高等数学向量代数与空间解析几何总结ppt课件.ppt

1 一 主要内容 一 向量代数 二 空间解析几何 空间解析几何与向量代数 习题课 2 向量的线性运算 向量的表示法 向量积 数量积 向量的积 向量概念 一 向量代数 3 1 向量的概念 定义 既有大小又有方向的量称为向量 自由向量 相等向量 负向量 向径 重要概念 零向量 向量的模 单位向量 平行向量 4 1 加法 2 向量的线性运算 2 减法 3 向量与数的乘法 5 向量的分解式 在三个坐标轴上的分向量 向量的坐标表示式 向量的坐标 3 向量的表示法 6 向量的加减法 向量与数的乘积等的坐标表达式 7 向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 8 4 数量积 点积 内积 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 9 5 向量积 叉积 外积 向量积的坐标表达式 10 11 请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途 1 数量积 求向量的模 求两向量的夹角 12 请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途 续 1 数量积 求一个向量在另一个向量上的投影 两向量垂直的充要条件为 13 请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途 续 2 向量积 求与两个非共线向量a b同时垂直的向量n 可取其中 是某个非零的数 通常在不考虑向量模的大小时可取 1 14 请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途 续 2 向量积 几何上 15 直线 曲面 曲线 平面 参数方程 旋转曲面 柱面 二次曲面 一般方程 参数方程 一般方程 对称式方程 点法式方程 一般方程 空间直角坐标系 二 空间解析几何 16 横轴 纵轴 竖轴 定点 1 空间直角坐标系 空间的点 有序数组 17 空间直角坐标系 共有一个原点 三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限 18 它们距离为 两点间距离公式 19 曲面方程的定义 2 曲面 20 研究空间曲面的两个基本问题 2 已知坐标间的关系式 研究曲面形状 1 已知曲面作为点的轨迹时 求曲面方程 1 旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之 这条定直线叫旋转曲面的轴 21 方程特点 22 2 圆锥面 1 球面 3 旋转双曲面 23 2 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之 这条定曲线叫柱面的准线 动直线叫柱面的母线 24 从柱面方程看柱面的特征 1 平面 25 3 抛物柱面 4 椭圆柱面 2 圆柱面 26 3 二次曲面 定义 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 1 椭球面 2 椭圆抛物面 27 3 马鞍面 4 单叶双曲面 5 圆锥面 28 3 空间曲线 1 空间曲线的一般方程 2 空间曲线的参数方程 29 如图空间曲线 一般方程为 参数方程为 30 3 空间曲线在坐标面上的投影 消去变量z后得 设空间曲线的一般方程 曲线在面上的投影曲线为 面上的投影曲线 面上的投影曲线 31 如图 投影曲线的研究过程 空间曲线 投影曲线 投影柱面 32 4 空间立体或曲面在坐标面上的投影 空间立体 曲面 33 4 平面 1 平面的点法式方程 2 平面的一般方程 3 平面的截距式方程 34 4 平面的夹角 5 两平面位置特征 35 5 空间直线 1 空间直线的一般方程 36 3 空间直线的参数方程 2 空间直线的对称式方程 37 直线 直线 两直线的夹角公式 4 两直线的夹角 38 5 两直线的位置关系 6 直线与平面的夹角 39 直线与平面的夹角公式 7 直线与平面的位置关系 40 二 典型例题 例1 解 由题设条件得 解得 41 例2 解 过已知直线的平面束方程为 42 由题设知 由此解得 代回平面束方程为 43 例3 解 将两已知直线方程化为参数方程为 44 即有 45 46 例4 解 47 所求投影直线方程为 48 例5 解 由于高度不变 49 故所求旋转曲面方程为 50 51 52 例8 已知点A 1 2 5 B 2 0 3 C 1 3 0 求点D 4 3 0 关于平面ABC的对称点 53 例9 求证两直线 相交 并求出交点坐标及包含两直线的平面 解 直线的标准式是 令 向量 两直线相交 54 例10 求直线 在平面 上的投影 直线l0的方程 并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程 解法1设经过l且垂直于 的平面方程为 则由条件可知 由此解得 于是 1的方程为 从而l0的方程为 即 于是l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为 A B C s n 55 解法2由于直线l的方程可写为 所以过直线l的平面方程可设为 即 由它与平面 垂直 得 于是经过直线l且垂直于 的平面方程为 从而l0 下同解法一 56 l的方向向量为s 1 1 1 的法线向量为n 1 1 2 经过l且垂直于 的平面 1的法线向量为 又因为 1经