中心对称小结《矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索》.docx

人教版九年级上册第二十三章旋转中心对称小结矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索教学实录黑龙江省讷河市和盛乡中心学校 王立彬一、设计理念：本节课内容是一道中考常见的填空题，有一定难度，学生往往用很多时间也难作对，我特意把它设计为一个专题来学习，希望学生通过本节课的学习能够掌握这种类型题的解法、快速准确解决此类问题，并能在探索解决问题的过程中提高分析问题、解决问题的能力。为了能使高年级学生能积极参与小组合作学习，本节课特制定了参与课堂活动的评分标准，各组选手答题：1号答对得1分，2号答对得2分，3号答对得3分，4号答对得4分，（1号学习最好、2号次之）答错不得分，并由其他组选手补充，最后算出总分，小组评比。这样在终端评价上来激励学生参与活动，在学习中变被动为主动，并能在互帮互助的学习中体会到与他人合作的快乐和重要性。二、教材分析：旋转是九年级上册第学习的内容，矩形是八年级下册学习的内容，平面直角坐标系是七年级下册学习的内容，主要内容是图形旋转规律的探索，所以把它放在九年级学习比较适合。在教材中并没有安排这样难度的题目，但是中考题目中经常出现，所以把本节课内容安排在章后小结中学习是非常必要的。经历对图形顶点坐标规律变化的探索，学生不仅能够提高归纳总结能力，而且能对坐标周期性变化有一定的认识，也为今后高中学习数学归纳法和函数的周期性奠定基础，本节课还能起到了承上启下的作用。三、学情分析教学对象是九年级学生，他们有一定的提出问题、分析问题、解决问题的能力。在学习上两级分化现严重 ，很多同学多数时间都是自己在学习，很少共同研究问题，本节课安排了小组合作学习，让他们能相互帮助，相互提高。很多学生归纳总结能力还有待提高，所以本节课在内容设计上更有助于学生归纳总结能力的培养。 四、教学目标：1、能求出矩形在x轴上经过任意次数旋转后的图形顶点坐标。2、能通过实践和小组合作总结归纳出矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律。3、能在小组合作学习的过程中体会到与人合作的快乐。五、教学重点、难点重点：求矩形在x轴上经过任意次数的旋转后的图形的顶点坐标。难点：总结归纳矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标的变化规律。六、教学策略：通过对起始图形、第一次旋转、第二次旋转、第三次旋转后的图形顶点坐标规律的探究，先猜想后会检验证，最后归纳总结出矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标变化规律。七、课前准备：标有顶点为A、B、C、D矩形纸片 、PPT课件。八、教学过程导入：例：如图，矩形A0B0C0D0, A0(0,0)、B0(2,0)、C0(2,1)、D0(0,1), 矩形A0B0C0D0绕点B0 顺时针方向旋转90后得到矩形A1B1C1D1，矩形A1B1C1D1再绕点C1 顺时针方向旋转90后得到矩形A2B2C2D2，矩形A2B2C2D2再绕点D2 顺时针方向旋转90后得到矩形A3B3C3D3，按这样方式继续旋转，得到 矩形A4B4C4D4 A0(0,0)B0(2,0)C0(2,1)D0(0,1)A4( ， )B4( , )C4( ， )D4( ， )A8( ， )B8( ， )C8( ， ) D8( ， )A1(2,2)B1(2,0)C1(3,0)D1(3,2)A2(5,1)B2(3,1)C2(3,0)D2(5,0) A3(6,0)B3(6,2)C3(5,2)D3(5,0)A2017( , )B2017( , )表中已给出了一些矩形的顶点坐标。谁能快速地说出A4、B4、C4、D4的坐标呢？ 学生回答谁还能快速地说出A8、B8、C8、D8的坐标呢？ 学生回答谁还能快速地说出A2017、B2017的坐标呢？就没那么容易了吧。那么如何又快又准地求出像A2017、B2017矩形旋转很多次得到的图形的顶点坐标呢？