湖北省宜昌一中高考数学二模试卷 文（含解析）.doc

湖北省宜昌一中2015届高考数学二模 试卷（文科）一、选择题：每小题5分，10小题共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）i为虚数单位，复数的虚部是（）abcd2（5分）甲：函数，f（x）是r上的单调递增函数；乙：x1x2，f（x1）f（x2），则甲是乙的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）要得到一个偶函数，只需将f（x）=sin2x的图象（）a向右平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向左平移个单位4（5分）某电影院统计电影放映场次的情况如图所示下列函数模型中，最不合适近似描述电影放映场次逐年变化规律的是（）ay=ax2+bx+cby=aex+bcy=ax3+bdy=alnx+b5（5分）如右图，在abc中，=，p是bn上的一点，若=m+，则实数m的值为（）abc1d36（5分）执行如图所示的程序框图，输出结果s=（）a2015b2016c2015d20167（5分）已知点p（x，y）的坐标满足条件，那么点p到直线3x4y13=0的最小值为（）ab2cd18（5分）设minp，q表示p，q两者中的较小者，若函数f（x）=min3x，log2x，则满足f（x）的x的集合为（）a（0，2，+）b，c（0，+）d（0，）（，+）9（5分）已知o、a、b三地在同一水平面内，a地在o地正东方向2km处，b地在o地正北方向2km处，某测绘队员在a、b之间的直线公路上任选一点c作为测绘点，用测绘仪进行测绘，o地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）a1bc1d10（5分）已知f为双曲线=1（a0，b0）的右焦点，a为双曲线虚轴的一个顶点，过点f、a的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为b，若=（1），则此双曲线的离心率是（）abc2d二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上答错位置，书写不清，模棱两可不得分11（5分）已知全集u=0，2，集合m=x|x2x0，则um=12（5分）为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的数量约为尾13（5分）已知向量=（3x，y），=（2，1），若，则3x+9y+2的最小值为14（5分）圆x2+y2=4被直线l：kxy2k=0截得的劣弧所对的圆心角的大小为，则直线l倾斜角的大小为15（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积为（平方单位）16（5分）函数f（x）=|xa|x2a|（a0），若对xr，都有f（2x）1f（x），则实数a的最大值为17（5分）分形几何学是数学家伯努瓦曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n行白圈的个数为an，则：（）a4=；（）an=三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内18（12分）已知f（x）=sin（2x+）+sin2x（）求函数f（x）的对称中心；（）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，若a=2，f（）=，cos（c）=，求b的大小19（12分）等差数列an的前3项和s3=9，且a1、a2、a5成等比数列（）求数列an的通项公式；（）已知数列an单调递增，tn为数列的前n项和，若tnan+1对一切nn*恒成立，求实数的最小值20（13分）如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，侧棱pa底面abcd，pa=ad=1，e、f分别为pd、ac上的动点，且=，（01）（）若=，求证：ef平面pab；（）求三棱锥efcd体积最大值21（14分）已知函数f（x）=ex，xr（） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=x+1有唯一公共点；（）（i）求g（x）=x+2+（x2）f（x）在0，+）的最小值；（ii）若实数a，b不相等，试比较与的大小，并说明理由22（14分）在直角坐标系中，已知点f（0，1），直线l：y=1，点h是直线l上任意一点，过点h垂直于l的直线交线段fh的中垂线于点m记点m的轨迹为曲线（）求曲线的方程；（）若a，b为曲线上异于原点的任意两点，过a，b分别作曲线t的两条切线l1、l2，l1、l2相交于点p，且与x轴分别交于e、f，设pef与oab的面积分别为s1、s2试问：是否存在实数使得s1=s2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由湖北省宜昌一中2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，10小题共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）i为虚数单位，复数的虚部是（）abcd考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出解答：解：复数=的虚部是故选a点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数是解题的关键2（5分）甲：函数，f（x）是r上的单调递增函数；乙：x1x2，f（x1）f（x2），则甲是乙的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是 