高等代数多项式.ppt

多项式 第一章多项式 多项式 1数环和数域 1数环和数域 数是数学中的一个基本概念 人们对数的认识经历了一个长期的发展过程 由自然数到整数 有理数 然后是实数到复数 数学中的许多问题都和数的范围有关 数的范围不同 对同一问题的回答可能也不相同 例如 在实数范围内没有根 但在复数域内就有一对共轭复根 在有理数范围内不能进行因式分解 但在实域内就可以分解 多项式 1数环和数域 我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数 全体有理数以及全体复数等 它们具有一些不同的性质 但也有很多共同的性质 在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论 一个数集中 数的加 减 乘 除运算称为数的代数运算 若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中 则称该数集P对这个运算是封闭的 自然数集N对加 乘运算封闭 对减 除不封闭 整数集Z对加 减 乘运算封闭 对除不封闭 有理数集Q 实数集R 复数集C对加 减 乘 除 除数不为0 四种运算都封闭 多项式 1数环和数域 根据数集对运算的封闭情况 可以得到两类数集 数环和数域 一 数环 定义1 若P是由一些复数组成的非空集合 若数集P对加 减 乘三种运算都封闭 即对 a b P 总有a b a b a b P 则称数集P是一个数环 例如 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数集C都是数环 例1除了以上数环外 是否还有其他数环 有没有最小数环 例2一个数环是否一定包含0元 除零环外 是否还有只包含有限个元素的数环 多项式 1数环和数域 例3证明 是包含 的最小数环 二 数域 定义2 若P是由一些复数组成的集合 其中包含0和1 如果数集P对加 减 乘 除 除数不为0 四种运算都封闭 则称数集P是一个数域 定义3 若P是一个数环 如果 数集P内含有一个非零数 对 a b P 且b 0 有a b P 则称数集P是一个数域 例如 有理数集Q 实数集R 复数集C都是数域 多项式 1数环和数域 例4证明 是一个数域 例5设 证明P2 P是一个数域 而且P是包含P1和P2的最小数域 例6证明任何数域都包含有理数域Q 例7在Q与R之间是否还有别的数域 R与C之间呢 例8设F1和F2是两个数域 证明 1 F1 F2是一个数域 2 F1 F2是数域的充分必要条件是F1 F2或F2 F1 多项式 2一元多项式的定义和运算 2一元多项式的定义和运算 一 一元多项式的定义 定义1 设x是一个文字 或符号 n是一个非负整数 表达式其中a0 a1 an全属于数域P 称为系数在数域P中的一元多项式 或简称为数域P上的一元多项式 定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义 这里的x不再局限为实数 而是任意的文字或符号 多项式中的系数可以在任意数域中 常数项 或称零次项 称为首项 其中首项系数an 0 多项式 2一元多项式的定义和运算 例如 是Q上的一元多项式 是R上的一元多项式 是C上的一元多项式 而 都不是多项式 定义2 如果在多项式f x 与g x 中 除去系数为零的项外 同次项的系数相等 那么就称多项式f x 或g x 相等 记为f x g x 多项式 2一元多项式的定义和运算 定义3 设非负整数n称为多项式f x 的次数 记为 例如 几类特殊的多项式 零次多项式 次数为0的多项式 即非零常数 零多项式 系数全为0的多项式 即f x 0 对零多项式不定义次数 因此 在使用次数符号时 总假定f x 0 首一多项式 首项系数为1的多项式 多项式 2一元多项式的定义和运算 二 多项式的运算 定义4 设是数域P上次数分别为n和m的多项式 不妨假设m n 则多项式f x 和g x 的和 差为 当m n时 设bm 1 bn 0 多项式f x 和g x 的乘积为 多项式 2一元多项式的定义和运算 多项式的运算 加 减 乘 满足以下运算规律 加法交换律 f x g x g x f x 加法结合律 f x g x h x f x g x h x 乘法交换律 f x g x g x f x 乘法结合律 f x g x h x