第十四讲 狭义相对论.doc

第十四讲 狭义相对论 一、 竞赛内容提要 1、狭义相对论的两个基本假设 （1）相对性原理 所有惯性参照系都是等价的，物理规律对于所有惯性参照系都可以表示为相同形式。无论通过什麽物理现象，都不能觉察出参照系的任何“绝对运动”。（2）光速不变原理 真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向都为c，并与光源运动无关。若光速在所有惯性系中数值相同，那麽电磁学与光学定律在所有惯性系也都相同。（xyz）yzyzxxP （x,y,z）SSOOut2、洛仑兹坐标变换如图所示为两个对应轴互相平行的坐标系S和S，S相对S的速度为u，方向沿x轴正方向，从O与O重合时开始计时，设（x,y,z,t）表示在t时刻发生在S系中（x,y,z）处的事件p，而同一事件在S系中是在t时刻出现在（x,y,z）处，则表示同一事件的两坐标系中的时、空坐标之间的关系为：x=，y=y，z=z，t=。或x=，y=y，z=z，t=。（不证）3、速度变换公式若在S系中有质点沿X、Y、Z正方向分别以速度vx、vy、vz匀速运动，则该质点对于S系的速度vx=，vy=，vz=。其逆变换为：vx=，vy=，vz=。其中，=u/c。当速度u、v远小于c时，相对论的变换公式即转化为伽利略速度变换式。vx=vxu。利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。设S系中观察者测得沿x方向传播的光信号的光速为c，在S系中的观察者测得该光信号的速度为v=（c+u）/（1+uc/c2）=c。 例1 列火车以速度v相对地面运动，如果地面上的人测得，某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁，那麽按照火车上人的测量，闪光先到达前壁还是后壁？火车上的人怎样解释自己的测量结果？例2、A、B、C是三个完全相同的时钟，A放在地面上，B、C分别放在两个火箭上，以速度vB，vC朝同一方向飞行，vBvC，地面上的观察者认为哪个时钟走得最慢？哪个走得最快？例3、以8km/s的速度运行的人造卫星上一只完好的手表走过了1min，地面上的人认为它走过这1min“实际”上花了多少时间？例4、一枚静止时长30m的火箭以3km/s的速度从观察者的身边掠过，观察者测得火箭的长度应为多少？火箭上的人测得火箭的长度应为多少？如果火箭的速度为光速的一半呢？4、同时的相对性相对论认为，在S系中不同地点同时发生的两个事件，在S系中的观察者却测得这两个事件发生在不同的时刻，设在S系中两事件的时空坐标为（x1、y1、z1、t1）和（x2、y2、z2、t2），则利用洛仑兹变换式，S系的观察者测得这两个事件的发生时刻为t1=，t2=。该观察者认为，两事件相隔时间为。5、时间膨胀从相对于发生事件的点做相对运动的坐标系中所测得的时间要比从相对静止的坐标系中所测得的时间来得长。若在S系中某处发生的事件经历的时间为t=，显见，这种时间膨胀效应（钟慢效应），只有在运动速度接近光速时才较为明显。6、长度的收缩从相对于物体有相对速度u的坐标系中所测得的沿速度方向的物体的长度L，总是比于物体相对静止的坐标系中所测得的长度L短，L=L，至于垂直于相对速度u方向的长度则不变，仅当u大到可与光速c相比时，这种“尺缩效应”才较显著，在低速情况下，这种收缩微乎其微。7、相对论质量 m=。式中，m0物体相对于参照系静止时的质量，m是物体相对于参照系以速率v运动时的质量，又称相对论质量。式中的v并非两个参照系间的相对速率，而是某一粒子相对于某一参照系的速率。若v/c1如火箭以v=11.2km/s的速率运动时，m=1.000000000m0m0，但当粒子以接近光速的速率v=0.98c运动时，m=5.03m0.8、相对论动量 相对论动量表达式为：p=mv=9、相对论能量 质能关系 设mc2和m0c2分别表示粒子以速率v 运动时的总能量E和粒子的静止能量E0，即：E=mc2；E0=m0c2。粒子的动能EK=EE0。核反应中释放的能量E=m0c2。10、相对论的动量和能量关系经典力学中动量和能量关系为EK=p2/2m，相对论的质量和能量关系为E=mc2=（E/c）2p2=p2=m02c2，E2=c2p2+m02c4。上式即为相对论动量能量关系式。对于光子，m0=0，p=E/c=h/c。例5、一飞船以u=9103m/s的速率相对与地面匀速飞行，飞船上的钟走了5s，地面上的钟经过了多少时间？ 例6、带正电的p介子是一种不稳定的粒子，当它静止时平均寿命为t0=2.6108s，之后即衰变成一个m介子和一个中微子，有一束p节子经高能加速器加速后，在实验室测得它的速率为u=0.75c，并测得它在衰变前通过的平均距离为8.50.6m，这些结果与理论是否符合？例7、一宇宙飞船以速度0.8c相对欲地球匀速前进，在相对速度方向宇航员测得飞船的长度为20m，而地面上的观察者观察到的长度是多少？