河北省保定市高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

河北省保定市2015届高三上学期期末 数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数z=，则|z|=（）abc1d22（5分）已知集合m=x|2x1，n=x|x|2，则mn=（）abd（0，2）3（5分）已知函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为，则f（）=（）a1bc1d4（5分）在区间内随机取出一个实数a，则a（0，1）的概率为（）a0.5b0.3c0.2d0.15（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果s为（）a2014b2013c1008d10076（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值是（）a2b0c10d157（5分）如图，为互相垂直的两个单位向量，则|+|=（）a20bc2d8（5分）湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm，深2cm的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）a20cmb18cmc10cmd8cm9（5分）已知等比数列an中，若4a1，a3，2a2成等差数列，则公比q=（）a1b1或2c2或1d110（5分）已知函数f（x）=+2ax+c，a0，则它们的图象可能是（）abcd11（5分）已知函数f（x）=|log2x|，0mn，且f（m）=f（n），若函数f（x）在区间上的最大值为2，则m2=（）abcd12（5分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且bc边上的高为a，则+取得最大值时，内角a的值为（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13（4分）若x1时，xa11，则a的取值范围是14（4分）下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是15（4分）已知圆c：x22ax+y2=0（a0）与直线l：xy+3=0相切，则a=16（4分）设互不相等的平面向量组（i=1，2，3，），满足：|=2；=0，若=+（m2），则|的取值集合为三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且bsincccosb=0（1）求tanb；（2）若b=7，求abc的周长的最大值18（12分）已知等差数列an的前sn项和为sn，a1=3，bn为等比数列，且b1=1，bn0，b2+s2=10，s5=5b3+3a2，nn*（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和tn19（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如图：规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；（2）现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率20（12分）在棱锥abcde中，bac=，dc平面abc，eb平面abc，f是bc的中点，ab=ac=be=2，cd=1（1）求证：efad；（2）求三棱锥fade的高21（13分）已知函数f（x）=+lnx，其中ar（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）1在x（0，e上恒成立，求实数a的取值范围22（13分）已知：过抛物线x2=4y的焦点f的直线交抛物线于a，b两个不同的点，过a，b分别作抛物线的切线，且二者相交于点c（1）求证：=0；（2）求abc的面积的最小值河北省保定市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数z=，则|z|=（）abc1d2考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解解答：解：z=，|z|=故选：c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题2（5分）已知集合m=x|2x1，n=x|x|2，则mn=（）abd（0，2）考点：并集及其运算 专题：集合分析：求出m与n中不等式的解集确定出m与n，找出两集合的并集即可解答：解：由m中不等式变形得：2x1=20，得到x0，即m=，则mn=专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数的周期公式求出即可解答：解：函数f（x）=sin（x+）（0）的最小正周期为，周期t=，解得=2，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2+）=sin（+）=sin=1，故选：a点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据函数的周期求出是解决本题的关键4（5分）在区间内随机取出一个实数a，则a（0，1）的概率为（）a0.5b0.3c0.2d0.1考点：几何概型 专题：概率与统计分析：本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间（0，1）的长度，求比值即得解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间的长度为10，a（0，1）的区间长度为1，由几何概型公式得，a（0，1）的概率为；故选d点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型5（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果s为（）a2014b2013c1008d1007考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的是什么解答：解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得：该程序运行的是当k2014时，计算s=0+12+34+（1）k1k；该程序运行后输出的是：s=0+12+34+（1）20122013=1=1007故选：d点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论6（