3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

变化率与导数、导数的计算最新考纲1了解导数概念的实际背景；2通过函数图象直观理解导数的几何意义；3能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数仅限于形如yf(axb)的复合函数的导数.知 识 梳 理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或.几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)4复合函数的导数设uv(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合函数fv(x)在点x处可导，且f(x)f(u)v(x)辨 析 感 悟1对导数概念的理解(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()2导数的几何意义与物理意义(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(5)物体的运动方程是s4t216t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t0.()(6)(2012广东卷改编)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为2xy10.()3导数的计算(7)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(8)(教材习题改编)函数yxcos xsin x的导函数是yxsin x()(9)f(axb)f(axb)()感悟提升1“过某点”与“在某点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点2导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).学生用书第37页考点一导数的计算【例1】 分别求下列函数的导数：(1)yexcos x；(2)yxsin cos ；(3)y.解(1)y(ex)cos xex(cos x)excos xexsin x.(2)yxsin cos xsin x，y1cos x.(3)y.规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有：商的求导中，符号判定错误；不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x1进行求导(2)求函数的导数应注意：求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量；根式形式，先化为分数指数幂，再求导复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理【训练1】 (1)(2013江西卷改编)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.(2)若f(x)e2x，则f(x)_.解析(1)令ext，则xln t，f(t)ln tt，即f(x)ln xx.因此f(x)(ln xx)1，于是f(1)112.考点二导数的几何意义【例2】 (1)(2013广东卷)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.(2)设f(x)xln x1，若f(x0)2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为_解析(1)函数ykxln x的导函数yk，由导数y|x10，得k10，则k1.(2)因为f(x)xln x1，所以f(x)ln xxln x1.因为f(x0)2，所以ln x012，解得x0e，所以y0e1.由点斜式得，f(x)在点(e，e1)处的切线方程为y(e1)2(xe)，即2xye10.答案(1)1(2)2xye10规律方法 (1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率第(1)题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程【训练2】 (1)(2012新课标全国卷)曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)若函数f(x)excos x，则此函数图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A0 B锐角 C直角 D钝角解析(1)yx(3ln x1)，y3ln x1x3ln x4，ky|x14，所求切线的方程为y14(x1)，即4xy30.(2)f(x)excos xexsin xex(cos xsin x)，f(1)e(cos 1sin 1)1.而由正余弦函数性质可得cos 1sin 1.f(1)0，即f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率k0对x0且x1恒成立研究函数yg(x)的性质获得结论解(1)设f(x)，则f(x).f(1)1，即切线l的斜率k1.由l过点(1,0)，得l的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，g(x)1时，x210，ln x0，g(x)0，g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线l的下方规律方法 (1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l的位置关系转化为函数g(x)x1f(x)在区间(0，)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用(2)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.学生用书第38页【训练3】 (2014济南质检)设函数f(x)aexb(0a0.当0xln 时，f(x)ln ，f(x)0.f(x)在上递减，在上递增从而f(x)在0，)上的最小值f2b.(2)yf(x)在点(2，f(2)处的切线为yx，f(2)3，且f(2)，解之得b且a.1理解导数的概念时，要注意f(x0)，(f(x0)与f(x)的区别：f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x0)是f(x)在xx0处的导数值，是常量但不一定为0，(f(x0)是常数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别 易错辨析3求曲线切线方程考虑不周【典例】 (2014杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x33x22x和yx2a都相切，则a的值是()A1 B. C1或 D1或错解点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，直线l与曲线yf(x)相切于点O.则kf(0)2，直线l的方程为y2x.又直线l与曲线yx2a相切，x2a2x0满足44a0，a1，选A.答案A错因(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)x33x22x相切”这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻正解易知点O(0,0)在曲线f(x)x33x22x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0x3x2x0，且kf(x0)3x6x02.又kx3x02，由，联立，得x0(x00舍)，所以k，所求切线l的方程为yx.由得x2xa0.依题意，4a0，a.综上，a1或a.答案C防范措施(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算【自主体验】函数yln x(x0)的图象与直线yxa相切，则a等于()A2ln 2 Bln 21 Cln 2 Dln 21解析设切点为(x0，y0)，且y，则x02，y0ln 2.又点(2，ln 2)在直线yxa上，ln 22a，aln 21.答案D对应学生用书P247基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.答案B2.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()A2 B6C2 D4解析如图可知，f(5)3，f(5)1，因此f(5)f(5)2.答案A3(2014济南质检)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2 B2C D.解析y，y|x3，a2，即a2.答案B4已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为，则切点横坐标为()A2 B3 C2或3 D2解析设切点坐标为(x0，y0)，yx，x0，即xx060，解得x02或3(舍)答案D5(2014湛江调研)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D1解析y|x0(2e2x)|x02，故曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程为y2x2，易得切线与直线y0和yx的交点分别为(1,0)，故围成的三角形的面积为1.答案A二、填空题6已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析f(x)fsin xcos x，ffsin cos ，f1，f(1)cos sin 1.答案17(2013南通一调)曲线f(x)exf(0)xx2在点(1，f(1)处的切线方程为_解析f(x)exf(0)xf(1)e1f(0)1f(0)1.在函数f(x)exf(0)xx2中，令x0，则得f(1)e.所以f(1)e，所以f(x)在(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)f(1)ex，即yex.答案yex8若以曲线yx3bx24xc(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是_解析yx22bx4，y0恒成立，4b2160，2b2.答案2,2三、解答题9已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或1.(2)曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，a.a的取值范围是.10已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)x，设g(x)x(1x2)，g(x)1，1x2，g(x)，即实数a的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014北京西城质检)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1 B3 C4 D8解析依题意，得P(4,8)，Q(2,2)由y，得yx.在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8.在点Q处的切线方程为y22(x2)，即y2x2.联立，得点A(1，4)答案C2已知f(x)logax(a1)的导函数是f(x)，记Af(a)，Bf(a1)f(a)，Cf(a1)，则()AABC BACBCBAC DCBA解析记M(a，f(a)，N(a1，f(a1)，则由于Bf(a1)f(a)，表示直线MN的斜率，Af(a)表示函数f(x)logax在点M处的切线斜率；Cf(a1)表示函数f(x)logax在点N处的切线斜率由图象得，ABC.答案A二、填空题3(2014武汉中学月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012的值为_解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 012，则log2 013x1log2 013x2log2 013x2 012log2 013(x