高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法课件 新人教B版选修45.ppt

1 1 2一元一次不等式和一元二次不等式的解法 1 熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法 2 能借助于一元一次 二次 不等式 组 求解有关问题 1 一元一 二 次不等式的概念 1 含有一个未知数并且未知数最高次数是一次的不等式 叫做一元一次不等式 2 含有一个未知数并且未知数最高次数是二次的不等式 叫做一元二次不等式 做一做1 m2 1 0一定可以看作 a 关于x的一次不等式b 关于m的一元二次不等式c 一次或二次不等式d 不是不等式解析 若m为参数 x为变量 当m 0时不是一元一次不等式 若x为参数 m为变量 则必为一元二次不等式 答案 b 2 一元一次不等式的解法关于x的不等式ax b 3 当a 0时 若b 0 则该不等式的解集为r 若b 0 则该不等式的解集为 做一做2 若关于x的不等式mx 3 0的解集为 2 则m 3 一元二次不等式的解法已知一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c0 x1 x2为一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根 且x1 x2 b2 4ac为其判别式 具体如下表 做一做3 1 不等式x2 x 20 方程x2 x 2 0的两根为 1和2 所以不等式x2 x 20的解集为 解析 由 x2 2x 3 0 得x2 2x 3 0 因为 0 所以方程x2 2x 3 0无实根 所以不等式x2 2x 3 0的解集是空集 答案 如何理解三个 二次 之间的关系 剖析 二次函数的图象 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集的关系如下表 2 一元二次方程的根 就是相对应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标 也就是相对应的二次不等式解集的端点 题型一 题型二 题型三 题型四 解一元一次不等式 a b 0 通过这两个结论可以解出a b间的关系 进而可求 a 3b x b 2a 0的解集 题型一 题型二 题型三 题型四 解得a 2b 0 b 0 不等式 a 3b x b 2a 0等价于 bx 3b 0 即 bx 3b x 3 故所求不等式的解集为 x x 3 题型一 题型二 题型四 题型三 解一元二次不等式 例2 解下列不等式 1 2 3x 2x2 0 2 x 3 x x x 2 1 3 x2 2x 3 0 分析 解一元二次不等式的一般步骤是 化为标准形式 确定判别式 b2 4ac的符号 若 0 则求出该不等式对应的二次方程的根 若 0 则对应的二次方程无根 若 0 则对应的二次方程有两个相等的实根 联系对应的二次函数的图象得出不等式的解集 特别地 若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式 则可立即写出不等式的解集 题型一 题型二 题型四 题型三 解 1 原不等式变形为2x2 3x 2 0 2x 1 x 2 0 3 2 2 4 3 8 0 原不等式的解集为r 反思熟练掌握一元二次方程 二次函数 一元二次不等式三者之间的关系 会熟练地应用分解因式 配方的技能 并有效地应用数形结合的思想 就能得心应手解一元二次不等式 题型一 题型二 题型三 题型四 解含参数的不等式 例3 解关于x的不等式 x2 a a2 x a3 0 分析 原不等式可变形为 x a x a2 0 所以需比较 x a x a2 0的两根a与a2的大小 从而确定对a进行分类的标准 解 原不等式可变形为 x a x a2 0 程 x a x a2 0的两个根为x1 a x2 a2 而a a2 0 a1 0 a2 1 于是对a可以分为 a1和a 0 a 1 五种情况进行分类讨论 当aa2 当0a 题型一 题型二 题型三 题型四 当a 1时 有aa2 当a 0时 有x 0 原不等式的解集为 x x r 且x 0 当a 1时 有x 1 原不等式的解集为 x x r 且x 1 反思若借助于因式分解法可求得相应的二次方程的两根 我们可通过讨论两根的大小关系 从而得到不等式的解集 题型一 题型二 题型三 题型四 例4 解关于x的不等式 3x2 mx m 0 分析 通过讨论方程3x2 mx m 0的根的情况得到不等式的解集 解 m2 12m m m 12 3 当 0 即 12 m 0时 方程3x2 mx m 0没有实根 此时原不等式的解集为r 反思当与二次不等式相对应的二次方程不能应用因式分解的方法求出根时 我们可通过讨论判别式 来解不等式 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 因忽视对二次项系数的讨论而致错 例5 若不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0对一切x r恒成立 求a的取值范围 错因分析 不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0在a 2 0时不是二次不等式 故求解错误 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 当a 2 0 即a 2时 不等式为 4 0 对一切x r恒成立 当a 2 0 即a 2时 不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0对一切x r恒成立 综上所述 a的取值范围应为 2 2 12345 1不等式 1 2x 3x 1 0的解集是 答案 a 12345 a 14b 10c 10d 14 答案 a 12345