高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（1）课件 新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 一 第三章不等式 1 理解基本不等式的内容及证明 2 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小 3 能初步运用基本不等式证明简单的不等式 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一算术平均数与几何平均数 思考 如图 ab是圆o的直径 点q是ab上任一点 aq a bq b 过点q作pq垂直ab于q 连接ap pb 如何用a b表示po pq的长度 po 易证rt apq rt pbq 那么 pq 2 aq qb 即 pq 答案 梳理 一般地 对于正数a b 为a b的平均数 为a b的平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 即 其几何意义如上图中的 po pq 算术 几何 知识点二基本不等式及其常见推论 思考 如何证明不等式 a 0 b 0 答案 梳理 4 a2 b2 c2 ab bc ca a b c r 题型探究 类型一常见推论的证明 例1证明不等式a2 b2 2ab a b r 证明 a2 b2 2ab a b 2 0 a2 b2 2ab 引申探究证明不等式 a b r 证明 由例1 得a2 b2 2ab 2 a2 b2 a2 b2 2ab 两边同除以4 即得 当且仅当a b时 取等号 反思与感悟 1 本例证明的不等式成立的条件是a b r 与基本不等式不同 2 本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法 跟踪训练1已知a b c为任意的实数 求证 a2 b2 c2 ab bc ca 证明 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 当且仅当a b c时 等号成立 类型二用基本不等式证明不等式 例2已知x y都是正数 求证 1 2 证明 x y都是正数 当且仅当x y时 等号成立 2 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 证明 x y都是正数 即 x y x2 y2 x3 y3 8x3y3 当且仅当x y时 等号成立 反思与感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 1 策略 从已证不等式和问题的已知条件出发 借助不等式的性质和有关定理 经过逐步的逻辑推理 最后转化为所求问题 其特征是以 已知 看 可知 逐步推向 未知 2 注意事项 多次使用基本不等式时 要注意等号能否成立 累加法是不等式证明中的一种常用方法 证明不等式时注意使用 对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合 形成基本不等式模型 再使用 跟踪训练2已知a b c都是正实数 求证 a b b c c a 8abc 证明 a b c都是正实数 即 a b b c c a 8abc 当且仅当a b c时 等号成立 类型三用基本不等式比大小 例3某工厂生产某种产品 第一年产量为a 第二年的增长率为a 第三年的增长率为b 这两年的平均增长率为x a b x均大于零 则 答案 解析 第二年的产量为a a a a 1 a 第三年产量为a 1 a a 1 a b a 1 a 1 b 若平均增长率为x 则第三年产量为a 1 x 2 依题意有a 1 x 2 a 1 a 1 b a 0 b 0 x 0 1 x 2 1 a 1 b 1 x 1 x 反思与感悟 基本不等式一端为和 一端为积 使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和 跟踪训练3设a b 1 p q r lg 则p q r的大小关系是a r p qb p q rc q p rd p r q 答案 解析 a b 1 lga lgb 0 当堂训练 1 已知a 0 b 0 则的最小值是 1 2 3 4 答案 解析 a 0 b 0 2 若0 a b 则下列不等式一定成立的是 1 2 3 4 答案 解析 a b 3 3 设a b是实数 且a b 3 则2a 2b的最小值是 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 4 设a 0 b 0 给出下列不等式 答案 解析 1 2 3 4 规律与方法 1 两个不等式a2 b2 2ab与都是带有等号的不等式 对于 当且仅当 时 取等号 这句话的含义要有正确的理解