f x g x h x 乘法对加法的分配律 f x g x h x f x g x f x h x 乘法对减法的分配律 f x g x h x f x g x f x h x 多项式 2一元多项式的定义和运算 三 多项式的次数定理 定理1 设f x 0 g x 0 则 当f x g x 0时 有 多项式 2一元多项式的定义和运算 推论1 f x g x 0当且仅当f x 0或g x 0 由推论2可知 一元多项式满足乘法的消去律 推论2 若f x g x f x h x 且f x 0 则g x h x 定义5 记P x 数域P上所有一元多项式全体 由于P x 对多项式的加 减 乘法封闭 故称P x 为数域P上的一元多项式环 若记Pn x 数域P上所有次数小于n的一元多项式全体 零多项式 那么Pn x 是数域P上的一元多项式环吗 带余除法 对于P x 中的任意两个多项式f x 与g x 其中g x 0 则一定存在P x 中的多项式q x r x 使得f x q x g x r x 成立 其中或者r x 0 并且这样的q x 和r x 是唯一确定的 多项式 3整除的概念和性质 3整除的概念和性质 一 带余除法 例1用带余除法 求g x 除f x 所得的商式和余式 其中 商式 余式 多项式 3整除的概念和性质 二 多项式的整除性 定义1 设f x g x P x 若存在h x P x 使得f x g x h x 则称g x 整除f x 记为g x f x 否则称g x 不能整除f x 记为g x f x 定义2 设f x g x P x 当g x f x 时 g x 称作f x 的因式 f x 称作g x 的倍式 多项式 3整除的概念和性质 当g x 0时 带余除法给出了整除性的一个判别法 定理1 对任意的f x g x P x 其中g x 0 则g x f x 的充要条件是g x 除f x 的余式r x 0 例3设f x g x h x P x 其中h x 0 证明 h x f x g x 当且仅当f x 与g x 除以h x 所得的余式相等 例2试求多项式整除的条件 多项式 3整除的概念和性质 三 整除的性质 性质1 a 对任意的f x P x 有f x f x b 对任意的f x P x 有f x 0 c 对任意的f x P x a 0 有a f x 性质2对任意的f x g x P x 若f x g x 且g x f x 那么f x cg x 和g x df x 其中c d为非零常数 性质3对任意的f x g x h x P x 若f x g x 且g x h x 那么f x h x 整除的传递性 多项式 3整除的概念和性质 性质4对任意的f x g x h x P x 若h x f x 且h x g x 那么h x f x g x 性质5对任意的f x gi x P x i 1 2 r 若f x gi x 那么对任意的ui x P x i 1 2 r 有f x u1 x g1 x u2 x g2 x ur x gr x 性质7对任意的f x P x c P且c 0 有f x cf x 称作多项式g1 x g2 x gr x 的一个组合 性质6对任意的f x g x P x 若f x g x 则对任意的h x P x 有f x h x g x 多项式 3整除的概念和性质 例4设g1 x g2 x f1 x f2 x 1 证明 若f1 x g1 x f1 x 0 则g2 x f2 x 2 若g1 x f1 x 是否有g2 x f2 x 多项式的根与因式分解会因数域的扩大而改变 问题 数域P上的多项式f x 与g x 的整除性是否会因为数域的扩大而改变 多项式 4最大公因式 4最大公因式 一 两个多项式的最大公因式 定义1 对任意的f x g x P x 若存在h x P x 使得h x f x h x g x 则称h x 是f x 和g x 的一个公因式 定义2 对任意的f x g x P x d x 是多项式f x 和g x 的一个公因式 若对f x 和g x 的任意一个公因式h x 都有h x d x 则称d x 是多项式f x 和g x 的最大公因式 多项式 4最大公因式 所要考虑的问题 1 任何两个多项式是否都有最大公因式 存在性问题 2 若存在最大公因式 如何求 求法问题 3 最大公因式是否唯一 唯一性问题 引理1 对任意的f x g x P