东北三省三校2015届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题(解析版).doc

2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A=x|2x1，B=x|x22x0，则AB=（） A x|0x1 B x|0x1 C x|1x1 D x|2x1考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 解不等式求出集合B，代入集合交集运算，可得答案解答： 解：集合A=x|2x1，B=x|x22x0=x|0x2，AB=x|0x1，故选：B点评： 本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题2（5分）复数=（） A 2（+i） B 1+i C i D i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则即可得出；解答： 解：=i，故选：C点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题3（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（） A B C 或 D 或考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求出抛物线的准线方程，利用点到直线的距离公式求解即可解答： 解：抛物线y=ax2化为：x2=，它的准线方程为：y=，点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或故选：C点评： 本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查4（5分）设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，且a10，若S5=S9，则当Sn最大时，n=（） A 6 B 7 C 10 D 9考点： 等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意可得a7+a8=0，从而可得数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论解答： 解：由题意可得S9S5=a6+a7+a8+a9=0，2（a7+a8）=0，a7+a8=0，又a10，该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，当Sn最大时，n=7故选：B点评： 本题考查等差数列的前n项和的最值，得出数列项的正负变化是解决问题的关键，属基础题5（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（） A 2012 B 2016 C 2014 D 2015考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin+sin+sin的值，观察规律可得sin的取值以6为周期，且sin+sin+sin=0，依次验证选项即可得解解答： 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求S=sin+sin+sin的值，因为sin的取值以6为周期，且sin+sin+sin=0，由2012=335*6+2，所以输入的t值是2012时，S=sin+sin=12014=335*6+4，所以输入的t值是2014时，S=sin+sin+sin+sin=12015=335*6+5，所以输入的t值是2015时，S=sin+sin+sin+sin+sin=012016=335*6+6，所以输入的t值是2016时，S=sin+sin+sin+sin+sin+sin2=01故选：A点评： 本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查6（5分）下列命题中正确命题的个数是（）对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR，均有x2+x10；p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；“m=1”是“直线l1：mx+（2m1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 利用命题的否定即可判断出正误；利用充分必要条件定义即可判断出；利用互为逆否命题之间的等价关系即可判断出正误；对m分类讨论，利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可判断出解答： 解：对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR，均有x2+x10，因此不正确；p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，正确；由于命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；当m=0时，直线l1：mx+（2m1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；m0时，若两条直线垂直，则=1，解得m=1，可知：“m=1”是“直线l1：mx+（2m1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确综上可得：正确命题的个数为：2故选：B点评： 本题考查了简易逻辑的判定、相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了推理能力，属于中档题7（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（） A 6 B 8 C 10 D 12考点： 由三视图求面积、体积专题： 空间位置关系与距离分析： 根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积解答： 解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB面ABC，VEAB，CDAB，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积V=ABCDVE=10，故选：C点评： 本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键8（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若|FB|d，则双曲线离心率的取值范围是（） A （1， B ，+） C （1，3 D ，+）考点： 双曲线的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d=b，|FB|=，利用|FB|d，可得a，c的关系，即可得出双曲线离心率的取值范围解答： 解：设F（c，0），B（0，b），一条渐近线的方程为bx+ay=0，则d=b，|FB|=，因为|FB|d，所以b，所以c22c22a2，所以2a2c2，所以1e故选：A点评： 本题考查双曲线离心率的取值范围，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础9（5分）不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则PB的概率为（） A B C D 考点： 二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型专题： 概率与统计分析： 分别画出点集对应的区域，求出面积，利用几何概型的公式解答解答： 解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为44=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则PB的概率为；故选A点评： 本题考查了几何概型的公式的运用；关键是画出区域，求出区域面积，利用几何概型公式求值10（5分）设二项式（x）n（nN*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则=（） A 2n1+3 B 2（2n1+1） C 2n+1 D 1考点： 二项式定理的应用；数列的求和专题： 等差数列与等比数列；二项式定理分析： 首先利用条件求得an、bn，再利用等比数列的求和公式计算所给的式子，可得结果解答： 解：由于二项式（x）n（nN*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则an =2n，bn =2n，所以=2n+1故选：C点评： 本题主要考查展开式的二项式系数和与各项系数和的区别，等比数列的求和公式，属于中档题11（5分）已知数列an满足an=n3n2+3+m，若数列的最小项为1，则m的值为（） A B C D 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： 令f（x）=x3x2+3+m，（x1）利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出解答： 解：数列an=n3n2+3+m，令f（x）=x3x2+3+m，（x1）f（x）=x2x，由f（x）0，解得x，此时函数f（x）单调递增；由f（x）0，解得1x，此时函数f（x）单调递减对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值f（3）f（2）=9（5）0，f（2）最小，85+3+m=1，解得m=故选：B点评： 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了计算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（） A （0，1） B （0，） C （，1） D （1，+）考点： 函数的零点与方程根的关系专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 求出双曲线的渐近线方程，y=ln（1x）在x=0处的切线方程，即可得出结论解答： 解：由题意，x0，f（x）=为双曲线4y2x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=x；当k=1时，由y=ln（1x），可得y=1可得x=0，即y=ln（1x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）kx有且只有1个零点，若函数F（x）=f（x）kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C点评： 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）向量，满足|=1，|=，（+）（2），则向量与的夹角为90考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 由向量垂直的条件可得（+）（2）=0，根据向量数量积的运算化简得=0，即可求出向量与的夹角解答： 