r上的单调递增函数，则x1x2，f（x1）f（x2），成立，命题乙成立若：x1x2，f（x1）f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，命题甲不成立甲是乙成立的充分不必要条件故选：a点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键3（5分）要得到一个偶函数，只需将f（x）=sin2x的图象（）a向右平移个单位b向右平移个单位c向左平移个单位d向左平移个单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项解答：解：函数y=cos2x=sin（2x）=sin2（x），所以只需把函数y=sin2x的图象，向右平移个长度单位，即可得到函数y=sin（2x）=cos2x的图象故选：b点评：本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意诱导公式的合理运用，属于中档题4（5分）某电影院统计电影放映场次的情况如图所示下列函数模型中，最不合适近似描述电影放映场次逐年变化规律的是（）ay=ax2+bx+cby=aex+bcy=ax3+bdy=alnx+b考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：根据图象得出单调性的规律，单调递增，速度越来越快，利用指数型函数增大很快，对数型函数增大速度越来越慢，可以判断解答：解：根据图象得出单调性的规律，单调递增，速度越来越快，y=ax2+bx+c，单调递增，速度越来越快，y=aex+b，指数型函数增大很快，y=eax+b，指数型函数增大很快，y=alnx+b，对数型函数增大速度越来越慢，所以a，b，c都有可能，d不可能故选：d点评：本题考查了函数模型的增长速度问题，难度不大，根据图象可以解决5（5分）如右图，在abc中，=，p是bn上的一点，若=m+，则实数m的值为（）abc1d3考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：设=n，利用向量的线性运算，结合=m+，可求实数m的值解答：解：由题意，设=n，则 =+=+n=+n（）=+n（）=+n（）=（1n）+，又=m+，m=1n，且=解得；n=，m=，故选：a点评：本题考查向量的线性运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6（5分）执行如图所示的程序框图，输出结果s=（）a2015b2016c2015d2016考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，直到不满足条件n2015即可得到结论解答：解：根据程序框图可知该程序的功能是计算s=1+35+7+（1）2015（220151），则根据数列求和的并项法可得s1+35+7+（1）2015（220151）=1+（5+3）+（9+7）+（4029+4027）=1+（2）=2015，故选：c点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件得到程序的计算功能是解决本题的关键，注意数列求和的基本方法，属于基本知识的考查7（5分）已知点p（x，y）的坐标满足条件，那么点p到直线3x4y13=0的最小值为（）ab2cd1考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点p到直线3x4y13=0的最小值解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当p与a（1，0）重合时，p到直线3x4y13=0的距离最小为d=故选：b点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）设minp，q表示p，q两者中的较小者，若函数f（x）=min3x，log2x，则满足f（x）的x的集合为（）a（0，2，+）b，c（0，+）d（0，）（，+）考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据“minp，q表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数的图象解得满足f（x）时x的集合解答：解：根据minp，q表示p，q两者中的较小者，得到函数f（x）=minx+3，log2x的图象，如图所示：当x=或时，y=，由图象可知：f（x）的解集为（0，+）故选c点评：本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键9（5分）已知o、a、b三地在同一水平面内，a地在o地正东方向2km处，b地在o地正北方向2km处，某测绘队员在a、b之间的直线公路上任选一点c作为测绘点，用测绘仪进行测绘，o地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）a1bc1d考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；概率与统计分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率解答：解：由题意，aob是直角三角形，oa=ob=2，所以ab=2，o地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与ab相交于c，d两点，作oeab，则oe=，所以cd=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1=1故选：a点