这就是本节课要和大家共同解决的问题，即“矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索”教师出示课题： “矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索”希望通过本节课的共同探讨，同学们能够归纳总结出：“求矩形经过任意次数的旋转后得到的图形的顶点坐标的规律”，为了达到这个目的,老师设计了以下几个活动和评分标准希望大家积极参与。 各组选手答题：1号答对得1分，2号答对得2分，3号答对得3分，4号答对得4分，答错不得分，并由其他组选手补充，最后算出总分，小组评比。评分表（教师提前画在黑板上）选手组别1号2号3号4号总分名次一二三四五六七八九十活动一：探索和矩形A0B0C0D0相当于平移变换(字母必须对应)的矩形的顶点坐标的规律（教师解释字母对应）A0(0,0)B0(2,0)C0(2,1)D0(0,1)A4( 6 , 0 )B4( 8 , 0 )C4( 8 ,1 )D4(6 ,1 )A8( 12,0 )B8( 14 ,0 )C8(14,1 ) D8(12 ,1 )问题：1、师：找出现在有图中和矩形A0B0C0D0相当于平移变换的矩形，你是怎么看出来的？ 生：矩形A4B4C4D4、矩形A8B8C8D8师：你是怎么看出来的？生：从图形和表格中对应点坐标的变化，如A点坐标的变化，纵坐不变，横坐标变化。2、师：说明从矩形A0B0C0D0到矩形A4B4C4D4平移的方向和长度，平移长度的特殊意义。 生：向右平移6个单位长度，恰好是矩形的周长。3、师：从矩形A0B0C0D0到矩形A4B4C4D4经过几次旋转？为什么要经过这些次旋转会出现平移效果？生：4次 四边形外角和3604、师：说明从矩形A0B0C0D0到矩形A8B8C8D8平移的方向和长度，平移长度的特殊意义。 生：向右平移8个单位长度，恰好是矩形的2倍周长。5、师：按这种方式旋转下去，同学们猜想一下，还有哪些矩形和矩形A0B0C0D0相当于平移变换？说一个顶点角标数较大的点矩形。 生：矩形A12B12C12D12 、矩形A16B16C16D16、矩形A20B20C20D20、矩形A24B24C24D24 矩形A2000B2000C2000D2000。 6、师板书：矩形A0B0C0D0: 矩形A12B12C12D12 、矩形A16B16C16D16、矩形A20B20C20D20 矩形A2000B2000C2000D2000。7、师：说说这些矩形顶点角标的特点。生：都能被4整除。8、师：验证猜想。按如下方法动手实践验证：把课桌左边看作y轴，向上为正方向，把下边看作x轴，向右为正方向，建立直角坐标系，把事先准备好的和图中完全一样的矩形按上述的方式旋转，把通过实践操作得出的结论填入表一相应的空格中。（教师边说边板前图形旋转示范，用两张重合的图形，下面的图形固定，上面的图形进行旋转。）9、师：经过实践验证我们的猜想正确吗？ 生：正确。10、师：相信同学们通过旋转很容易得到矩形A12B12C12D12 、矩形A16B16C16D16、和矩A0B0C0D0有平移关系，那么像矩形A20B20C20D20、矩形A24B24C24D24这样的图形课桌不够长你是怎样旋转出来的呢？ 生：板前演示，把矩形A0B0C0D0的位置当做矩形A12B12C12D12的位置进行旋转，解决课桌不够长的问题。师：（评价）非常好很有创意。11、师：学生先试着独立完成表一中其他空格填写，解决不了的再小组合作完成。 师：巡视、指导、答疑。12、生：汇报成果。师：为什么除以4？为什么乘以6？为什么加6？生：每经过4次旋转图形就旋转一周，每旋转一周就平移6个向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变。生总结：矩形角标除4，用商乘6，横坐标加上结果就是后来的坐标。生：（纠正补充）纠正补充，应是除以4，积加上横坐标，纵坐标不变就是对应点的坐标。师：（评价）总结的非常全面。师：（总结）求和矩形A0B0C0D0有平移关系的矩形的方法： 先用旋转后的有平移关系矩形顶点的角标除以4的商乘以周长，再用得到的积加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后图形对应点坐标。表一旋转对照图形及顶点坐标旋转后哪个矩形和对照图形相当于平移变换从对照图形开始共旋转了几周（用数学算是表示） 沿x 轴平移的长度（用数学算式表示） 旋转后个别点的坐标（横坐标用数学算式表示）矩形A4B4C4D4 =6A4( ,0 ) 矩形A8B8C8D8=12B8( ,0) C12( ，) D16( ，) 13、练习：求A2016的坐标。