高考数学 321精品系列专题09 立体几何 理 （学生版）.doc

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题09 立体几何 理 （学生版）【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读考纲原文：（2）点、直线、平面之间的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.考纲解读：空间几何体的三视图是考查的重点，以小题为主；由给出的三视图（或其一部分），然后想像其直观图并求其体积与表面积，是常见题型；注意由给出的三视图（或其一部分），然后想像或作出其直观图，从而与点、线、面的位置关系问题相结合；注意由空间几何体可以画出它的三视图，反之由三视图也可还原几何体，两者之间相互转化；注意与球有关的问题（表面积、体积、组合体及其三视图）；注意三视图与不等式（求棱长的范围、体积的最值等）的结合；点、线、面的位置关系是考查的重点，尤其是文科；注意符号语言、文字语言、图形语言的转换（尤其在选择填空题中）；注意总结常见的一些几何体，以及它们非常规放置的情况；理科要注意与空间向量的结合。【考点pk】名师考点透析中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。考点二、空间几何体的表面积和体积例2：已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积v； (2)求该几何体的侧面积s图1【名师点睛】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。考点三、点、线、面的位置关系例3：如图1，在空间四边形abcd中，点e、h分别是边ab、ad的中点，f、g分别是边bc、cd上的点，且，则（）（a）ef与gh互相平行（b）ef与gh异面（c）ef与gh的交点m可能在直线ac上，也可能不在直线ac上（d）ef与gh的交点m一定在直线ac上【名师点睛】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。考点四、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质例4：在棱长为的正方体中,是线段的中点,.() 求证:；() 求证:平面；() 求三棱锥的体积.【名师点睛】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。abcdef(第5题图)【名师点睛】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。考点六、空间中的夹角与距离例6：如图，四面体abcd中，o、e分别bd、bc的中点,ca=cb=cd=bd=2（）求证：ao平面bcd；（）求异面直线ab与cd所成角的余弦值；（）求点e到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。【名师点睛】空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90、0，90和0，180。（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（）定义法；（）利用三垂线定理或逆定理；（）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos q ，其中s 为斜面面积，s为射影面积，q 为斜面与射影面所成的二面角空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。【三年高考】 10、11、12 高考试题及其解析2012年高考试题及解析一、选择题 （2012年高考（新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为（）abcd （2012年高考（新课标理）如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为（）abcd （2012年高考（浙江理）已知矩形abcd,ab=1,bc=.将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻着,在翻着过程中,（）a存在某个位置,使得直线ac与直线bd垂直 b存在某个位置,使得直线ab与直线cd垂直 c存在某个位置,使得直线ad与直线bc垂直 d对任意位置,三直线“ac与bd”,“ab与cd”,“ad与bc”均不垂直 （2012年高考（重庆理）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是（）abcd （2012年高考（四川理）如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为（）abcd （2012年高考（陕西理）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,则直线与直线夹角的余弦值为（）abcd （2012年高考（江西理）如图,已知正四棱锥s-abcd所有棱长都为1,点e是侧棱sc上一动点,过点e垂直于sc的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记se=x(0x1),截面下面部分的体积为v(x),则函数y=v(x)的图像大致为（2012年高考（湖南理）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是a图1bcd侧视图正视图24242俯视图（2012年高考（湖北理）我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（）abcd(一)必考题(1114题)（2012年高考（湖北理）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）ab cd（2012年高考（广东理）(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）abcd（2012年高考（福建理）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（）a球b三棱柱c正方形d圆柱（2012年高考（大纲理）已知正四棱柱中,为的中点,则直线 与平面的距离为（）a2bcd1（2012年高考（北京理）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）abcd （2012年高考（安徽理）设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且,则“”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d即不充分不必要条件二、填空题（2012年高考（天津理）个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为_.（2012年高考（浙江理）已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于_cm3.