解：因为|=1，|=，（+）（2），所以（+）（2）=2+=0，则2+2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90，故答案为：90点评： 本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量垂直的条件，属于中档题14（5分）三棱柱ABCA1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ACB=120，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64考点： 球的体积和表面积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOAO中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可解答： 解：在ABC中，ACB=120，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOAO中，得球半径R=4，故此球的表面积为4R2=64故答案为：64点评： 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力15（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有84种不同选课方案（用数字作答）考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 排列组合分析： 先从4门课中任选2门，每一门为一步，第一门有4为同学可以选，第二门有3位同学可选，根据分步计数原理可得答案解答： 解：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为=6种，四个学生选这两种课共有24=16中，排除四个人全选其中一门课程为162=14种，故有14=84种故答案为：84点评： 本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题16（5分）已知函数y=sin（x+）2cos（x+）（0）的图象关于直线x=1对称，则sin2考点： 两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的求值分析： 利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可解答： 解：y=sin（x+）2cos（x+）=sin（x+），其中sin=，cos=函数的图象关于直线x=1对称，+=+k，即=+k，则sin2=sin2（+k）=sin（2+2k）=sin（2）=sin2=2sincos=2=，故答案为：点评： 本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式以及三角函数的对称轴是解决本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知ABC的面积为2，且满足04，设和的夹角为（1）求的取值范围；（2）求函数f（）=2sin2（+）cos2的取值范围考点： 两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值专题： 三角函数的求值分析： （1）由数量积和三角形的面积公式可得tan的范围，进而可得的取值范围；（2）化简可得f（）=1+2sin（2），由的范围和三角函数公式可得解答： 解：（1）由题意可得=cbcos，ABC的面积为2，bcsin=2，变形可得cb=，=cbcos=，由04，可得04解得tan1，又0，向量夹角的范围为，）；（2）化简可得f（）=2sin2（+）cos2=2cos2=1+sin2cos2=1+2sin（2）由（1）知，），2，），sin（2），1，1+sin（2），2，f（）的取值范围为：，2点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题18（12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图2频率分布表（1）频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （1）利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望解答： 解：（1）由题意知频率分布表中的位置应填数字为：1005203010=35，位置应填数字为：=0.30补全频率分布直方图，如右图所示平均年龄估值为：（450.05+550.2+650.35+750.3+850.1）=33.5（岁）（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为：EX=点评： 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点（）求证：EF平面PAD；（）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角QAPD的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EFAM，利用线面平行的判定定理即得结论；（）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可解答： 证明：（）取PD中点M，连接MF、MA，在PCD中，F为PC的中点，MF，正方形ABCD中E为AB中点，AE，AEMF，故四边形EFMA为平行四边形，EFAM，又EF平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD；（）结论：满足条件的Q存在，是EF中点理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，0），F（，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=，=（，0，1），Q（，），=（，），0，1，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，0），=，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点点评： 本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题20（12分）已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求AOB面积的最大值考点： 椭圆的简单性质专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）有已知：c=2，解得a=，b2=4，从而写出方程（2）分AB斜率不存在或斜率存在两种情况讨论解答： 解：（1）有已知：c=2，a=，b2=4，故椭圆方程为； （2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：=168（2k2+1）=8，即：，|AB|=，O到直线AB的距离：d=，SAOB=，2k2+11，2）（2，+），此时 ，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：AOB面积取最大值为点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答21（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），求证：a0；求证：f（x2）f（x1）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值专题： 导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析： （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，2），即可解得a；（2）依题意：f（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a0时，当a0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；由知：f（x），f（x） 变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1（0，1），设h（x）=（xlnxx）（0x1），求得h（x）的单调性，即可得证解答： （1）解：由已知可得，f（x）=lnx+1+2ax（x0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：ya=（2a+1）（x1），把（0，2）代入得：a=1； （2）证明：依题意：f（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g（x）=+2a（x0）当a0时，有g（x）0，所以g（x）是增函数，不符合题意； 当a0时：由g（x）=0得：x=0，列表如下：依题意：g（）=ln（）0，解得：a0，综上可得，a0得证； 由知：f（x），f（x） 变化如下：由表可知：f（x） 在x1，x2上为增函数，所以：f（x2）f（x1） 又f（1）=g（1）=1+2a0，故x1（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1x1）（0x11）设h（x）=（xlnxx）（0x1），则h（x）=lnx0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）h（1）=，也就是f（x1）综上所证：f（x2）f（x1）成立点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，在ABC中，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DEBC=DMAC+DMAB考点： 与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明专题： 推理和证明分析： （1）连接BE，OE，由已知得ABC=90=AEB，A=A，从而AEBABC，进而ABE=C，进而BEO+DEB=DCE+CBE=90，由此能证明DE是圆O的切线（2）DM=ODOM=（ACAB），从而DMAC+DMAB=（ACAB）（AC+AB）=BC2，由此能证明DEBC=DMAC+DMAB解答： 证明：（1）连接BE，OE，AB是直径，AEB=90，ABC=90=AEB，A=A，AEBABC，ABE=C，BEAC，D为BC的中点，DE=BD=DC，DEC=DCE=ABE=BEO，DBE=DEB，BEO+DEB=DCE+CBE=90，OEE=90，DE是圆O的切线（2）证明：O、D分别为AB、BC的中点，DM=ODOM=（ACAB），DMAC+DMAB=DM（AC+AB）=（ACAB）（AC+AB）=（AC2AB2）=BC2=DEBCDEBC=DMAC+DMAB点评： 本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DEBC=DMAC+DMAB的证明，是