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值是（）a2b0c10d15考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点o时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，此时z=0，故选：b点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键7（5分）如图，为互相垂直的两个单位向量，则|+|=（）a20bc2d考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，得到向量，的终点坐标和起点坐标，从而得到向量a，b的坐标，即可得到和向量的坐标，再由模的公式即可得到答案解答：解：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为（3，0），起点坐标为（3.5，3.5），的终点坐标为（2，3），起点坐标为（3.5，3.5），则有=（0.5，3.5），=（1.5，0.5），=（2，4），即有|=2故选c点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题8（5分）湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为6cm，深2cm的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）a20cmb18cmc10cmd8cm考点：球的体积和表面积 专题：计算题；球分析：先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球面上的点到冰面的距离的最大值为2rh，即可得到解答：解：设球的半径为r，依题意可知36+（r2）2=r2，解得r=10，则球面上的点到冰面的距离的最大值为202=18（cm）故选b点评：本题主要考查了球面上的勾股定理和球面上的点到球的截面的距离的最值，属基础题9（5分）已知等比数列an中，若4a1，a3，2a2成等差数列，则公比q=（）a1b1或2c2或1d1考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等差中项的性质和等比数列的通项公式，列出关于公比q的方程，再求解即可解答：解：设等比数列an的公比为q，因为4a1，a3，2a2成等差数列，所以2a3=4a1+2a2，即，化简得q2q2=0，解得q=2或q=1，故选：c点评：本题考查等差中项的性质，等比数列的通项公式，以及方程思想，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=+2ax+c，a0，则它们的图象可能是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除c，推出结果解答：解：因为f（x）=，f（x）=ax2+2ax+c，则函数f（x）即g（x）图象的对称轴为x=1，故可排除a，d；由选项c的图象可知，当x0时，f（x）0，故函数在（0，+）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+）上不具有单调性，故排除c本题应选b故选：b点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力11（5分）已知函数f（x）=|log2x|，0mn，且f（m）=f（n），若函数f（x）在区间上的最大值为2，则m2=（）abcd考点：对数函数的图像与性质 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意可得log2m=log2n，从而化得mn=1；从而可得f（m2）=|log2m2|=2log2m=2，从而解得解答：解：f（m）=f（n），0mn；log2m=log2n；故mn=1；故函数f（x）在区间上的最大值为f（m2）=|log2m2|=2log2m=2；故m=，故m2=；故选a点评：本题考查了对数函数的应用，属于基础题12（5分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且bc边上的高为a，则+取得最大值时，内角a的值为（）abcd考点：正弦定理；基本不等式 专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：利用三角形的面积计算公式可得 a2=bcsina即a2=2bcsina，利用余弦定理及已知可得=4sin（a+）4，从而可解得a的值解答：解：a2=bcsina，a2=2bcsinacosa=，b2+c2=a2+2bccosa=2bcsina+2bccosa=2sina+2cosa=4sin（a+）4，的最大值是4时有a+=2k，kz可解得：a=2k，kz0aa=故选：d点评：本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13（4分）若x1时，xa11，则a的取值范围是a1考点：指、对数不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由x1，xa11，可得xa1x0，结合指数函数的单调性得a10，则a的范围可求解答：解：x1，由xa11，得xa1x0，即a10，则a1故答案为：a1点评：本题考查了指数不等式的解法，考查了指数函数的单调性，是基础题14（4分）下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是8考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；压轴题；图表型分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆柱从中挖掉一个同底等高的圆锥，它们的高与半径已知，故可用圆柱的体积减去圆锥的体积来求此几何体的体积解答：解：根据三视图，由几何体的定义知：该几何体是底面半径为2，母线长为3的圆柱，从中挖掉一个同底等高的圆锥，圆柱的体积为322=12，圆锥的体积为故此空间几何体的体积为124=8故答案为8点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是一个组合体的体积，由于其开关的特殊性，本题采取了割补的方法求体积，补充了一个圆锥使几何体成了一个圆柱，然后用圆柱的体积减去圆锥的体积来求此几何体的体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能15（4分）已知圆c：x22ax+y2=0（a0）与直线l：xy+3=0相切，则a=3考点：圆的切线方程 专题：直线与圆分析：联立方程消去x由=0解关于a的方程可得a值解答：解：圆c：x22ax+y2=0（a0）与直线l：xy+3=0相切，联立方程消去x可得4y22（a+3）y+6a+9=0，由=（2）2（a+3）244（6a+9）=0可得a=3或a=1（舍去）故答案为：3点评：本题考查直线与圆的位置关系，涉及一元二次方程根的个数问题，属中档题16（4分）设互不相等的平面向量组（i=1，2，3，），满足：|=2；=0，若=+（m2），则|的取值集合为考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：由|=2，=0，（in*）可得，且i的最大值为4.