（2012年高考（四川理）如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成角的大小是_.abcd（2012年高考（上海理）如图,ad与bc是四面体abcd中互相垂直的棱,bc=2。若ad=2c,且ab+bd=ac+cd=2a,其中a、c为常数,则四面体abcd的体积的最大值是 _ .（2012年高考（上海理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为_ .（2012年高考（山东理）如图,正方体的棱长为1,分别为线段上的点,则三棱锥的体积为_.（2012年高考（辽宁理）已知正三棱锥abc,点p,a,b,c都在半径为的求面上,若pa,pb,pc两两互相垂直,则球心到截面abc的距离为_.（2012年高考（辽宁理）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_.dabc（2012年高考（江苏）如图,在长方体中,则四棱锥的体积为_cm3.（2012年高考（大纲理）三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,则异面直线与所成角的余弦值为_.（2012年高考（安徽理）某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是.三、解答题（2012年高考（天津理）如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,.()证明丄;()求二面角的正弦值;()设e为棱上的点,满足异面直线be与cd所成的角为,求ae的长.（2012年高考（新课标理）如图,直三棱柱中,是棱的中点,(1)证明:(2)求二面角的大小.（2012年高考（浙江理）如图,在四棱锥pabcd中,底面是边长为的菱形,且bad=120,且pa平面abcd,pa=,m,n分别为pb,pd的中点.()证明:mn平面abcd;() 过点a作aqpc,垂足为点q,求二面角amnq的平面角的余弦值.（2012年高考（重庆理）(本小题满分12分()小问4分()小问8分)如图,在直三棱柱 中,ab=4,ac=bc=3,d为ab的中点()求点c到平面 的距离;()若,求二面角 的平面角的余弦值.（2012年高考（四川理）如图,在三棱锥中,平面平面.()求直线与平面所成角的大小;()求二面角的大小.abcdpe（2012年高考（上海理）如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,pa底面abcd,e是pc的中点.已知ab=2,ad=2,pa=2.求:(1)三角形pcd的面积;(2)异面直线bc与ae所成的角的大小.（2012年高考（上海春）如图,正四棱柱的底面边长为,高为,为线段的中点.求:(1)三棱锥的体积;(2)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示)（2012年高考（陕西理）(1)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”为真.(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)（2012年高考（辽宁理）如图,直三棱柱,点m,n分别为和的中点.()证明:平面;()若二面角为直二面角,求的值.（2012年高考（江西理）在三棱柱中,已知,在在底面的投影是线段的中点。(1)证明在侧棱上存在一点,使得平面,并求出的长;(2)求平面与平面夹角的余弦值。abcdpe图5（2012年高考（湖南理） 如图5,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,ab=4,bc=3,ad=5,dab=abc=90,e是cd的中点.()证明:cd平面pae;()若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等,求四棱锥p-abcd的体积.（2012年高考（湖北理）如图1,过动点a作,垂足d在线段bc上且异于点b,连接ab,沿将折起,使(如图2所示). ()当的长为多少时,三棱锥的体积最大;()当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.dabcacdb图2图1me.（2012年高考（广东理）如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.()证明:平面;()若,求二面角的正切值.()若二面角的大小为,求的长.（2012年高考（大纲理）(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,是上的一点,.(1)证明:平面;(2)设二面角为,求与平面所成角的大小.（2012年高考（北京理）如图1,在rtabc中,c=90,bc=3,ac=6,d,e分别是ac,ab上的点,且debc,de=2,将ade沿de折起到a1de的位置,使a1ccd,如图2. (1)求证:a1c平面bcde;(2)若m是a1d的中点,求cm与平面a1be所成角的大小;(3)线段bc上是否存在点p,使平面a1dp与平面a1be垂直?说明理由. （2012年高考（安徽理）平面图形如图4所示,其中是矩形,.现将该平面图形分别沿和 ()证明:; ()求的长;()求二面角的余弦值.11年高考试题及解析1、（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（a） （b） （c） （d）2、（四川6理3）. ，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（a）/ （b）,/（c）/ ，共面（d），共点，共面4、（浙江理4）下列命题中错误的是（a）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（b）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（c）如果平面，平面，那么（d）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面6、（全国理16）.己知点e、f分别在正方体abcd-a1b2c3d4的棱bb1 、cc1上，且b1e=2eb, cf=2fc1，则面aef与面abc所成的二面角的正切值等于 .7、（全国理6）已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于（a） （b） （c） （d）12、（山东理11）.下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是 (a)3 (b)2 (c)1 (d)013、（浙江理3）.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是15、（课标卷理6）.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ）第8题图16、（湖南理3）.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为a 18、（辽宁理15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是_.20、（ 北京理7）.