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定cd是关键10（5分）已知f为双曲线=1（a0，b0）的右焦点，a为双曲线虚轴的一个顶点，过点f、a的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为b，若=（1），则此双曲线的离心率是（）abc2d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设f（c，0），a（0，b），渐近线方程为y=x，求出af的方程与y=x，联立可得b，利用=（1），可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率解答：解：设f（c，0），a（0，b），渐近线方程为y=x，则直线af的方程为，与y=x联立可得b（，），=（1），（，b）=（1）（c，b），c=（+1），e=，故选：a点评：本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分把答案填在答题卡上对应题号后的横线上答错位置，书写不清，模棱两可不得分11（5分）已知全集u=0，2，集合m=x|x2x0，则um=（1，2考点：补集及其运算 专题：集合分析：求出集合m，然后求解补集即可解答：解：全集u=0，2，集合m=x|x2x0=x|0x1，则um=x|1x2故答案为：（1，2点评：本题考查二次不等式的解法，补集的求法，考查计算能力12（5分）为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的数量约为25000尾考点：简单随机抽样 专题：概率与统计分析：由题意可得，有记号的鱼所占的比例大约为 ，设水库内鱼的尾数是x，建立方程即可解得 x 的值解答：解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为，设水库内鱼的尾数是x，则有 ，解得 x=25000，故答案为：25000点评：本题主要考查用样本的频率估计总体的分布，根据条件建立比例关系是解题的关键13（5分）已知向量=（3x，y），=（2，1），若，则3x+9y+2的最小值为6+2考点：基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由向量共线可得x+2y=3，化简可得3x+9y+2=3x+32y+2，由基本不等式可得解答：解：=（3x，y），=（2，1），切，（3x）12y=0，x+2y=3，3x+9y+2=3x+32y+22+2=2+2=6+2，3x+9y+2的最小值为6+2，故答案为：6+2点评：本题考查基本不等式，涉及向量的共线，属基础题14（5分）圆x2+y2=4被直线l：kxy2k=0截得的劣弧所对的圆心角的大小为，则直线l倾斜角的大小为或考点：直线的倾斜角 专题：数形结合法；直线与圆分析：根据题意画出图形，结合图形得出直线l过定点p（2，0），再求出直线l与圆的另一个交点，从而求出直线的斜率与倾斜角解答：解：直线l：kxy2k=0变形为k（x2）y=0，该直线过定点p（2，0）；又圆x2+y2=4被直线l：kxy2k=0截得的劣弧所对的圆心角为，如图所示；poa=，a（1，）；直线的斜率为kpa=，直线l倾斜角为；同理，b（1，），kpb=，直线l的倾斜角为；综上，直线l倾斜角为或故答案为：或点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题目15（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的全面积为20+2（平方单位）考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的表面积解答：解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，几何体的底面为正方形，面积为：22=4，几何体的侧面为四个直角梯形，面积为：2（1+2）2+2（2+3）2=16，几何体的截面是一个边长为的菱形，且两条对角线长度分别为：2和2，面积为：=2，故几何体的全面积为：20+2，故答案为：20+2点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键16（5分）函数f（x）=|xa|x2a|（a0），若对xr，都有f（2x）1f（x），则实数a的最大值为考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得，|2xa|+|x2a|xa|+|2x2a|+1恒成立，绝对值的“根”共有4个：，a，a，2a，分类讨论求得实数a的最大值解答：解：f（2x）1f（x），（a0）恒成立，即|2xa|2x2a|1|xa|x2a|恒成立，即|2xa|+|x2a|3|xa|+1恒成立此不等式中，绝对值的“根”共有4个：，a，a，2a，当x时，不等式即 a2x+2ax3a3x+1，即01当xa时，不等式即 2xa+2ax3a3x+1，即4x2a+1，故有4a2a+1，即a当ax2a时，不等式即 2xa+2ax3x3a+1，即 4a2x+1，故4a4a+1，可得01成立当x2a时，不等式即 