高考数学一轮复习 2.6对数函数精品学案 .doc

2013版高考数学一轮复习精品学案：第二章 函数、导数及其应用2.6对数函数【高考新动向】一、考纲点击（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。（4）了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（）二、热点提示（1）对数的运算及对数函数的图象、性质是高考考查的重点，主要考查利用对数函数的图象与性质比较函数值大小、求定义域、值域、单调区间、最值及研究零点、奇偶性等问题，同时考查分类讨论、数形结合、转化与化归思想.（2）常与方程、不等式等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.（3）预测2013年高考仍将以对数函数的图象与性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力.【考纲全景透析】1、对数的概念（1）对数的定义如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。（2）几种常见对数表格 1对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e 2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：，。（2）对数的重要公式：换底公式：；，推广。（3）对数的运算法则：如果，那么；r）；。3、对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：r（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。0cd1a1,f(x)0.g(x)0,则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0;0a0,g(x)0,则logaf(x)logag(x) 0f(x)b1，如图1.当f(x)1时，logbf(x)logaf(x);当0f(x) logbf(x).若1ab0,如图2。当f(x)1时，logbf(x) logaf(x);当1f(x)0时，logaf(x) logbf(x).若a1b0。当f(x)1时，则logaf(x) logbf(x);当0f(x)时，则logaf(x)logbf(x).（3）比较大小常用的方法作差（商）法；利用函数的单调性；特殊值法（特别是1和0为中间值）2、例题解析例对于，给出下列四个不等式：；其中成立的是（ ）（）与（）与（）与（）与分析：从题设可知，该题主要考查与两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性，再比较大小。解答：选。0a1,a,1+a0,a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性.思路解析：(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.解析：(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，则ax-10，即ax1，当a1时，x0；当0a1时，x1时，函数的定义域为 x|x0；当0a1时，函数的定义域为 x|x1时，设0x1x2，则，f(x1)1时，函数f(x)在(0,+)上为增函数；当0a1时，设x1x20，则， ，f(x1)0，解得：-1x1，即该函数的定义域为(-1,1)，又f(-x)=x+=x-=-f(x)，函数f(x)为奇函数，即f(-x)+f(x)=0，f(-)+f()=0； (2)任取x1、x2(-1,1)且设x11，1则点、的纵坐标分别为、。因为、在过点o的直线上，所以，点、的坐标分别为（，）、（，）由于o的斜率为=，o的斜率为，由此可知，即o、在同一直线上。注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到与关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对、的范围没有搞清楚。（2）由于平行于轴，知=，即得=，代入，得由于，知故考虑，解得，于是点的坐标为（，）注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。方法提示: 解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1,+)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(4)在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响，以及真数为正的限制条件.【高考零距离】1（2012天津高考文科4）已知，则的大小关系为（ ） 【解题指南】先化简b,c与1比较,再分别比较大小，显然a的值最大。【解析】选。因为，所以选。2（2012新课标全国高考文科11）当0x时，4xlogax，则a的取值范围是（ ） （）(0，) （）(，1) （）(1，) （）(，2)【解题指南】考虑数形结合，先画出图形，4xlogax，则意味着在02的解集为（ ）()（1，2）（3，+）()（10，+）()（1，2）（10，+）()（1，2）3.设f(x)是定义在r上以2为周期的偶函数，已知当x(0,1)时，f(x)= (1-x)，则函数f(x)在(1，2)上( )()是增函数，且f(x)0()是减函数，且f(x)04.