高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件4 新人教A版必修4.ppt

2 3平面向量的基本定理及坐标表示2 3 1平面向量基本定理 知识提炼 1 平面向量基本定理 不共线向量 a 1e1 2e2 不共线 2 两向量的夹角 1 定义 作向量 a b 则 叫做向量a与b的夹角 2 特例 0 向量a b 90 向量a b 180 向量a b aob 0 180 同向 垂直 反向 即时小测 1 思考下列问题 1 任意两个向量都可以作为基底吗 提示 不能 若e1 e2 则e1 e2 对于任一向量a a1e1 a2e2 a1 a2 e2 所以a与e2共线 即只能表示与其共线的向量 所以作为基底的向量不能共线 2 平面向量的基底是唯一的吗 提示 不是 平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底 当基底一旦确定后 平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示 2 当向量a与b共线时 则这两个向量的夹角 为 a 0 b 90 c 180 d 0 或180 解析 选d 当向量a与b共线 即两向量同向时夹角 0 反向时夹角 180 3 设e1 e2是同一平面内两个不共线的向量 以下各组向量中不能作为基底的是 a e1与e2b e1 e2与2e1 2e2c e1与2e2d e1 e2与e2 解析 选b 由于e1与e2不共线 所以e1与2e2不共线 e1 e2与e2不共线 故都可以作为基底 而2e1 2e2 2 e1 e2 所以e1 e2与2e1 2e2共线 故不能作为基底 4 若a b不共线 且la mb 0 l m r 则l m 解析 因为0 0 a 0 b且a与b不共线 又0 la mb 所以根据平面向量基本定理 可知l m 0 答案 00 知识探究 知识点1平面向量基本定理观察图形 回答下列问题 问题1 判断两个向量能否作为基底的关键是什么 问题2 平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系 总结提升 1 对平面向量基本定理的两点说明 1 作用和意义平面向量基本定理告诉我们 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和 并且这种分解是唯一的 2 基底的性质 不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底 基底不同 表示也不同 由于零向量与任何向量共线 所以零向量不可以作为基底 不唯一性对基底的选取不唯一 平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1 e2线性表示 且在基底确定后 这样的表示是唯一的 2 平面向量基本定理与向量共线定理的联系由平面向量共线定理可知 任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示 而且这种表示是唯一的 故平面向量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广 知识点2两向量的夹角观察图形 回答下列问题 问题1 平面中任意两个向量都可以平移至公共起点 它们存在夹角吗 问题2 若存在夹角 向量的夹角与直线的夹角一样吗 两向量的夹角与直线的夹角范围有何不同 总结提升 对向量的夹角的两点说明 1 向量夹角的几何表示 依据向量夹角的定义 两个非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点 这样它们所成的角才是向量的夹角 2 注意事项 向量的夹角是针对非零向量定义的 向量的夹角与直线的夹角范围是不同的 它们分别是 0 和 题型探究 类型一对平面向量基本定理的理解 典例 1 2015 黄石高一检测 已知平行四边形abcd 下列各组向量中 是该平面内所有向量基底的是 2 如果e1 e2是平面 内两个不共线的向量 那么下列说法中不正确的是 a e1 e2 r 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 内任一向量a 使a e1 e2的实数对 有无穷多个 若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线 则 若实数 使得 e1 e2 0 则 0 a b c d 3 设向量e1与e2不共线 若3xe1 10 y e2 4y 7 e1 2xe2 则实数x y的值分别为 a 0 0b 1 1c 3 0d 3 4 解题探究 1 典例1中两个向量可以作为基底的条件是什么 提示 两个向量可以作为基底的条件是两向量不共线 2 典例2中 平面向量基本定理应关注哪些要点 提示 1 只要是同一平面内两不共线的向量都可以作为一组基底 所以基底不唯一 1 2唯一 2 零向量与任意向量都共线 因此零向量不能作为基底 3 典例3中求x y的依据是什么 提示 向量相等的条件 解析 1 选d 由于与不共线 所以是一组基底 2 选b 由平面向量基本定理可知 是正确的 对于 由平面向量基本定理可知 一旦一个平面的基底确定 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于 当 1 2 0或 1 2 0时不一定成立 应为 1 2 2 1 0 3 选d 因为向量e1与e2不共线 所以解得 方法技巧 1 对基底的理解 1 