相遇与追及的知识点及运用两大秘笈解读经典例题.doc

【整体学习方法】：掌握两大 秘笈 玩转行程 秘笈一：大部分题目有规律可依，要诀是学透每种行程类型题相应的公式秘笈二：无规律的题目有攻略，一画（画图法）二抓（比例法、方程法）【理解两个基本】1、基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.2、基本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间【关键问题】确定运动过程中的位置和方向。相遇与追及的知识点及运用两大秘笈解读经典例题：一、 相遇问题：1、知识点梳理方向：同时不同地相向而行（直线上运动），同时同地相背而行（环形）实质：两人同时出发到相遇，两人用的时间相同相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间（甲的速度+乙的速度）相遇时间速度和相遇时间.甲的路程+乙的路程=环形周长（环形）公式：路程和=速度和相遇时间(即每人各自行驶的时间)以及2个相应变形公式2、经典例题解析【例 1】 甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相对而行，甲车先行小时，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，小时相遇，求、两地间的距离【方法】运用秘笈一，理解应用公式总路程=速度和相遇时间【解析】 这题不同的是两车不“同时”（法）求、两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来（千米），（千米），（千米）（法）还可以先求出甲、乙两车小时所行的路程和，再加上甲车小时所行的路程（千米），（千米）【例 2】 甲、乙两辆汽车分别从、两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从地出发，乙车出发小时后两车还相距千米甲车每小时行千米，乙车每小时行千米求、两地间相距多少千米？【方法】运用秘笈二，画线段图分析【解析】 画线段图如下：由图中可以看出，甲行驶了(小时)，行驶距离为：(千米)；乙行驶了小时，行驶距离为：(千米)，此时两车还相距千米，所以、两地间相距： (千米)也可以这样做：两车小时一共行驶：(千米)，、两地间相距： (千米)，所以，、两地间相距千米【例 3】 甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地95千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地25千米处相遇求、两地间的距离【方法】秘笈二，画线段图法，比例法结合应用【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)可以发现第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即(千米)，而这285千米比一个、两地间的距离多25千米，可得：(千米)【例4】甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？【解析】 方法一：出发1小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙千米；10分钟后丙、乙相遇，相向而行共行了2千米，其中乙行了千米，丙行了千米，丙每小时行千米，所以甲、丙相遇时，丙行了千米。方法二：丙1小时10分钟（与乙相遇）行的距离与1小时（与甲相遇）行的距离之差恰好等于甲1小时行的距离之差，所以丙的速度等于千米/小时，丙与甲相遇时，丙行了千米【例5】A、B两地相距300米，甲从A出发，匀速向B行走，乙、丙从出发，匀速向行走（三人未必同时出发），甲走了100米时与乙相遇，又走100米与丙相遇，结果三人同时到达各自的目的地，当这三人中速度最快的人出发时，另两个人相距多少米。【方法】秘笈二，线段图法，比例法【解析】画线段图A 300米 B 100米 100米100米甲 与乙相遇 乙 乙 100米 丙 甲 与丙相遇 ？如上图分析:由甲走了100米与乙相遇，知甲乙同时到达目的地时，甲走了200米乙走了100米，得出甲、乙的速度比为2:1，由甲又走了100米与丙相遇，知甲丙同时到达目的地时，甲走了100米丙走了200米，得出甲、丙的速度比为1:2，进而得出甲、乙、丙的速度比为2:1:4，显然，丙的速度最快，当丙行走了100米与甲相遇，推出当丙出发时，即丙退回去100米，由甲丙的速度比得甲退回去为100*1/2=50米，由乙丙的速度比得乙退回去50*1/2=25米,而当甲与乙相遇后，甲又走了100米，乙向目的地走了50米，当丙出发时乙后退回25米，则最后得出甲乙的距离为50+25=75米。二、 追及问题：1、知识点梳理方向：同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）（直线上运动）同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）（环形）实质：两人从同时出发到追上，两人用的时间相同路程差(追及路程)甲走的路程-乙走的路程甲的速度追及时间-乙的速度追及时间（甲的速度-乙的速度）追及时间速度差追及时间. 公式：路程差=速度差追及时间(即每人各自行驶的时间)以及2个相应变形公式2、经典例题解析【例 1】小明步行上学，每分钟行70米离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？