某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是a. b. c. d. 22、（天津理10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为_ 25、（四川理15）.如图，半径为4的球o中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .26、(全国文12、理11)已知平面截一球面得圆m，过圆心m且与成，二面角的平面截该球面得圆n，若该球的半径为4，圆m的面积为4，则圆n的面积为 (a) (b) (c) (d) 28、（课标卷理15）. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。30、（辽宁理12）已知球的直径sc=4，a,b是该球球面上的两点，ab=，则棱锥s-abc的体积为（ ）（a） （b） （c） （d）131、（重庆理9）高为的四棱锥s-abcd的底面是边长为1的正方形，点s、a、b、c、d均在半径为1的同一球面上，则底面abcd的中心与顶点s之间的距离为（a） （b） （c）1 （d）33、（湖北理14）. 如图，直角坐标系oy所在的平面为，直角坐标系oy (其中轴与y轴重合)所在平面为，.()已知平面内有一点，则点在平面内的射影p的坐标为 ；()已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影c的方程是 .34、（辽宁理8）如图，四棱锥s-abcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是（ ）(a) acsb (b) ab平面scd (c) sa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角 (d)ab与sc所成的角等于dc与sa所成的角解答题1、(陕西理16)（本小题满分12分）如图：在，沿把折起，使（）证明：平面；（）设。2、（江苏16）、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，ab=ad，bad=60，e、f分别是ap、ad的中点求证：（1）直线ef平面pcd；（2）平面bef平面pad3、（四川理19）(本小题共l2分) 如图，在直三棱柱ab-a1b1c1中 bac=90，ab=ac=aa1 =1d是棱cc1上的一p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1平面bda(i)求证：cd=c1d：(ii)求二面角a-a1d-b的平面角的余弦值； ()求点c到平面b1dp的距离5、（山东理19）.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，acb=，平面，ef，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小6、（全国理19）(本小题满分12分)如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：;（)求与平面所成角的大小.7、（浙江理20）（本题满分15分）如图，在三棱锥中，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc=8，po=4，ao=3，od=2（）证明：apbc；（）在线段ap上是否存在点m，使得二面角a-mc-为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由。8、（课标卷理18）. (本小题满分12分)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.()证明：pabd；()若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。10、（湖北理18）. （本小题满分12分）如图，已知，三棱柱abc-a1b1c1的各棱长都是4，e是bc的中点，动点f在侧棱cc1上，且不与点c重合.() 当cf=1时，求证：efa1e()设二面角c-af-e的大小为，求的最小值.11、（福建理20）.（本小题满分14分）如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，四边形abcd中，abad，ab+ad=4，cd=，.（i）求证：平面pab平面pad；（ii）设ab=ap.（i）若直线pb与平面pcd所成的角为，求线段ab的长； （ii）在线段ad上是否存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等？说明理由。12、（辽宁理18）（本小题满分12分）如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qa=ab=pd.（i）证明：平面pqc平面dcq（ii）求二面角q-bp-c的余弦值.13、（北京理16）.（共14分）如图，在四棱锥中，平面abcd，底面abcd是菱形，.（1）求证：平面pac；（2）若，求pb与ac所成角的余弦值；（3）当平面pbc与平面pdc垂直时，求pa的长.14、（天津理17）.（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长15、（安徽理17）（本小题满分13分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,，都是正三角形。（）证明直线；（ii）求棱锥f-obed的体积。16、（江西理21（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积一、选择题:1（2010年山东理3）在空间，下列命题正确的是（a）平行直线的平行投影重合 （b）平行于同一直线的两个平面平行（c）垂直于同一平面的两个平面平行（d）垂直于同一平面的两条直线平行2（ 2010年全国i理7）正方体abcd-中，b与平面ac所成角的余弦值为a b c d3（ 2010年全国i理12）已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为(a) (b) (c) (d) 4（2010年福建理6）如图,若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体,其中e为线段上异于的点，f为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是（ ）a. b.四边形是矩形 c. 是棱柱 d. 