已知函数f(x)=|log2x|，正实数m、n满足mn，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间m2,n上的最大值为2，则m、n的值分别为( )()、2 ()、4()、 ()、45. （2012福州模拟）函数f(x)=loga(2-ax2)在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）()，1）()（1，2）()（，1）()（1，26.（预测题）已知函数f(x)= 若方程f(x)=k无实数根，则实数k的取值范围是( )()(-,0) ()(-,1)()(-,lg ) ()(lg ,+)二、填空题(每小题6分，共18分)7. =_.8.(2012青岛模拟)函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(4x-x2)的递增区间是_.9.定义在r上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且f(x)在(1,+)上是增函数，设a=f(0),b=f(log2),c=f(lg),则a,b,c从小到大的顺序是_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为m.当xm时，求f(x)=2x+2-34x的最值及相应的x的值.11.(2012厦门模拟)已知函数f(x)=ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性;(2)对于x2,6,f(x)= ln ln 恒成立，求实数m的取值范围.【探究创新】(16分)已知函数f(x)=loga(3-ax).(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选.要使函数有意义，需得-2x-1或x3,即x(-2,-13,+),故选.2.【解析】选.当x2，即2ex-12,解得1x2，即log3(x2-1)2,解得x,综上所述，不等式的解集为（1，2）（10，+）.3.【解析】选.f(x)是定义在r上以2为周期的偶函数，由x(0,1)时，f(x)= (1-x)是增函数且f(x)0，得函数f(x)在(2，3)上也为增函数且f(x)0，而直线x=2为函数的对称轴，则函数f(x)在(1，2)上是减函数，且f(x)0，故选.4.【解析】选.f(x)=|log2x|= 根据f(m)=f(n)及f(x)的单调性，知0m1,n1，又f(x)在m2,n上的最大值为2，故f(m2)=2,易得n=2,m=.5.【解析】选.由已知可知a0,u(x)=2-ax2在（0，1）上是减函数，f(x)=loga(2-ax2)在（0，1）上是减函数.等价于,即,1a2.6.【解题指南】作出函数f(x)的图象，数形结合求解.【解析】选.在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k的图象，如图所示，若两函数图象无交点，则klg.7.【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.答案：8.【解题指南】关键是求出f(4x-x2)的解析式，再求递增区间.【解析】y=2x的反函数为y=log2x，f(x)=log2x,f(4x-x2)=log2(4x-x2).令t=4x-x2,则t0,即4x-x20,x(0,4),又t=-x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底数大于1，y=f(4x-x2)的递增区间为(0，2).答案：(0，2)9.【解析】由f(2-x)=f(x)，可知对称轴x0=1,图象大致如图，log2=log22-2=-2,-20lg1,结合图象知f(lg)f(0)f(log2)，即cab.答案：cab10.【解析】y=lg(3-4x+x2),3-4x+x20,解得x1或x3,m=x|x1或x3,f(x)=2x+2-34x=42x-3(2x)2.令2x=t,x1或x3,t8或0t2.设g(t)=4t-3t2g(t)=4t-3t2=-3(t-)2+(t8或0t2).由二次函数性质可知：当0t2时，g(t)(-4,当t8时，g(t)(-,-160),当2x=t=,即x=log2时，f(x)max=.综上可知：当x=log2时，f(x)取到最大值为,无最小值.【变式备选】设a0,a1，函数y=有最大值，求函数f(x)=loga(3-2x-x2)的单调区间.【解析】设t=lg(x2-2x+3)=lg(x-1)2+2.当x=1时，t有最小值lg2,又因为函数y=有最大值，所以0a1.又因为f(x)=loga(3-2x-x2)的定义域为x|-3x1,令u=3-2x-x2,x(-3,1),则y=logau.因为y=logau在定义域内是减函数，当x(-3,-1时，u=-(x+1)2+4是增函数，所以f(x)在(-3,-1上是减函数.同理，f(x)在-1,1)上是增函数.故f(x)的单调减区间为(-3，-1，单调增区间为-1，1).11.【解析】(1)由0,解得x-1或x1，定义域为(-,-1)(1,+),当x(-,-1)(1,+)时，f(-x)=ln=ln =ln()-1=-ln =-f(x),f(x)=ln是奇函数.(2)由x2,6时，f(x)=lnln恒成立，0,x2,6，0m(x+1)(7-x)在x2,6上成立.令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x2,6,由二次函数的性质可知x2,3时函数单