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实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg：求的上下极限下极限上极限P24页 第5题5、设是上全体实函数所构成的集合,.证明：(1)设为的示性函数,显然,于是；(2)设,显然,于是,总之,.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数,是开集,是闭集.证明：(1),取,因,那么对于,时, , 即,从而,所以是开集.(2),互异点列,显然,因,有,即,于是,所以所以是闭集.12、设实函数,.证明：“”,因,那么对于,均有,从而,于是,所以.“”,由于,那么,这样,从而,均有,即.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：非空, .证明：显然.,取,有 可见,这样, .P45页 第5.6题5、设非空,则在上一致连续.证明：,取,只要,由于, 有,所以, 在上一致连续.6、非空 ,且,;,.证明：显然,且 ,;,.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数在上连续,证明.证明：因为,于是在上一致连续,那么, , 当,时,.取,将进行等分,其分点为,记,显然, ,于是,由的任意性,知.7、,证明必,都有.证明：反证.假设,使得,当然存在以有理数为端点的区间,由于至多有可数个,记作,有那么,这与条件不符,说明必,都有.P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设,证明.又,证明.证明：因,有.又因,有.5、设,证明.证明：因,有,所以.P103页 第2题2、证明当既是上又是上的非负可测函数时,也是上的非负可测函数.证明：由条件知 ,于是所以也是上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数,证明:,均有.证明：,显然,下面证明.,因,这样对于,均有,从而,于是,那么.由于,所以.11、设是上的可测函数,是上的连续函数,证明是上的可测函数.证明：,因,若,有由于,于是,所以. P117页 第2题2、设, 证明.证明：,当,时,于是,有,因,有所以.课件 第四章第四节 倒数第25题 3、定理：设, 则.证明： , 若,有,于是 ,从而,又因 ,有 ,所以.1、设, 证明.证明：已知,当,时,由于,有,所以.2、设,且几乎处处有限, 证明.证
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