两个向量能否作为一组基底 关键是看这两个向量是否共线 若共线 则不能作基底 反之 则可作基底 2 一个平面的基底一旦确定 那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来 设向量a与b是平面内两个不共线的向量 若x1a y1b x2a y2b 则 2 重要结论e1 e2是平面内一组基底 变式训练 1 设e1 e2是不共线的两个向量 给出下列四组向量 e1与e1 e2 e1 2e2与e2 2e1 e1 2e2与4e2 2e1 e1 e2与e1 e2 其中能作为平面内所有向量的一组基底的是 写出所有满足条件的序号 解析 设e1 e2 e1 则无解 所以e1 e2与e1不共线 即e1与e1 e2可作为一组基底 设e1 2e2 e2 2e1 则 1 2 e1 2 e2 0 则无解 所以e1 2e2与e2 2e1不共线 即e1 2e2与e2 2e1可作为一组基底 因为e1 2e2 4e2 2e1 所以e1 2e2与4e2 2e1共线 即e1 2e2与4e2 2e1不可作为一组基底 设e1 e2 e1 e2 则 1 e1 1 e2 0 所以无解 所以e1 e2与e1 e2不共线 即e1 e2与e1 e2可作为一组基底 答案 2 若向量a b不共线 则c 2a b d 3a 2b 试判断c d能否作为基底 解析 设存在实数 使c d 则2a b 3a 2b 即 2 3 a 2 1 b 0 由于向量a b不共线 所以2 3 2 1 0 这样的 是不存在的 从而c d不共线 故c d能作为基底 类型二用基底表示向量 典例 1 已知 a b c为线段ao上距a较近的一个三等分点 d为线段cb上距c较近的一个三等分点 则用a b表示 2 如图 abcd的对角线ac和bd交于点m a b 试用基底a b表示 解题探究 1 典例1中 与两个向量有何关系 与与呢 提示 2 典例2中 与的关系是什么 在 adb中 与的关系如何 提示 与互为相反向量 解析 1 因为答案 2 a b b a 因为平行四边形的对角线互相平分 所以 a b 所以 a b b a 所以 a b 延伸探究 1 变换条件 改变问法 本例2中其他条件不变 添加 试表示 解析 因为 所以所以 2 变换条件 改变问法 本例2中 若e f分别是边cd与bc的中点 其中 r 则 的值如何 解析 因为所以又a b不共线 所以 解得所以 方法技巧 平面向量基本定理的作用以及注意点 1 根据平面向量基本定理 任何一组基底都可以表示任意向量 用基底表示向量 实质上是利用三角形法则或平行四边形法则 进行向量的加减法运算 2 要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形 利用已知向量表示未知向量 或找到已知向量与未知向量的关系 用方程的观点求出未知向量 补偿训练 如图 梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd m n分别是dc和ab的中点 若 a b 试用a b表示 解析 如图所示 连接cn 则四边形ancd是平行四边形 则 类型三向量夹角的简单求解 典例 1 2015 韶关高一检测 已知向量a b c满足 a 1 b 2 c a b c a 则a b的夹角等于 2 已知两个非零向量a与b的夹角为60 试求下列向量的夹角 1 a与 b 2 2a与3b 解题探究 1 典例1中 以a b c作为三角形的三边 结合c a b及c a 判断三角形的形状如何 提示 三角形为直角三角形 2 典例2中 b的几何意义是什么 a与b的夹角与2a与3b的夹角之间的关系是什么 提示 b是b的相反向量 a与b的夹角与2a与3b的夹角是相同的 解析 1 作 a b 则c a b 如图所示 则a b夹角为180 c 因为 a 1 b 2 c a 所以 c 60 所以a b的夹角为120 答案 120 2 由向量夹角的定义 作出a与b的夹角 1 如图1 向量a与 b的夹角为120 2 如图2 向量2a与3b的夹角为60 延伸探究 若题 1 的已知条件中的 b 2 改为 b 其余条件都不变 则a b的夹角又如何求解呢 解析 作 a b 则c a b 如图所示 则a b夹角为180 c 因为 a 1 b c a 所以 c 45 所以a b的夹角为135 方法技巧 两向量夹角的实质与求解方法 1 两向量夹角的实质 从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角 结合平面几何知识加以解决 2 求解方法 利用平移的方法使两个向量起点重合 作出两个向量的夹角 按照 一作二证三算 的步骤求出 变式训练 如图 已知 abc是等边三角形 1 求向量与向量的夹角 2 若e为bc的中点 求向量与的夹角 解析 1 因为 abc为等边三角形 所以 abc 60 如图 延长ab至点d 使ab bd 则 所以 dbc为向量与的夹角 因为 dbc 120 所以向量与的夹角为120 2 因为e为bc的中点 所以ae bc 所以与的夹角为90 补偿训练 设非零向量a b c满足 a b c a b c 则a与b的夹角 解析 作 a b 则 a b c 如图所示 因为 a b c 所以 oab是等边三角形 所以a与b的夹角 120 答案 120 易错案例求向量的夹角 典例 2015 漳州高一检测 在rt abc中 abc 90 1 则与的夹角 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是误认为 acb是与的夹角 其实不然 acb是与的夹角