初中数学变式训练的应用研究(东莞市石碣中学梁照).doc

初中数学变式训练的应用研究东莞市石碣中学 梁照【摘 要】 数学“变式”练习是为了让学生更加准确地掌握数学解题方法而采取的变换方式。在数学教学中进行数学“变式”练习帮助学生多角度地理解数学方法，使学生从“知识性”向“智力型”转换。变式训练源于课本，高于课本，循序渐进，有的放矢，纵向联系,温故知新。【关键词】 变式训练；课本；分层教学；学生参与在教学中经常有学生反映说：“老师我听你讲题的时候我懂，但当我做的时候又不会了”。有许多学生面对题目，手足无措，不知从何入手，究其原因：数学题型千变万化，同一个知识点的考核方式和方法不同，同时由于知识点积累得越来越多，有时无法做出判断和表达。特别是几何题，学生解题思路紊乱、书写的过程混乱。学生缺乏对知识进行必要的归纳和总结。遇到题目就做，做完也不整理和反思解题的方法和技巧，导致不能准确找到各个问题或知识点之间内在联系。更无法从复杂题目和图形中分离出熟悉的题型和基本图形。因此，单一的把每个知识点涉及到的习题让学生翻来覆去地做，确实能收到效果，但只是局限在下次还是做同样类型的题目。无法应对现在考试的灵活性与拓展性。变式训练是教学中提高学生能力的重要一环，在教学过程中必须渗透，并且多多益善。1 变式训练教学的作用1.1 有利于面向全体，因材施教，使不同的人在数学上得到不同的发展进行变式训练时，我们往往都能注意到由浅入深，由特殊到一般，循序渐进，螺旋上升。这样有利于面向全体学生，特别是基础较差的学生通过一定量的变式训练，可以加深对一些基础知识、基本方法的记忆和理解，形成深刻的印象，提高思考问题的速度和效率；对于基本功扎实的学生，通过变式训练可以使学生从各个角度来认识问题,形成对原有问题的全新视角。1.2 能有效克服题海战术的弱点，提高课堂效益进行变式训练时，新题和原题存在一定的关联，能形成一系列的知识网络和方法链。通过横向对比加强不同知识点的联系，通过纵向加深理解来实现横向迁移，比大量解题训练更能让学生领悟解题的本质。1.3 有利于学生掌握科学的学习方法，养成良好的思维习惯教师在变式训练中所采用的变式方法对学生会产生潜移默化的影响，尤其是通过对经典题的变式及对比研究，可使学生获得对某一知识的系统的、深刻的理解，从中掌握科学的解题方法。通过对同一个知识点横向、纵向延伸和变化，更好的培养学生的发散思维，同时学会捕捉各种信息中的联系，提高发现问题的能力。2. 变式训练遵循的原则2.1 立足于课本纵观历届中考，以课本中的命题为原型，再经过适当的变形和引申的试题屡见不鲜。因此在教学中，要强调立足于课本，把学过的内容进行重新组合，有目的地以课本习题为主线，从不同角度、不同层次、不同背景对概念、性质、定理、公式以及基础问题做出变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,但不同层次的问题的解决方法存在着相似性。学生可以运用类比思想进行思考和解答，真正达到做一题会一类的教学效果，从而减轻学生负担，达到“以少胜多”的教学目的和学习目标。2.2 适度和梯度在几何变式训练的过程中，既要注意由简单到复杂，由具体到抽象，有一定的梯度，同时又要有一定的深度，否则变式训练就会降格为一种低水平的重复。但又不能一味的拔高，否则大多数学生无法理解和掌握，那么就失去教学的意义。2.3 学生的参与在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要激发学生学习的兴趣，让学生从被动的学习转化为积极主动参与题目构建，要鼓励学生大胆地“变”。有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，同时培养了学生的创新意识和创新精神以及举一反三的能力。2.4 遵循学生的认知规律变式训练要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律设计，其目的是通过变式训练使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成解题技能，最终完成“知识-应用-理解-形成技能-培养能力”的认知过程。所以要根据学生掌握的情况，制定变式训练的目的。例如，当新授课时学生对知识一无所知，变式训练以学生理解概念和掌握基础题型为主。章节复习需要帮学生形成知识章节结构，变式训练应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法。中考复习课的变式训练不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系。在试卷讲评课时，变式训练就要根据学生答题的情况进行有针对性地查漏补缺、巩固、提高。3 变式训练在教学中的应用3.1 变式教学诠释概念，突破难点在教学中有许多概念，因内容相近致使学生在学习中发生混淆，也有些知识点比较抽象难以理解。