是棱台5（2010年安徽理8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为a、280 b、292 c、360 d、3726（2010年广东理6）如图1， abc为三角形，/, 平面abc且3= =ab,则多面体abc -的正视图（也称主视图）是7（2010年四川理11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点m，n，那么m、n两点间的球面距离是（a） （b） （c） （d）8. (2010年宁夏10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(a) (b) (c) (d) 9（2010年陕西理科7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 10（2010年北京理3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 11（2010年江西理10）过正方体的顶点a作直线，使与棱ab，ad，所成的角都相等，这样的直线可以作a1条 b2条 c3条 d4条12（2010年浙江6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（a）若，则 （b）若，则（c）若，则 （d）若，则13(2010年全国2理9）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（a）1 （b） （c）2 （d）314(2010年全国2理11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（a）有且只有1个 （b）有且只有2个（c）有且只有3个 （d）有无数个15. (2010年重庆理10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（a） 直线（b） 椭圆（c） 抛物线（d） 双曲线16（2010年辽宁理12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(a)（0,） (b)（1,） (c) (,） (d) （0,）二、填空题：1（2010年福建理12）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .4（2010年四川理15）如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .5. (2010年宁夏14）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）6（2010年江西理16）如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且，分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 7（2010年浙江12）若某几何体的正视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_cm3.9(2010年全国2理16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 10（2010年上海理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片abcd中，ac与bd相交于o,剪去,将剩余部分沿oc、od折叠，使oa、ob重合，则以a、（b）、c、d、o为顶点的四面体的体积为 。三、解答题1（2010年山东理19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥pabcde中，pa平面abcde，abcd，aced，aebc， abc=45，ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形（）求证：平面pcd平面pac；（）求直线pb与平面pcd所成角的大小；（）求四棱锥pacde的体积2（2010年福建理18）（本小题满分13分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且ab是圆o直径。（）证明：平面平面；（）设ab=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。（i）当点c在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。3. (2010年天津理19) (本小题满分12分)如图，在长方体中，分别是棱，上的点，。()求异面直线与所成角的余弦值：()证明平面：() 求二面角的正弦值。6. （2010年安徽理18）（本小题满分12分） 如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 ()求证：平面；()求证：平面；()求二面角的大小。7（2010年广东理18）（本小题满分14分）如图5，是半径为a的半圆，ac为直径，点e为的中点，点b和点c为线段ad的三等分点平面aec外一点f满足，fe=a 8. （ 2010年全国i理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥s-abcd中，sd底面abcd，ab/dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc .（）证明：se=2eb；（）求二面角a-de-c的大小 .【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面9（2010年四川理18）（本小题满分12分） 已知正方体abcdabcd的棱长为1，点m是棱aa的中点，点o是对角线bd的中点.（）求证：om为异面直线aa和bd的公垂线；（）求二面角mbcb的大小；（）求三棱锥mobc的体积. 10（2010年高考江苏卷试题16）（本小题满分14分）如图，在四棱锥p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900。(1) 求证：pcbc；求点a到平面pbc的距离。11. (2010年全国高考宁夏卷18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥p-abcd的底面为等腰梯形，abcd,acbd，垂足为h，ph是四棱锥的高 ，e为ad中点（1） 证明：pebc（2） 若apb=adb=60，求直线pa与平面peh所成角的正弦值12（2010年陕西理科18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd,ap=ab=2,bc=22，e，f分别是ad，pc的中点（）证明：pc平面bef；（）求平面bef与平面bap夹角的大小。13(2010年北京理16)（本小题共14分） 如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ceac,efac,ab=，ce=ef=1.（）求证：af平面bde；（）求证：cf平面bde；（）求二面角a-be-d的大小。 14（2010年江西理20）（本小题满分12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.15（2010年辽宁理19）（本小题满分12分）已知三棱锥pabc中，paabc，abac，pa=ac=ab，n为ab上一点，ab=4an,m,s分别为pb,bc的中点.（）证明：cmsn；（）求sn与平面cmn所成角的大小.16（2010年浙江理科20）（本题满分15分）如图，在矩形abcd中，点e,f分别在线段ab,ad上，ae =eb=af= fd=4。沿直线ef将aef翻着成aef，使平面aef平面bef。