x 若其带余除法为f x q x g x r x 则两对多项式f x g x 和g x r x 有相同的公因式和最大公因式 由引理1知 求f x 和g x 的最大公因式可以转化为求g x 和r x 的最大公因式 多项式 4最大公因式 定理1 对任意的f x g x P x 存在最大公因式d x 而且d x 可以表示为f x 和g x 的一个组合 即存在多项式u x v x P x 使得d x u x f x v x g x 定理1表明对任意的两个多项式都存在最大公因式d x 而且d x 是这两个多项式的一个组合 由定理1的证明过程可以构造出求最大公因式的方法 辗转相除法 若对不全为零的多项式 用符号 f x g x 表示首项系数为1的最大公因式 那么 f x g x 是唯一确定的 多项式 4最大公因式 例1设求 f x g x 并求u x v x 使得 f x g x u x f x v x g x 例2设g x 0 h x 为任意多项式 证明 f x g x f x h x g x g x 二 两个多项式互素 定义3 对任意的f x g x P x 若 f x g x 1 则称多项式f x 和g x 互素 显然f x 和g x 互素 那么它们的公因式只有零次多项式 反之 f x 和g x 的公因式只有零次多项式 则f x 和g x 互素 多项式 4最大公因式 定理2 对任意的f x g x P x 多项式f x 和g x 互素的充要条件是存在多项式u x v x P x 使得u x f x v x g x 1 性质1 f x h x 1 g x h x 1 则 f x g x h x 1 多项式互素的性质 性质2 f x g x 1 f x g x h x 则f x h x 性质3f1 x g x f2 x g x 且 f1 x f2 x 1 则f1 x f2 x g x 多项式 4最大公因式 例3设f x g x 为两个次数大于零的多项式 证明 若 f x g x 1 则存在多项式u x v x 满足u x f x v x g x 1 其中并且满足这样条件的多项式u x v x 是唯一的 例4设f x g x 为两个次数大于零的多项式 证明 多项式f x 和g x 不互素的充要条件是存在多项式h x k x 满足h x f x k x g x 0 其中 多项式 4最大公因式 三 多个多项式的最大公因式 定义4 设f1 x f2 x fs x P x s 2 若存在多项式h x P x 有h x fi x i 1 2 s 则称h x 是多项式f1 x f2 x fs x 的一个公因式 定义5 设f1 x f2 x fs x P x s 2 若多项式d x 是多项式f1 x f2 x fs x 的公因式 而且这组多项式的任意一个公因式都整除d x 则称多项式f1 x f2 x fs x 的最大公因式 符号 f1 x f2 x fs x 表示这组多项式的首一最大公因式 多项式 4最大公因式 定理3 若f1 x f2 x fs 1 x 的最大公因式存在 则多项式f1 x fs 1 x fs x 的最大公因式也存在 而且 f1 x fs 1 x fs x f1 x fs 1 x fs x 进而存在多项式u1 x u2 x us x 使得u1 x f1 x us x fs x f1 x fs 1 x fs x 例5设求 f1 x f2 x f3 x 并求u1 x u2 x u3 x 使得u1 x f1 x u2 x f2 x u3 x f3 x f1 x f2 x f3 x 多项式 4最大公因式 定义6 设多项式f1 x f2 x fs x P x s 2 若 f1 x f2 x fs x 1 则称f1 x f2 x fs x 互素 定义7 设多项式f1 x f2 x fs x P x s 2 若对i j 1 2 s i j 有 fi x fj x 1 则称f1 x f2 x fs x 两两互素 性质4 若f1 x f2 x fs x 两两互素 则f1 x f2 x fs x 互素 反之则不一定成立 多项式 5因式分解定理 5因式分解定理 一 不可约多项式 定义1 设p x 是数域P上次数 1的多项式 如果它不能表示成数域P上的两个次数比p x 低的多项式的乘积 则称p x 为数域P上的不可约多项式 否则 称为可约多项式 由定义可知 一次多项式都是不可约多项式 