高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵 1.1.1 几类特殊线性变换及其二阶矩阵课件 新人教A版选修42.ppt

第一讲线性变换与二阶矩阵 一线性变换与二阶矩阵 一 几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1 理解旋转变换 反射变换 伸缩变换 投影变换 切变变换及二阶矩阵的概念 2 会求几何元素在某变换作用下的像 会求变换公式及对应的二阶矩阵 1 2 3 4 5 6 7 8 1 线性变换名师点拨在表达式 中 x y 都是关于x y的常数项为0的一次式 通常称 一次表达式 为 线性表达式 所以上述变换称为 线性变换 答案 2 11 1 2 3 4 5 6 7 8 名师点拨二阶矩阵仅仅是一个包含两行 两列的数表 它既不是数 也不是代数式 手写矩阵时要注意数与数之间的间距 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 3 特殊矩阵名师点拨1 矩阵通常用大写的英文字母a b c 表示 2 零矩阵和单位矩阵是常用的两个矩阵 1 2 3 4 5 6 7 8 做一做3 在下列矩阵中 二阶单位矩阵是 解析 由二阶单位矩阵的定义知 选c 答案 c 1 2 4 3 5 6 7 8 1 2 4 3 5 6 7 8 名师点拨1 x y 为平面内任意一点的坐标 x y 是旋转后的相应点的坐标 2 角可正可负 为正角说明按逆时针方向旋转 为负角说明是按顺时针方向旋转 1 2 4 3 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 5 反射变换平面上的任意一点p变成它关于直线l的对称点p 的线性变换叫做关于直线l的反射 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 做一做5 在直角坐标系xoy内 求任意一点p x y 关于直线y x的反射变换的坐标变换公式及相应矩阵 解 p x y 关于直线y x的对称点为p y x 则坐标变换公式 1 2 3 4 5 6 7 8 6 伸缩变换在直角坐标系xoy内 将每个点的横坐标变为原来的k1倍 纵坐标变为原来的k2倍 其中k1 k2均为非零常数 称这样的几何变换为伸缩变换 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 投影变换设l是平面内一条给定的直线 对平面内的任意一点p作直线l的垂线 垂足为点p 则称点p 为点p在直线l上的投影 将平面上每一点p变成它在直线l上的投影p 这个变换称为关于直线l的投影变换 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 做一做7 在直角坐标系xoy内 关于直线y 2x的投影变换的矩阵为 答案 b 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 名师点拨在直角坐标系xoy内 将每一点p x y 沿着与x轴平行的方向平移ky个单位长度变成点p 其中k是非零常数 称这类变换为平行于x轴的切变变换 同理 平行于y轴的切变变换是指直角坐标系内的每一点p x y 沿着与y轴平行的方向平移kx个单位长度 其中k是非零常数 的线性变换 1 2 3 4 5 6 7 8 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 例1 请写出在平面直角坐标系xoy内 将每一点绕原点o按顺时针方向旋转30 的变换对应的二阶矩阵 分析 先写出旋转变换公式 再写出二阶矩阵 解 根据旋转变换公式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 反思本题中的旋转变换是按顺时针方向旋转的 所以代入旋转变换坐标公式时 要用负角表示 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 反思只要明确了点a 点a 与直线y kx的关系 此类题可灵活求解 在点a 点a 及直线l中可知二求一 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 反思熟记伸缩变换的坐标变换公式及相应的二阶矩阵是解决此类题的金钥匙 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 例4 在直角坐标系xoy内 求关于直线y 3x的投影变换对应的二阶矩阵 分析 根据投影变换的定义 在关于直线l的投影变换下 点p与它的像p 应满足pp l 且点p 在直线l上 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 解 设平面内任一点p x y 在关于直线y 3x的投影变换下的对应点为p x y 则有pp 与直线y 3x垂直 且点p 在直线pp 上 反思解决此类问题 要紧扣概念 依据概念解题 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 例5 已知一切变变换是将坐标平面内的任意一点 x y 沿与x轴平行的方向平移2y个单位长度 则点p 1 2 在此变换作用下的像p 为 a 3 2 b 5 2 c 1 2 d 2 5 点p 1 2 在此变换作用下的像p 为 5 2 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 错因分析 在旋转变换中 把旋转角的旋转方向搞错了 逆时针方向旋转的角代入旋转变换公式时为正角 顺时针方向旋转的角代入旋转变换公式时为负角 1 2 3 4 5 1 在直角坐标系xoy内 将点a 1 2 绕原点按逆时针方向旋转150 后的点的坐标为 1 2 3 4 5 解析 设点a绕原点按逆时针方向旋转150 后的点的坐标为 x y 答案 b 1 2 3 4 5 2 在直角坐标系xoy内 点p 1 1 在关于直线x 5的反射变换作用下的像为 a 9 1 b 1 9 c 1 1 d 1