（）求二面角a-fd-c的余弦值；（）点m,n分别在线段fd,bc上，若沿直线mn将四边形mncd向上翻着，使c与a重合，求线段fm的长。17(2010年全国2理19）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小adpebc题(19)图18. (2010年重庆理19) (本小题满分12分，()小问5分，()小问7分)如题(19)图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa底面abcd，paab，点e是棱pb的中点() 求直线ad与平面pbc的距离；() 若ad，求二面角aecd的平面角的余弦值5.【两年模拟】 2012年名校模拟题及其答案【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】若是空间四条直线如果“”，则(a) 且 (b) 中任意两条可能都不平行(c) 或者 (d) 中至少有一对直线互相平行【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为，则该几何体的俯视图可以是 （ ） 【广东省执信中学2012第一学期期末】设、表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是（ ）a若，则b若，则c若，则d若，则【安徽省六校教育研究会2012届高三联考】一个空间几何体的三视图如图（1）所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）（a），（b），（c），（d），【广东省执信中学2012第一学期期末】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）a24 b30 c36 d42【甘肃省天水一中2012第一学期高三第四阶段考】正四面体p-abc中，m为棱ab的中点，则pb与cm所成角的余弦值为（ ）a. b. c. d. 【福建省南安一中2012届高三上期末】已知，表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则 其中正确的命题为（ ）a b c. d【北京市东城区2012高三第一学期期末】一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中abc是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为（a） （b） （c） （d）【北京市东城区2012高三第一学期期末】下列命题中正确的是 （a）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行（b）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（c）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（d）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面【北京市西城区2012第一学期期末】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （a）（b）（c）（d）【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】设是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( )a过且与平行的平面有且只有一个 b过且与垂直的平面有且只有一个 c与所成的角的范围是 d过空间一点与、均平行的的平面有且只有一个【广东省执信中学2012第一学期期末】如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中abc是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，则该三视图中侧视图的面积为 【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为 . 【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为，侧棱与底面所成的角为，则 .解答题1、如图，在六面体中，.求证：（1）；（2）.【试题出处】江苏省苏中三市（南通泰州扬州）2012届高三3月第一次调研测试（数学）2、在棱长为的正方体abcd中，e为棱ab的中点，点p在平面，dp平面pce试求：（）线段dp的长；（）直线de与平面pce所成角的正弦值；【试题出处】江苏省苏北四市（徐、淮、连、宿）高三3月联考试题（数学）第19题3、如图，在直三棱柱中，且，是，的交点，是的中点.（）求证：平面；（）求平面与平面夹角的大小【试题出处】2012年咸阳市高三第二次模拟考试数学（理）试题4、如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径bc=4，ab=ac，bac=90，d为半圆弧的中点，若异面直线bd和ab1所成角的大小为arccos，求：acbb1a1c1d(1)该几何体的体积；(2)直线ad与平面acc1a1所成角的大小.【试题出处】2012年上海五校联合教学调研数学试卷(理科)5、已知三棱锥的底面是直角三角形，且，平面，是线段的中点，如图所示.（）证明：平面；（）求平面与平面的夹角的余弦值.【试题出处】陕西省西安市八校2012届高三年级数学（理科）试题6、如图6，四棱柱的底面是平行四边形，且，为的中点，平面证明：平面平面；若，试求异面直线与所成角的余弦值【试题出处】广东省江门市2012年普通高中高三第一次模拟测试数学（理科）第16题图7、如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点（）求证：平面平面；（）若平面，试求的值；（）当是中点时，求二面角的余弦值【试题出处】北京市密云县2012年高中模拟试卷及答案（理数）abcd 8、三棱柱的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的正切值.10、如图,在直角梯形abcp中，ap/bc，apab，ab=bc=ap=2，d是ap的中点，e，f，g分别为pc、pd、cb的中点，将pcd沿cd折起，使得pd平面abcd. (1) 求证：平面pcd平面pad；(2) 求二面角g-ef-d的大小；(3) 求三棱椎d-pab的体积.【试题出处】山东省济南市2012届高三3月（二模）月考数学（理）试题ohedabcf11、如图，在多面体中，四边形为正方形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小【试题出处】北京市门头沟区2012届高三年级3月抽样测试数学（理工类）n12、如图所示，在长方体中，为棱上一点.若，求异面直线和所成角的正切值；是否存在这样的点使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【试题出处】2012届上海市七校 数学试题（理科）13、如图，矩形abcd所在的平面与平面aeb垂直，且f、g、h分别为be、ae、bc的中点。（1）求证：de/平面fgh；（2）若点p在线段gf上，且二面角dbpa的大小为，试确定