=+，对m分类讨论即可得出解答：解：|=2，=0，（in*），且i的最大值为4=+=4m+，若m=2时，=8，|=2；若m=3时，=4，=2；若m=4时，=4428=0，=0|tm|的取值集合为0，2，2故答案为：点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且bsincccosb=0（1）求tanb；（2）若b=7，求abc的周长的最大值考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：（1）由已知和正弦定理可得sinbsincsinccosb=0，即可求得tanb的值；（2）由（1）知，b=，由余弦定理可得（a+c）2=3ac+49（a+c）2+49，即有a+c14（当且仅当a=c=7时取等号），即可求abc的周长的最大值解答：解：（1）bsincccosb=0，sinbsincsinccosb=0（2分）sinc0，cosb0tanb=（4分）（2）由（1）知，b=由72=a2+c22accosb，得49=a2+c2ac，（7分）（a+c）2=3ac+49（a+c）2+49a+c14（当且仅当a=c=7时取等号），abc周长的最大值为21 （10分）点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用，不等式的解法，综合性强，属于中档题18（12分）已知等差数列an的前sn项和为sn，a1=3，bn为等比数列，且b1=1，bn0，b2+s2=10，s5=5b3+3a2，nn*（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和tn考点：数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的其前n项和公式即可得出解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由b2+s2=10，s5=5b3+3a2，nn*，可得：，解得q=2或q=（舍），d=2数列an的通项公式是an=2n+1数列bn的通项公式是（2）anbn=（2n+1）2n1tn=3+52+722+（2n+1）2n1，2tn=32+522+（2n1）2n1+（2n+1）2n，tn=3+2（2+22+2n1）（2n+1）2n=（2n+1）2n=2n+11（2n+1）2n，tn=（2n1）2n+1（nn*）点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如图：规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品（1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；（2）现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 专题：概率与统计分析：（1）根据茎叶图的知识，和平均数的定义，求出平均数比较即可；（2）记含量为10和13毫克的两件为a，b，其他非优质品分别为c，d，e，f则“从六件非优质品中随机抽取两件”，共15个，其中“至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有9个，根据概率公式计算即可解答：解：（1）甲厂平均值为（9+18+15+16+19+13+23+20+25+21）=17.9，乙厂平均值为（18+14+15+16+19+10+13+21+20+23）=16.9，所以甲厂平均值大于乙厂平均值（2）记含量为10和13毫克的两件为a，b，其他非优质品分别为c，d，e，f则“从六件非优质品中随机抽取两件”，基本事件有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个“至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共9个，故所求概率p=点评：本题考查了茎叶图的知识以及等可能事件的概率，关键是一一列举出所有的基本事件，属于基础题20（12分）在棱锥abcde中，bac=，dc平面abc，eb平面abc，f是bc的中点，ab=ac=be=2，cd=1（1）求证：efad；（2）求三棱锥fade的高考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用线面垂直的判定与性质证明affe，利用勾股定理，证明dfef，可得ef平面afd，即可证明fead；（2）利用等体积法求三棱锥fade的高解答：（1）证明：dc平面abc，dcaf，又ab=ac，f是bc的中点，afbc，af平面bcdaffe2分在def中，de2=bc2+（ebdc）2=9，df2=dc2+cf2=3，ef2=eb2+bf2=6，de2=df2+ef2，dfef，5分ef平面afd，故fead6分（2）解：由（1）知dfef，sdef=dfef=7分sdef=s梯形bcdesdcfsbef=7分）在def中，由余弦定理得，9分sdea=设三棱锥fade的高h，则sdefaf=h=1，即三棱锥fade的高为112分点评：证明线线垂直通常利用线面垂直进行证明，求三棱锥的高可利用等体积法进行转化求解21（13分）已知函数f（x）=+lnx，其中ar（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）1在x（0，e上恒成立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明 专题：导数的综合应用分析：（1）求函数的定义域，利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间，（2）化简不等式，分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值，问题得以解决解答：解：（1）定义域为（0，+）f（x）=+=，当a0，f（x）0，恒成立，f（x）在定义域（0，+）单调递增；当a0，当xa时，f（x）0，f（x）单调递增；当0xa，f（x）0，f（x）