能量之间的联系和整体性，量子力学以数学为工具揭示了波和粒子，连续和间断的统一性和整体性，数学模型还揭示了各种现象的统一性成为处理这些问题的有利工具。 数学本身也在寻求统一。使射影几何达到登峰造极的FELIX KLEIN提出用群的观点统一整个数学，他通过选择绝对形利用射影几何导出了欧氏几何以及双曲椭圆等非几何度量，从而说明了射影几何在逻辑上对立与欧氏几何，而欧氏几何和非欧几何同可以看做射影几何的特例或子几何；KLEIN 纲领不仅把欧氏几何和非欧几何，而且也把代数几何拓不学等都统一于射影几何门下。这个纲领对几何学产生了长达半个世纪的影响，所以十九世纪有句名言“一切几何都是射影几何”。解析几何和射影几何的统一：解析几何和射影几何在二次曲线部分对中心，直径，共轭直径，渐进线等概念给出了不同的定义仿射定义解析定义等价条件中心l关于的极点C称为的中心C为的对称中心(AB, CP)=1直径无穷远点P的有穷远极线(过中心的通常直线). 一组平行弦中点的轨迹(XY, ZP)=1 共轭直径直径AB的共轭直径为平行于AB的弦的中点轨迹EF.直径AB的共轭直径为AB上无穷远点P的极线EF(相互通过对方极点的两直径 (XY, ZP)=1 尽管定义有所不同，但是通过一个调和比-1，可以将仿射定义和解析定义统一起来。齐次坐标的引入：在添加了无穷远点和无穷远直线之后，拓广平面已不同于欧氏平面。原有的笛氏坐标已经不可使用；引入其次坐标使代数和几何的到统一，实现了射影几何内容的代数表达，将解析法证明在射几中成可能，推动了了射影几何的发展。3，对称美提到对称，我们会想到轴对称，中心对称，旋转对称等，其实，对称有着更深刻的涵义和更宽泛的范围。对称的实质就是“变中有不变”。射影几何是研究什么的？射影几何是一门研究在射影“变”换下保持“不变”的性质，所以这门学科的本质的数学思想就是对称。贯穿全书的对偶原则，就是对称的一个很好的体现。由于对偶原则大大提高了研究的效率，真正达到了事半功倍的效果。这同时也是简单美的一个极大的体现。例如有 pascal 定理，很容易由它的对偶命题得到brianchon定理。对称的原则对于解题也有很多帮助。比如：(蝴蝶定理)过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF, 连结EF, CD交AB于G, H. 求证：GO=OH.一般地我们拿到题目之后会先画图，证明。做完题后再回头看看反思，题目做完整了吗？只有这一种画图的情形吗？ CEDF对于图形来说是互相对称的。如果我们对称的调换字母C，E的位置，就可以得到另一种情况的图形，从而给出完整的解答。4，缺憾美（补美）有缺憾有差异，无妨补齐消除 不失为美 中学数学教与学，2004，4月展示数学美，培养探索欲，提高创造力；数学美学教学的认识和实践 芮国英。在射影几何中 ，由于影消线影消点的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射，存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点。如何使得中心射影成为一个双射？给平行线添加交点！改造空间，使得中心射影成为双射，得到的拓广平面已不同与原来的欧氏平面，对解决实际问题带来新的思维。数学学习的目的在于全面领会数学功能，应用数学思想来 解决实际问题，又能掌握科学的思想方法和精神 中学数学教与学，2004 8月，论数学精神和数学教育 王青建。也许我们将来的工作很少涉及现在专业课所学的内容，但不等于现在的学习没有效用，而很可能最大的收益在于掌握了数学的精神思想和方法提高了自己的思维能力，因此对于数学文化的学习越来越受到重视；实际上对于数学的学习就 是对数学文化的学习。 数学美就是数学文化一个重要的方面 。通过挖掘 数学中美的内涵，培养数学美感和审美心理 ，用美的特征去观察思考，类比联想猜测，可以洞查其内在隐蔽的联系，发现新的问题然后解决，同时自己也被数学的自身魅力所吸引，在数学学习中享受乐趣，才是数学学习的真正境界。参