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第二章：二阶张量1. 2. 3. 行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：4.主不变量 由于当当中有两个相等时，当时 注意：是张量的分量 张量T行列式中各阶主子式之和其中当当中有两个相等时，当时 由于上式对任意矢量u都成立主不变量与矩之间的关系 二阶张量标准形1. 特征值、特征向量 特征方程 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形1. 特征根是实根 2. 特征向量互相正交3. 不存在约当链如果是n重根，但不存在相应的特征向量,使则一定存在约当链然而对对称张量 这是不可能的。标准形由于互相垂直，可取（单位正交向量）3维空间非对称二阶张量标准形虚根总是成对出现 重根必然是实根不同特征根所对应特征向量必线性无关互不相等的实根 基矢量不一定互相正交有一对共轭虚根 因此无约当链与互不相等实根情况相同有一阶约当链 因此有二阶约当链 因此 约当链存在的条件：n重特征根 只有m (mn) 个独立的特征向量例题1：求标准形 特征矩阵 所以存在三个特征向量例题2：求标准形特征矩阵 所以存在二阶约当链第八讲 特殊张量的标准型改变基底矢量必然改变分量寻求一组矢量使特征方程 对称张量的标准型在直角坐标系下 是对称矩阵，所以：一定存在三个实特征根，三个实特征向量（彼此正交）所以为单位化的特征向量特征值的求法：令 ；则特征方程 的通解把看作是应力张量，则它的特征值就是主应力，特征向量为主方向所对应的截面上的面力面力沿法线方向的分力面力在截面内的分量（切向分量）切线分量的大小应力主方向在截面上的投影相应的单位向量因为，所以它们之间的夹角都是为与间的夹角。所以由于这是因为：第九讲 正交张量定义：性质： （等于1 为正常正交张量） 所以 因此 特征向量的正交性： 将上式左端做点积，根据正交张量的保内积性质可得 ；所以，可以把它们取成标准正交基底矢量：标准型意义：绕旋转轴转动角第十讲：反对称二阶张量的标准形 定义： 特征方程：因为：所以 性质： 特征方程 因此特征向量的性质：所以特征向量是彼此相互垂直的，并且可以取为标准正交基底标准形 反偶矢量整体表示： 反对称张量与对偶矢量的关系二阶张量的极分解 二阶张量的幂 对于对称张量 正张量： 非负张量： 由于 （）正张量非负张量对于非负张量：由任意二阶张量构造的非负张量如果 正则张量，则这是因为： 正则张量极分解 证明： 是正张量（正定、对称）令，则说明它是正交张量，从证明过程中可见的分
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