2xa+x2a3x3a+1，即01综上可得，a，故a的最大值为，故答案为：点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题17（5分）分形几何学是数学家伯努瓦曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n行白圈的个数为an，则：（）a4=14；（）an=考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：（i）根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的白圈的个数；（）再根据前五行的白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可归纳第n行的白圈数解答：解：（）根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x个，黑圈y个为（x，y），则第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4），第四行记为（14，13）故a4=14（）各行白圈数乘以2，分别是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，第n行的白圈数为，故答案为：14，点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内18（12分）已知f（x）=sin（2x+）+sin2x（）求函数f（x）的对称中心；（）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，若a=2，f（）=，cos（c）=，求b的大小考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 专题：三角函数的图像与性质分析：（）将三角函数进行化简，结合对称中心的方程即可求函数f（x）的对称中心；（）利用两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可解答：解：（）f（x）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+=sin2x所以f（x）对称中心是（，0），kz（）由f（）=，得f（）=sina=，即sina=，若cosa=，而sin（a+c）=又sin（a+c）=2cosc，所以cosc=sinc，所以cosc=，所以sinb=sin（a+c）=cosc= （10分）由正弦定理得：b=4（12分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式以及正弦定理是解决本题的关键19（12分）等差数列an的前3项和s3=9，且a1、a2、a5成等比数列（）求数列an的通项公式；（）已知数列an单调递增，tn为数列的前n项和，若tnan+1对一切nn*恒成立，求实数的最小值考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（i）根据等差等比数列得出性质运用方程组得出a1=1，d=2，或an=3，d=0，求解即可得出通项公式（ii）根据数列的单调性得出an=2n1，裂项法求解tn，分离参数得出=，运用对钩函数的单调性求解解答：解：（）设an=a1+（n1）d，sn=na1+，由s3=9，a1+d=3，a1，a2，a5成等比数列，a1（a1+4d）=（a1+4d）2a1=1，d=2，或an=3，d=0故an=2n1，sn=n2，或an=3，sn=3n，（）=（）tn=（1+）tn=，tnan+1对nn*恒成立 （2n+1），=4n在1，+） 单调递增，点评：本题综合考查了数列的性质公式，裂项法求解数列的和，不等式的恒成立，分离参数求解问题，综合性较大，属于中档题20（13分）如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，侧棱pa底面abcd，pa=ad=1，e、f分别为pd、ac上的动点，且=，（01）（）若=，求证：ef平面pab；（）求三棱锥efcd体积最大值考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）分别取pa和ab中点m、n，连接mn、me、nf，四边形mefn为平行四边形由此能证明ef平面pab（）在平面pad内作ehad于h，则eh平面adc，ehpaeh=pa=，由此能求出三棱锥efcd体积最大值解答：（）证明：分别取pa和ab中点m、n，连接mn、me、nf，则nfad，mead，所以nfme，四边形mefn为平行四边形efmn，又ef平面pab，mn平面pab，ef平面pab（）解：在平面pad内作ehad于h，因为侧棱pa底面abcd，所以平面pad底面abcd，且平面pad底面abcd=ad，所以eh平面adc，所以ehpa因为（01），所以，eh=pa=1，vedfc=，（01），三棱锥efcd体积最大值点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21（14分）已知函数f（x）=ex，xr（） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=x+1有唯一公共点；（）（i）求g（x）=x+2+（x2）f（x）在0，+）的最小值；（ii）若实数a，b不相等，试比较与的大小，并说明理由考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（）曲线y=f（x）与曲线y=x+1有唯一公共点等价于方程ex=x+1有唯一实数解设h（x）=exx1，求出导数，求得单调区间，即可得证；（）（i）求得g（x）的二次导数，可得g（x）的单调性，即可得到最小值；（ii）作差=，由（i）可知，讨论ab，ab即可得到结论解答：（）证明：曲线y=f（x）与曲线y=x+1有唯一公共点等价于方程ex=x+1有唯一实数解设h（x）=exx1，则h（x）=ex1，当x0时，h（x）0，h（x）在（，0）上单调递减，当x0时，h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增即有h（x）h（0）=0，