反之，地球上测得地面上一个20m长的物体，在宇宙飞船上看来其长度是多少？例8、一辆车轮半径为R的“汽车”以接近光速的恒定速度v相对于地面做匀速运动，一个相对于地面静止的观察者所看到的汽车车轮形状是怎样的？并加以证明。例9、一艘宇宙飞船以0.8c的速度于中午飞经地球，此时飞船上和地球上的观察者都把自己的时钟拨到12点。（1）按飞船上的时钟于午后12点30分飞经一星际站，该星际站相对于地球固定，且该星际站上指示的时间是地球时间，求飞船到达该站时星际站上的时钟指示的时间。 （2）按地球上的坐标测量，星际站离地球多远？（3）若飞船于中午12点30分向地球发送无线电信号，问地球上的观察者何时（按地球时间）接收到该信号？（4）若地球上的观察者在接收到信号后立即发出回答信号，问飞船何时（按飞船时间）接收到回答信号？例10、设有一介子，在静止下来后，衰变成子和中微子，三者的静止质量分别为：m，m和零，求子和中微子的动能。例11、在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子，在y轴方向探测到一个散射光子。已知电子的静止质量为m0，光速为c，入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1/10。 （1）试求电子运动的速度大小v；电子运动的方向与x轴的夹角为，电子运动到离原点距离为L0（作为已知量）的A点所经历的时间t。 （2）在电子以（1）中的速度v开始运动时，一观察者S相对于坐标系S也以速度v沿S中电子运动的方向运动（即S相对于电子静止），试求S测出的OA的长度。（第十九届复试）例12、一根长为L0横截面积为S的均质圆柱体，在地面上静止时测得其密度为0，当圆柱体沿轴线方向以速度v=0.9c相对于地面做匀速运动时，相对地面的观测者在计算其密度等于多少？（c为光速 十九届决赛）LSvOO1rRO2xA例13、（第22届复赛试题）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源L处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1。光源一直在发光，并通过圆孔射出。车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示。某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点。在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（Rr）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直。板的圆心O2与S、O1都等高。起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从档板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上，由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况。不考虑光的衍射，试求：1、车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻；2、地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻。例14、（第21届复赛试题）子在相对自身静止的惯性参照系中的平均寿命0=2.0106s。宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批子，以v=0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变。根据放射性衰变定律，相对给定的惯性参照系若t=0时刻的粒子数为N（0），t时刻剩余的粒子数为N（t），则有N（t）=N（0）et/，式中为相对该惯性系粒子的平均寿命。若能到达地面的子数为原来的5，试估算子产生处相对于地面的高度h。不考虑重力和地磁场对子运动的影响。例15、（第20届决赛试题）设地球是一个半径为6370km的球体，在赤道上空离地面1千多公里处和赤道共面的圆与赤道形成的环形区域内，地磁场可看作是均匀的，其磁感强度为B=3.20106T。某种带电宇宙射线粒子，其静止质量为m0=6.681027kg，其电荷量为： q=3.201019C，在地球赤道上空的均匀地磁场中围绕地心做半径为R=7370km的圆周运动。已知在相对论中只要作用于粒子的力F的方向始终与粒子运动的速度v的方向垂直，则运动粒子的质量m和加速度a与力F的关系仍为F=ma，但式中的质量m为粒子的相对论质量。问；1、 该粒子的动