多项式的可约性与系数域有关 对零多项式和零次多项式 不讨论它们的可约性 多项式 5因式分解定理 不可约多项式的性质 性质1若p x 是不可约多项式 则只有c p x 和cp x p x 其中c P 且c 0 性质2若p x 是不可约多项式 则对任意的多项式f x 有p x f x 或者 p x f x 1 性质3若p x 是不可约多项式 且对任意两个多项式f x g x 有p x f x g x 则p x f x 或者p x g x 推论1若p x 是不可约多项式 且p x f1 x f2 x fs x 则对某个fi x 1 i s 有p x fi x 多项式 5因式分解定理 例1设p x 为数域P上的次数大于零的多项式 证明 若p x 对任意多项式f x 有p x f x 或 p x f x 1 则p x 是数域P上的不可约多项式 性质2的逆命题 例2设p x 为数域P上的次数大于零的多项式 若对任意两个多项式f x 和g x 当p x f x g x 时必有p x f x 或者p x g x 证明p x 一定是数域P上的不可约多项式 性质3的逆命题 二 因式分解定理 定理1 数域P上任意一个次数 1的多项式f x 都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积 存在性定理 多项式 5因式分解定理 定理2 数域P上任意一个次数 1的多项式f x 分解成数域P上一些不可约多项式的乘积f x p1 x p2 x pr x 若不记零次多项式的差异和因式的排列次序 那么f x 分解成不可约因式的乘积的分解式是唯一的 唯一性定理 即若有两个分解式f x p1 x p2 x pr x q1 x q2 x qt x 则有 r t 适当调整qj x 的位置后 有pi x ciqi x i 1 2 r 定理1和2在理论上有其重要性 但没有给出一个具体的分解方法 实际上 普遍可行的因式分解方法并不存在 多项式 5因式分解定理 三 标准 典型 分解式 在多项式f x 的分解式中 把每一个不可约因式的首项系数提出来 使它们成为首项系数为1的多项式 再把相同的不可约因式合并 于是f x 的分解式就变成其中an是f x 是首项系数 p1 x ps x 是首项为1的不可约多项式 k1 ks为正整数 这种分解式称为f x 的标准分解式 多项式 5因式分解定理 由标准分解式的定义可知每个多项式的标准分解式是唯一的 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项式是否整除另一个多项式 3 利用两个多项式的标准分解式 可以直接写出它们的最大公因式 虽然利用标准分解式可以很方便地写出最大公因式 但是标准分解式并不容易求得 因此求最大公因式的一般方法还是辗转相除法 多项式 5因式分解定理 例3求在Q x R x 上的分解式 例4证明 多项式f x 与g x 互素的充要条件是对任意的正整数n fn x 和gn x 都互素 例5设f x 与g x 为两个不全为零的多项式 n是任意整数证明 f x g x n fn x gn x 多项式 6重因式 6重因式 定义1不可约多项式p x 称为f x 的k重因式 如果pk x f x 而pk 1 f x 当k 1时 p x 称为f x 的单因式 当k 1时 p x 称为f x 的重因式 如果f x 的标准分解式为 则p1 x p2 x ps x 分别是f x 的k1重 k2重 ks重因式 多项式 6重因式 定义2多项式f x anxn an 1xn 1 a1x a0的一阶导数f x 是比f x 低一次的多项式f x annxn 1 an 1 n 1 xn 2 a1一阶导数f x 的导数称为f x 的二阶导数 记为f x f x 的导数称为f x 的三阶导数 记为f x f x 的k阶导数记为f k x 一个n次多项式的导数是一个n 1次多项式 它的n阶导数就是一个常数 它的n 1阶导数就是零 多项式 6重因式 多项式的基本求导法则 1 f x g x f x g x 2 cf x cf x 3 f x g x f x g x f x g x 4 fm x mfm 1 x f x 定理1若不可约多项式p x 是f x 的k重因式 k 1 则p x 是f x 的k 1重因式 推论1若不可约多项式p x 是f x 的k重因式 k 1 则p