生：（板演）20164=504， 5046=3024， A0（0，0）， 3024+0=3024 A2016（3024，0）。师：我们归纳总结出了和矩形A0B0C0D0相当于平移变换(字母必须对应)的矩形的顶点坐标的规律，那么和矩形A1B1C1D1相当于平移变换(字母必须对应)的矩形的顶点坐标的规律又是什么样的呢？下面我们就来共同探讨这个问题。活动二：探索和矩形A1BC1D1相当于平移变换(字母必须对应)的矩形的顶点坐标的规律1、师：图中哪个矩形和矩形A1B1C1D1相当于平移变换？(字母必须对应) 生：矩形A5B5C5D5 2、师：同学们猜想一下，除了矩形A5B5C5D5还有哪些矩形和矩形A1B1C1D1相当于平移变换？说一个顶点角标数较大的矩形。生：矩形A13A13B13C13D13、矩形A17A17B17C17D17矩形A2001A2001B2001C2001D2001。3、教师板书：矩形A1B1C1D1: 矩形A5B5C5D5、 矩形A9B9C9D9、矩形 A13B13C13D13、4、师：说说这些矩形顶点角标的特点。生：被4除余1，减1的差能被4整除。 5、师：同学们像活动一那样实践操作来验证我们的猜想吧，把通过实践操作得出结论填入表二相应的空格中。6、这些矩形相对于矩形A1B1C1D1各自旋转了几周?你是怎样算出来的？举例说明。 生：矩形A5B5C5D5一周、矩形A9B9C9D9两周、矩形 A13B13C13D13三周、A2001A2001B2001C2001D2001500周，如20014=50017、师：同学们先试着独立完成表二中其他空格填写，解决不了的再小组合作完成，师巡视、指导、答疑。8、生：汇报成果。师：提出疑问，如：（9-1）4=2中-1和2的意义，或94=21中2和1的意义。生：1是和矩形A9B9C9D9有平移关系的最初的对照矩形的顶点的角标。2是旋转的周数生总结：矩形的角标数除以4的商乘以6的积为平移的长度，余数就是对照点的角标，用长度加上对照点的横坐标纵坐标不变就是对应点的坐标。师总结：先用旋转后的有平移关系矩形的顶点的角标减1的差除以4后的商乘以周长，再用所得的积加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后图形对应点坐标。 练习：求A2017的坐标 。生：20174=5041,5046=3024, A1（2，2），3024+2=3026，A2017( 3026,2)。旋转对照图形及顶点坐标旋转后哪个矩形和对照图形相当于平移变换从对照图形开始共旋转了几周（用数学算是表示） 沿x 轴平移的长度（用数学算式表示） 旋转后个别点的坐标（横坐标用数学算式表示）矩形A5B5C5D5 D5( , ) A9( , ) B13( ，) 总结：求和矩形A1B1C1D1有平移关系的矩形的顶点坐标的方法： 表二师：我们归纳总结出了和矩形A1B1C1D1相当于平移变换(字母必须对应)的矩形顶点坐标的规律，那么和矩形A2B2C2D2相当于平移变换(字母必须对应)的矩形顶点坐标的规律又是什么样的呢？下面我们就来共同探讨这个问题。活动三：探索和矩形A2B2C2D2相当于平移变换(字母必须对应)的矩形的顶点坐标的规律1、师：图中哪个矩形和矩形A2B2C2D2相当于平移变换(字母必须对应)？ 生：矩形A6B6C6D6 2、师：同学们猜想一下，除了矩形A6B6C6D6还有哪些矩形和矩形A2B2C2D2相当于平移变换？说一个顶点角标数较大的矩形。生：矩形A10B10C10D10、矩形 A14B14C14D14、矩形A2002B2002C2002D20023、教师板书：矩形A2B2C2D2: 矩形A6B6C6D6、 矩形A10B10C10D10、矩形 A14B14C14D14、4、师：说说这些矩形顶点角标特点。生：被4除余2 5、师：这些矩形相对于矩形A2B2C2D2各自旋转了几周?你是怎样算出来的？举例说明。生：如（14-2）4=3,3周。 6、师：同学们先试着独立完成表三的填写（本次活动可略去实践操作），解决不了的问题再小组合作完成。 教师巡视、指导、答疑。7、生汇报成果。师：提出疑问，学生解释说明，师生评价。如：（14-2）4=3中-2和3的意义，或144=32中3和2的意义。