通过变式教学让学生抓住概念的本质，理解掌握相关的概念和突破难点。例如：讲授一元一次方程概念的理解：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式的方程叫做一元二次方程”时，我设计以下的题目：例题1：下列是一元一次方程的是 变式1、若方程是关于的一元一次方程，则的值： 。（=2）变式2若方程是关于的一元一次方程，则的值： 。（=1或2）通过以上的变式训练，可以逐渐加深学生对一元一次方程的概念理解，对概念中所反映的本质属性有了清晰的认识。例如：讲解圆和圆的位置关系，我设计以下题目：例题2： 圆D与圆A的位置： ，圆D与圆B的位置： ，圆D与圆C的位置： ，圆D与圆E的位置： 。变式1：若圆A、B、C、E的半径都为，圆D的半径为，两圆的圆心距为当 ，则它们的位置关系外离。当 ，则它们的位置关系外切。当 ，则它们的位置关系内切。当 ，则它们的位置关系 。变式2：相切的两个圆的半径分别是3和5，它们的圆心距是 。（分类讨论）变式3：相切两圆的圆心距是5，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径是 。（考查逆向思维）3.2 变式教学挖掘例题，触类旁通教学中，如果静止地、孤立地只解答某个题目。那么题目再好，充其量也只不过是解决了一个问题而已；如果对它深入研究，通过变式教学，可以开阔学生的解题思路，培养学生思维的灵活性和深刻性，具有较好的教学价值。例如：在讲授一元一次方程应用题，我设计如下:例题3：已知A、B两地之间的距离为240千米，甲车从A站出发每小时行驶120千米，乙车从B站出发每小时行驶80千米，两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？变式1：如果乙车先开半小时，两车相向而行，甲车行了多少小时两车相遇？变式2：两车同时开出，相向而行，多少小时还相距40千米？变式3：两车同时开出，同向而行，多少小时甲车可以追赶上乙车？变式4：乙车先从B站开出30分钟，同向而行，多少小时甲车可以追赶上乙车？变式5：乙车先从B站开出100千米，同向而行，甲车能否在3小时内追赶上乙车。若不能，甲车要以多少的速度才能刚好3小时追赶上乙车？通过变式可以引伸出行程问题中的相遇、不相遇、同时（出发）、不同时（出发）以及追及等行程类问题，还可以改变情景变成工程类问题:甲、乙两人合作加工一批零件240个，甲每小时加工120个，乙每小时加工80个，两人同时加工这批零件几小时可以完成？变式6：乙先加工1小时，甲乙合作多久可以完成。变式7：甲、乙两人合作加工一批零件，甲需20天完成，乙需30天完成。若甲、乙两人合作5天，甲有事要离开，乙还需要几天完成？这样的变式覆盖了同时出发相遇问题、不同时出发相遇问题、同时出发和不同时出发的追及问题等行程问题的基本类型。这样通过一个题解决了一类问题，同时归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而机械、辛劳且低效。3.3 变式教学拓展习题，开拓学生思维初中数学习题课要坚持因材施教，根据学生的情况制定教学目标和教学的方式和内容。恰当的变式教学起点难度低，逐步实现知识螺旋式上升，在满足中下层学生的需求，也能培养优秀生良好的思维品质。例题4：已知：如图1，ABC中，ACB=900 ，AC=BC，AE=CF，D是AB的中点.求证：（1）AEDDCF;（2） DE=DF；（3）DEDF证明三角形全等是学生最熟悉的几何题目，中下层学生都没有问题。教师在本题基础可以引导学生用旋转的思想解决本题，AED可以看作由DCF绕点D旋转900 。变式1：已知：如图1，ABC中，ACB=900，AC=BC， D是AB的中点，DEDF.求证：（1）DE=DF；（2）AE=CF.变式2：已知：如图1，ABC中，ACB=900 ，AC=BC，DE=DF，D是AB的中点.求证：（1）AE=CF。变式3：已知：如图1，ABC中，ACB=90 AC=BC， D是AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DEDF，若AE=3，BF=5，求EF的长.变式4：已知：如图2，ABC中，AC=BC，ACB=900 ，D为AB的中点，经过C、D两点的圆交AC于E，交BC于F.则图中的相似三角形有几对？变式5：已知：如图1，ABC中，ACB=900 ，AC=BC， D是AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF.（）判断DEF的形状，并证明你的结论；（）当点E、F在边AC、BC上移动时，四边形ECFD的面积将如何变化？说明你的理由.（）当点E、F分别在边AC、BC的延长线上时，以E、C、F、D为顶点四边形的面积将如何变化？说明你的理由.变式1、2在例题的基础上把条件和结论对调，简单变形，即可以用全等解决，也可以用旋转解决；变式3是从证明题变为计算题。