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第四章 微分法 积分法 互逆运算 不定积分 2 二 基本积分表 三 不定积分的性质 一 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章 3 一 原函数与不定积分的概念 引例 一个质量为m的质点 下沿直线运动 因此问题转化为 已知 求 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律 加速度 定义1 若在区间I上定义的两个函数F x 及f x 满足 在区间I上的一个原函数 则称F x 为f x 如引例中 的原函数有 4 问题 1 在什么条件下 一个函数的原函数存在 2 若原函数存在 它如何表示 定理1 存在原函数 下章证明 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 5 定理2 原函数都在函数族 C为任意常数 内 证 1 又知 故 它属于函数族 即 6 定义2 在区间I上的原函数全体称为 上的不定积分 其中 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 P185 若 则 C为任意常数 C称为积分常数 不可丢 例如 记作 7 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 的积分曲线 8 例1 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解 所求曲线过点 1 2 故有 因此所求曲线为 9 例2 质点在距地面 处以初速 力 求它的运动规律 解 取质点运动轨迹为坐标轴 原点在地面 指向朝上 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻t质点所在位置为 则 运动速度 加速度 垂直上抛 不计阻 10 先求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 故 11 二 基本积分表 P188 从不定积分定义可知 或 或 利用逆向思维 k为常数 12 或 或 13 14 例3 求 解 原式 例4 求 解 原式 15 三 不定积分的性质 推论 若 则 16 例5 求 解 原式 17 例6 求 解 原式 例7 求 解 原式 18 例8 求 解 原式 19 内容小结 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 见P188 2 直接积分法 利用恒等变形 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 代数公式 积分性质 20 思考与练习 1 证明 2 若 P193题7 提示 21 3 若 是 的原函数 则 提示 已知 22 4 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 提示 已知 求 即 B 或由题意 其原函数为 23 5 求下列积分 提示 24 6 求不定积分 解 25 7 已知 求A B 解 等式两边对x求导 得
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