生：2是和矩形A14B14C14D14有平移关系的最初的对照矩形的顶点的角标。3是旋转的周数师生总结：先用旋转后的有平移关系矩形的顶点的角标减2的差除以4后的商乘以周长，再用所得的积加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后图形对应点坐标。 旋转对照图形及顶点坐标旋转后哪个矩形和对照图形相当于平移变换从对照图形开始共旋转了几周（用数学算是表示） 沿x 轴平移的长度（用数学算式表示） 旋转后个别点的坐标（横坐标用数学算式表示）总结：求和矩形A2B2C2D2有平移关系的矩形的顶点坐标的方法：矩形A6B6C6D6 D6( , ) C10( , ) B14( ，) 练习：求A2018的坐标。生：20184=5042,5046=3024，A2（5，1），3024+5=3029 A2018（3029,1）表三师：通过实践和小组合作我们归纳总结出了和矩形A1B1C1D1、矩形A2B2C2D2有平移关系(字母必须对应)的矩形的顶点坐标的规律，根据以上探究过程和总结的规律规律同学们试着直接归纳出和矩形A3B3C3D3相当于平移变换(字母必须对应) 的矩形顶点坐标的规律。活动四：探索和矩形A3B3C3D3、相当于平移变换(字母必须对应)的矩形顶点坐标的规律。教师提问，学生直接解答，师生评价，教学实录过程同上。表四旋转对照图形及顶点坐标旋转后哪个矩形和对照图形相当于平移变换从对照图形开始共旋转了几周（用数学算是表示） 沿x 轴平移的长度（用数学算式表示） 旋转后个别点的坐标（横坐标用数学算式表示）矩形A7B7C7D7 B7( , ) C11( , ) D15( ，) 总结：求和矩形A3B3C3D3有平移关系的矩形顶点坐标的方法： 练习:求A2019的坐标。生：20194=5043,5046=3024，A3（6，0），3024+=3030 A2018（3030,0）归纳总结： 求矩形AnBnCnDn的顶点坐标的方法：（学生总结，师生评价、归纳）如求B2011、C2012的坐标。生：20114=5023,5026=3012，B3（6，2），3012+6=3018 A2018（3018,2）20124=5030,5036=3018，C0（2，1），3018+0=3018 A2018（3018,1）生总结：用矩形AnBnCnDn的顶点角标n除以4得的商乘以矩形的周长得的积a就是图形沿x轴相对于对照图形平移的长度，如果余数是b，和矩形AnBnCnDn有平移关系的最初的对参照图形就是矩形AbBbCbDb ，再用a加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后的图形对应点坐标。活动五：当堂练习如图，矩形A0B0C0D0, A0(0,0)、B0(2,0)、C0(2,1)、D0(0,1), 矩形A0B0C0D0绕点B0 顺时针方向旋转90后得到矩形A1B1C1D1，矩形A1B1C1D1再绕点C1 顺时针方向旋转90后得到矩形A2B2C2D2，矩形A2B2C2D2再绕点D2 顺时针方向旋转90后得到矩形A3B3C3D3，按这样方式继续旋转，得到 矩形A4B4C4D4 求点A19、A2022的坐标 。生：A19（30，0），A2022（3035，1）。 活动六：巩固提升 如图，矩形A1B1C1D1, A1(0,0)、B1(2,0)、C1(2,1)、D1(0,1),矩形A1B1C1D1绕点B1顺时针方向旋转90后得到矩形A2B2C2D2，矩形A2B2C2D2再绕点C2 顺时针方向旋转90后得到矩形A3B3C3D3，矩形A3B3C3D3再绕点D3顺时针方向旋转90后得到矩形A4B4C4D4，按这样方式继续旋转，得到矩形A5B5C5D5 练习：求点C20 、A2018的坐标。生：C20（32,1），A2018（3026,2）。师：答案都对吗？生：C20（32,1）错了。师：谁能说出错在哪里？生：C20的对照点应该是C0（-1 ，1）或C4（5 , 1）而不是C1（2 ，1），204=5,56=30,30+（-1）=29，C20（29,1）。师：答的非常好，继续努力。活动七：谈谈本节课的收获：1、师：知识方面生：用矩形AnBnCnDn的顶点角标n除以4得的商乘以矩形的周长得的积a就是图形沿x轴相对于对照图形平移的长度，如果余数是b，和