【方法】运用秘笈一，理解公式追及时间=路程差速度差的应用【解析】当爸爸开始追小明时，小明已经离家：(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短(米)，也就是爸爸与小明的速度差为 (米/分),爸爸追及的时间：(分钟)当爸爸追上小明时，小明已经出发(分钟)，此时离家的距离是：(米)【例2】甲、乙两车同时从地向地开出，甲每小时行千米，乙每小时行千米，开出小时后，甲车因有紧急任务返回地；到达地后又立即向地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达地，求、两地的路程【方法】运用秘笈二，画线段图理解【解析】根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从地到地所用的时间，由此可以求出、两地的路程,追及路程为：(千米),追及时间为：(小时),、两地的路程为：(千米).【例3】甲、乙两车同时从A城市出发驶向距离300千米远的B城市已知甲车比乙车晚出发1个小时，但提前1个小时到达B城市那么，甲车在距离B城市多少千米处追上乙车【解析】 根据题意，甲车比乙车晚出发个小时，结果还比乙提前个小时到达，则在行驶300千米的时间内，甲比乙多行了乙2个小时的路程；现在，甲要比乙多行乙1个小时的路程，甲只需行驶3002=150千米。【例 4】 张涛坐在行驶的公共汽车上，忽然发现李梅正在向相反的方向步行，2分后汽车到站，张涛下车去追李梅。如果张涛的速度是李梅的2倍，是汽车速度的。那么张涛追上李梅要多少分？ 【方法】运用秘笈二，方程法【解析】 设李梅的速度为a，则张涛的速度为2a，汽车的速度为8a。下车时，张涛与李梅的距离为（8aa）218a，张涛与李梅的速度差为2aaa，追上李梅需要18aa18（分）。【例5】甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？【方法】公式法的多次应用【解析】 甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000800）71400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400（147）200（米分），骑摩托车人的速度为：800200600（米分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000600）72800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：28008600950（米分）流水行程问题知识点及经典例题：一、知识点梳理实质：船本身有动力，即使水不流动，船也有自己的速度，但在流动的水中，或者受到流水的推动，或者受到流水的顶逆，使船在流水中的速度发生变化。这类问题的关键是确定物体所运动的速度公式：顺水行程=（船速+水速）顺水时间逆水行程=（船速-水速）逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水 速=（顺水速度-逆水速度）2流水行船问题中的相遇与追及两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.二、经典例题【例1】一只小船在静水中速度为每小时千米它在长千米的河中逆水而行用了小时求返回原处需用几个小时？【方法】秘笈一，流水问题中公式的应用【解析】 这只船的逆水速度为：(千米/时)；水速为：(千米/时)；返回原处所需时间为：(小时)【例2】甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，4小时后相遇已知水流速度是6千米/时求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？【方法】秘笈一，流水问题公式的理解应用【解析】 在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，乙船逆水甲船的顺水速度船速水速，乙船的逆水速度船速水速，故：速度差(船速水速) (船速水速)水速，即：每小时甲船比乙船多走(千米)4小时的距离差为(千米)【例3】一条小河流过A，B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?【方法】秘笈二，线段图法、方程法的结合应用【解析】 如下画出示意图有AB段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有BC段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时而从AC全程的行驶时间为8-1=7小时设AB长千米,有,解得=25所以A,B两镇间的距离是25千米.【例4】甲乙两港相距400千米，甲港在乙港的上游，有一艘游轮从甲港出发到达乙港后返回共用10小时，水速是游轮静水速度的，那么水速是_千米/小时。【方法】秘笈二，比例法的应用【解析】水速是游轮速度的，也就是说顺水速度与逆水速度之比是，所以顺水时间与逆水时间之比为，也就是说，轮船从甲港到乙港一共用了小时，那么顺水速度就是千米/小时，而顺水速度是水速的4倍，所以水速是千米/小时。【例5】学学和思思各开一艘游艇，静水中学学每小时行3.3千米，思思每小时行2.1千米。现在两游艇于同一时刻相向出发，学学从下游上行，思思从相距27千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，学学到达思思的出发地。水流速度是每小时多少千米。