x 是f x f x f k 1 x 的因式 但不是f k x 的因式 多项式 6重因式 推论2不可约多项式p x 是f x 的重因式的当且仅当p x 是f x 与f x 的公因式 推论3多项式f x 无重因式的充要条件是f x 与f x 互素 例1求多项式有重因式的条件 例2用分离重因式方法求多项式在Q上的标准分解式 多项式 7多项式函数 7多项式函数 一 多项式函数的定义 定义1设f x P x 对任意的x P 作映射f x f x P映射f确定了数域P上的一个函数f x f x 称为P上的多项式函数 定义2设f x P x 对任意的c P 数f c ancn an 1cn 1 a0称为当x c时多项式函数f x 的值 若f c 0 则称c为f x 在数域P中的根或零点 多项式 7多项式函数 二 余数定理和综合除法 定理1 余数定理 用一次多项式x c去除多项式f x 所得的余式就是一个常数 即这个多项式在x c时的值f c 问题 有没有更简单的方法确定带余除法f x q x x c r 利用综合除法求q x 与r时应注意 多项式系数按降幂排列 有缺项必须补上零除式x b应变为x b 多项式 7多项式函数 例1求用x 2除f x x5 x3 2x2 8x 5的商和余式 例3每个多项式f x 都可以唯一表示为x x0的方幂和 即c0 c1 x x0 c2 x x0 2 cn x xn n的形式 其中c0 c1 cn为常数 例4把f x x5 x3 2x2 8x 5表示为x 2的方幂和 例2设f x x4 2x3 3x2 4x 5 求f 1 i 多项式 7多项式函数 定理2 因式定理 x c 是多项式f x 的一个因式的充要条件是f c 0 例5当a b是什么数时 f x 能被g x 整除 其中f x x4 3x3 6x2 ax b g x x2 1 三 多项式的根 定义3若x c是f x 的k重因式 则称c是f x 的一个k重根 当k 1时 c称为f x 的一个单根 多项式 7多项式函数 定理3 根的个数定理 P x 中的n次多项式 n 0 在数域P中的根至多有n个 重根按重数计算 定理4设f x g x P x 它们的次数都不超过n 若在P中有n 1个不同的数使得f x 与g x 的值相等 问题 设a1 a2 an是P中n个不同的数 b1 b2 bn是P中n个任意的数 能否确定一个n 1次多项式f x 使得f ai bi i 1 2 n 多项式 7多项式函数 四 多项式相等与多项式函数相等的关系 1 多项式相等 即f x g x 对应项的系数相等 2 多项式函数相等 即f x g x c P有f c g c 定理5P x 中两个多项式f x 和g x 相等的充要条件是它们在P上定义的多项式函数相等 多项式 8复系数与实系数多项式 8复系数与实系数多项式 问题 对于P x 中的多项式多项式f x 它在数域P上未必有根 但在复数域C上是否有根 定理1 代数基本定理 每个次数 1的复系数多项式在复数域中有一个根 定理2每个次数 1的复系数多项式在复数域中一定有一个一次因式 一 复系数多项式 多项式 8复系数与实系数多项式 定理3任何次数 1的复系数多项式在复数域中有n个根 重根按重数计算 推论1复数域上任何次数 1的多项式都是可约的 即复数域上 不可约多项式只能是一次多项式 推论2任何一个次数 1的复系数多项式在复数域上都能分解为一次因式的乘积 在适当排序后 这个分解是唯一的 多项式 8复系数与实系数多项式 一般的复系数多项式在复数域上的根与系数的关系 设f x a0 xn a1xn 1 an 1x an a0 x 1 x 2 x n 则a1 a0 1 2 n a2 a0 1 2 1 3 1 n n 1 n an a0 1 n 1 2 n 例1求一个首项系数为1的4次多项式 使它以1和4为单根 2为2重根 多项式 8复系数与实系数多项式 二 实系数多项式 定理4如果 是实系数多项式f x 的一个复根 则 的共轭复数 也是f x 的根 而且 与 有相同的重数 定理5任何次数 1的实系数多项式在实数域上都可唯一分解为一次因式与二次因式的乘积 推论3R x 中不可约多项式除一次多项式外 只含有非实共轭复根的二次不可约多项式 多项式 8复系数与实系数多项式 推论4实系数多项式在实数域上的标准分解式F x a0 x c1 l1 x cs ls x2 p1x q1