小学奥数36个经典（13-15）.doc

第13讲 植树问题内容概述几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题典型问题 1今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行 【分析与解】 如下图所示： 2今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行 【分析与解】 如下图所示：3今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行 【分析与解】 如下图所示： 4今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行 【分析与解】 如下图所示： 5今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行 【分析与解】 如下图所示：第14讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题 典型问题 1ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCDEFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小 A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759234是满足条件的最小乘积； 它们的差为12347591759234=(1000+234)759一(1000+759)234=1000（759234)=5250002.有9个分数的和为1，它们的分子都是1其中的5个是,另外4个数的分母个位数字都是5请写出这4个分数 【分析与解】 l一(+)= 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3371l的约数因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693 经试验得693+231+77+9=1010所以，其余的4个分数是：,.3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式 【分析与解】 1988=2277l=4497，+，在等式两边同时乘上，就得+显然满足题意 又+=，两边同乘以，就得+显然也满足 +，+均满足. 4小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表141的表中有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正问改正后的两个数的和是多少? 【分析与解】 甲组的前三个数0.625，都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，4，4；不论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号现在验算一下：20.625=4.05；2=3；2=3；23=. 从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4是错的 按照算式 乙组的数甲组的数+1* 23+1=1，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.53+1=1，而1.50.625+l=3.4，1.5+1=3.25 由此可见，确定的算式*是正确的表中有两个错误，4应改为4，2应改为1.5，4+1=5+=6改正后的两个数的和是6 5图143中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上 (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由 (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由 【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等 事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k 在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次 因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为： 8k=(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的 (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+411 而411共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一图(a)和图(b)是两种填法 6图145中有11条直线请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+11)+a=66+a； 在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+11)+4a66+4a 综合以上两式， 5-4得66-11a=0，所以a=6，则S=18 考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+11)-t=5S=90即4*-t=24，由t是111间的数且t*，可知*=7，而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x， 首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有： (111)112+a=4S，即66+a=4S 再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S 综合两个等式，可得a为6，每条直线上和S为18 最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到： 66+4xe=5S=90，即4x-e=24，由e是111间的数且ex可知x=7即每行相等的和S为18，*所填的数为7 7一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数 【分析与解】方法一：=，=，。 对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍 且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意 所以这个六位数为142857 方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为，那么6个六位数中必定存在一个数为. 而个位数字1，只能由11，37或99得到但是只能对应为(26)，所以只能是3得到即=3 于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857方法三：部分同方法二，=3那么有10+l=(100000+)3，解得=42857所以这个六位数为142857第15讲 计数综合（一）内容概述 将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案与分数、几何等相关联的计数综合题典型问题 1一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分? 【分析与解】 一个长方形把平面分成两部分第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分 同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分 第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加34=12个部分而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分 所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26 2一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法? 【分析与解】 我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶 即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和而倒数第l级台阶的走法等于倒数第2、3和4级台阶的走法和， 如果将1、2、3级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每一项等于前3项的和有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274种走法 3一个圆上有12个点A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法? 【分析与解】我们采用递推的方法 I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法 如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法 如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6个点可能分布在： A1所在三角形的一个边所对的弧上； 也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上 在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧 如果是情形，则由，这六个点有三种连法； 如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法 共有12种连法 最后考虑圆周上有12个点同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能： 9个点都在同一段弧上： 有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上； 每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上得到表3共有123+36+155种所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种. 4现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12问：这种变速车一共有多少挡不同的车速? 【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：这里有4对传动比是相同的：1，2，3，将重复的传动比去掉，剩下8个不同的比，所以共有8挡不同的车速5分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个?【分析与解】 分子的取值范围是从1到5 当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数 由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只需适合下列两个条件： 分母大于分子且小于60 分母不是分子的倍数 易知：当分子为2时，适合条件的分母有29个； 当分子为3时，适合条件的分母有38个： 当分子为5时，适合条件的分母有44个； 最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3所以共有28(=291)个总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28197个 6一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀? 【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点时可剪出的三角形个数，需剪的刀数 不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成21996+2=3994个三角形，需剪31996+1=5989刀 方法二：我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)180=2n+2个三角形 2n+2个三角形共有3(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+64=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)23n+1刀本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀7如图153，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法? 【分析与解】 因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南