【方法】秘笈一，流水问题中的相遇问题理解应用【解析】相遇时间和水流速度无关，所以相遇时间=27(3.3+2.1)=5小时所以学学走27千米共用了5+4=9小时，所以学学的逆水速度=279=3千米/小时，水流速度=3.3-3=0.3千米/小时火车过桥问题的知识点及运用两大秘笈解读经典例题：一、知识点梳理： 1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长桥(隧道)长度(总路程) 火车速度通过的时间；2、火车树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)火车速度通过时间；3、火车人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) (火车速度人的速度)迎面错过的时间；（2）火车同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) (火车速度人的速度) 追及的时间； （3）火车坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程) (火车速度人的速度) 迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长慢车车长(总路程) (快车速度慢车速度) 错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长慢车车长(总路程) (快车速度慢车速度) 错车时间；温馨提示：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，初学者在分析题目的时候一定得结合着图来进行。2、经典例题解析【例1】一列火车长米，每秒钟行驶米，全车通过一条隧道需要秒钟，求这条隧道长多少米？【方法】秘笈一，基本公式和火车过桥的公式理解应用【解析】 已知列车速度是每秒钟行驶米和全车通过隧道需要秒钟根据速度时间路程的关系，可以求出列车行驶的全路程全路程正好是列车本身长度与隧道长度之和，即可求出隧道的长度列车秒钟行驶：(米)，隧道长：(米)【例 2】四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2列(竖排)并列行进四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米，年级之间相距5米他们每分钟都行走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长 米【方法】秘笈一，火车过桥问题的变形应用。【解析】 100名学生分成2列，每列50人，应该产生49个间距，所以队伍长为(米)，那么桥长为(米)【例 3】小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了 21秒这列火车长 630米，以同样的速度通过一座大桥，用了1.5 分钟这座大桥长多少米？【方法】秘笈一，基本公式和火车过人问题的理解应用。【解析】 因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长，所以，这列火车的速度为： 630 21= 30(米/秒)，大桥的长度为： 30 (1.5 60) 630 =2070(米)【例 4】一列火车长152米，它的速度是每小时公里，一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过用8秒钟，这个人的步行速度是每秒 米【方法】秘笈一，相遇问题与火车与人问题公式的理解应用。 【解析】 根据题意可知火车与人的速度和为米/秒，而火车速度为米/秒，所以这个人的步行速度是米/秒【例 5】甲、乙两辆汽车在与铁路并行的道路上相向而行，一列长180米的火车以60千米/时的速度与甲车同向前进，火车从追上甲车到遇到乙车，相隔5分钟，若火车从追上到超过甲车用时30秒。从与乙车相遇到离开用时6秒，求乙车遇到火车后再过多少分钟与甲车相遇？【方法】秘笈二，画图分析，相遇追及问题与火车与火车问题的结合应用【解析】 由火车与甲、乙两车的错车时间可知，甲车速度为千米/时。乙车速度为千米/时，火车追上甲车时，甲、乙两车相距千米。经过分钟相遇，那么乙车遇到火车后1.25分钟与甲车相遇环形跑道的知识点及运用两大秘笈解读经典例题：一、知识点梳理1、 掌握如下两个关系：（1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次（2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次2、环形跑道的本质：就是相遇与追及A、同向运动就是追及问题，追及路程=环形道路周长的倍数+二人初始距离（同地时为0）B、反向运动就是相遇问题，相遇路程=环形道路周长的倍数+二人初始距离（同地时为0）温馨提示：环形跑道问题需要用到周期问题的方法。二、经典例题解析【例 1】 一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米经过几分钟才能相遇?【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行（千米），那么周长跑道里有几个米，就需要几分钟，即（分钟）【例 2】 上海小学有一长米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑米，小胖每秒钟跑米，小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【解析】 第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要秒，小亚跑了（米）。小胖跑了（米）；第一次追上时，小胖跑了圈，小亚跑了圈，所以第二次追上时