这三种简单的变式是针对班上大多数的学生，通过这几种变形复习和掌握三角形全等证明的几种方法，中等偏上的学生初步理解旋转思想。变式4、5在本质不变的前提下延伸至相似和动点问题，涵括了几何的大多数知识。在学生已有认知水平的基础上，整个过程逐渐地增加学生的认知负荷，逐步地提高学生的数学能力，使学生的数学知识结构和数学能力都能循序渐进，呈螺旋上升式的发展。3.4 变式教学梳理知识点，形成知识网络根据初中学生数学学习的特点、认知规律和心理特征，数学课程分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”四大部分。 新课程标准在各学段中，都安排了四部分的课程内容，而这四部分课程内容分别穿插在3个学年中，数字中考复习就是要让这些零散的知识系统化，内化成学生自己的知识，形成知识网络。变式教学就是通过一组例题把多个知识点串联起来。例题5:（1）是方程的解，求的值； （2）和是方程的解，求的值。变式1：待定系数法（1）反比例函数经过点（2，-4），求的值。（2）一次函数经过点（1，-2）和（2，-3），求一次函数的关系式。（3）函数经过点（-1，0），（4，0）和（0，2），求二次函数的关系式。变式2：求交点（1）如图，直线与反比例函数y=的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B求k的值及点B的坐标。 （2）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， 求A、B和 C的坐标。例如：在复习三角函数，我先让学生复习相关的概念，掌握基本图形，然后拓展到相关的知识，设计如下：7例题6：如图所示：C=90，B=30 如图所示：E=90，D=45，若DF=6，求DE的长度。（已知斜边，求高） 若AB=6，求BC的长度。（已知斜边，求高） 图1 图2变式1：如图1所示：C=90，B=30，若BC=6，求AB。（已知高，求斜边）如图2所示：E=90，D=45，若DE=6，求DF的长度。（已知高，求斜边）变式2：（1）已知正方形的面积是36，求对角线。 （2）已知正三角形的的高是6，求边长和面积。变式3：如图所示：菱形ABCD的边长是6，BAD=60，求菱形的对角线和面积。变式4：在梯形ABCD中，点A的坐标是（，0），点B的坐标是（8，0）且DAB=45，CBA=30求点C和点D的坐标。变式5：如图，直角梯形纸片ABCD中，AD/BC，A=90，C=30折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8（1）求BDF的度数；（2）求AB的长分析：本变式是利用等腰三角形的性质（等边对等角和三线合一）以及锐角函数求边长。变式1只是简单的把条件和结论对调，变式2是正三角形和正方形的性质，利用图中隐含的特殊的直角三角形求边长。变式3根据菱形性质（对角线垂直且平分），求对角线和面积。在做训练时可以把菱形变式为矩形。变式4把题目延伸，和坐标系结合。变式5加入折叠思想，通过上述的变式训练把等腰三角形、菱形、正方形、梯形等联系在一起，变式6：如图，已知ACD=30，ABD=45，BC=50m.求 AD的长度。变式7：（2012年东莞市）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tan=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6=0.45，cos26.6=0.89，tan26.6=0.50）变式6把两个特殊的直角三角形结合在一起，变式7在变式6基础上引入方程的思想，变式7加入情境。通过层层递进，在复习三角函数的同时也把几何图形进行归纳总结。30和45的直角三角形贯穿整个初中阶段的学习，通过可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个知识网络。3.5变式教学体现数学思想中考数学除了着重考查基础知识外，还十分重视数学思想方法的考查。比如动点问题、数形结合、折叠问题，数学问题工具化等，而这些题目一向是学生最为头疼的题目。为此通过一些体现数学思想方法的题目变式练习挖掘其隐含的数学思想，提高综合运用所学知识求解问题的能力。折叠问题是这两年中考的热点和难点，如果学生能找出折叠隐含的条件，题目迎刃而解。如果找不到，题目就无法解决。在平时的教学中，不但让学生动手折叠纸片，找相等的角和线段，而且通过改变题目的背景，引导学生思考。例题7：矩形ABCD对角线A C的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。变式1：一张矩形的纸片ABCD将纸片折叠一次，使A与C重合，再展开。折痕EF交AD边于点E，交BC于F，分别连接AF与CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10，ABF