信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章.doc

信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题答案2.1 (1) 已知连续时间信号如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (b) (c) (2) 根据图P2.1(b)所示的信号，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (b) (c) (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的和，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (b) (c) 图P2.1解：(1) 各信号波形如下图所示：(2) 各信号波形如下图所示：(3) 各信号波形如下图所示： 2.2 已知信号的波形图如图P2.2所示，试画出的波形图，并加以标注。 图P2.2解：波形如下图所示：2.3 (1) 已知离散时间信号如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (b) (c) (2) 对图P2.3(b)所示的信号，试画出下列个信号的波形，并加以标注。 (a) (b) (c) (3) 根据图P2.3(a)和(b)所示的和，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (b) (c) 图P2.3解：(1) 各信号波形图如下图所示： (2) 各信号波形图如下图所示： (3) 各信号波形如下图所示： 2.4 画出图P2.4所给各信号的奇部和偶部。 图P2.4解：(a) (b) (c) (d) 2.5 已知如图P2.5所示，设： 画出和的波形图。 图P2.5解： 2.6 判断下列说法是否正确？如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，则举出一个反例。 (1) (a) 若是周期的，则也是周期的。(b) 若是周期的，则也是周期的。(c) 若是周期的，则也是周期的。(d) 若是周期的，则也是周期的。(2) 定义 (a) 若是周期的，则也是周期的。 (b) 若是周期的，则也是周期的。 (c) 若是周期的，则也是周期的。 (d) 若是周期的，则也是周期的。解：(1) (a) 正确。若的周期为，则的周期为。(b) 正确。若的周期为，则的周期为。(c) 正确。若的周期为，则的周期为。(d) 正确。若的周期为，则的周期为。(2) 由(a) 正确。设的周期为。如果为偶数，则的周期为；如果 为奇数，则必须有，才能保证周期性，此时的周期为。(b) 不正确。设，其中，对所有， 显然是非周期的，但是周期的。(c) 正确。若的周期为，则的周期为。(d) 正确。若的周期为，则只能是偶数。的周期为。2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 解：(a) ，周期信号，。(b) ，周期信号，(c) ，周期信号，。(d) ，非周期信号，因为是无理数。(e) ，设周期为，则有 ，令，（为整数） 则，令则有 显然，是周期信号，其周期为。(f) ，非周期信号。(g) 是非周期的，是非周期信号。(h) ，周期的，周期。(i) ，非周期信号。(j) 是周期信号，其周期就是和的公共周期。 周期为。2.8 (a) 设和都是周期信号，其基波周期分别为和。在什么条件下，和式是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？ (b) 设和都是周期信号，其基波周期分别为和。在什么条件下，和式是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？解： (a) ，是周期的， 令，欲使是周期的，必须有 即，其中为整数。 这表明：只要和的周期之比是有理数，就一定是周期的。其基波周期是的最小公倍数。 (b) 和是周期的， 令，欲使是周期的，必须有 （为整数） 即 与无公因子， 2.9 画出下列各信号的波形图： (a) (b) (c) (d) 解： 各信号波形如下图所示： 图PS2.92.10 已知信号，求： (a) (b) 解： (a) (b) 2.11 计算下列各积分： (a) (b) (c) (d) (e) (f) 解： (a) (b) (c) 同(b)，4 (d) (e) (f) 02.12 根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：瞬时的；时不变的；线性的；因果的；稳定的。对下列各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些不成立，说明理由。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 解： (a) 无记忆。 输出只决定于当时的输入。 非线性。 时不变。 因果。 无记忆系统必然是因果的。 稳定。 当时，。 (b) 记忆。 输出不只决定于当时的输入。 非线性。 系统不满足可加性和齐次性。 时不变。 。 因果。 输出只与当时和以前的输入有关。 稳定。 当有界时，也有界，从而必有界。 (c) 记忆。 ，输出与以前的输入有关。 时不变。 。 ？线性。 系统满足可加性和齐次性。 因果。 输出只和以前的输入有关。 稳定。 当有界时，一定有界。 (d) 记忆。 ，输出与以前和以后的输入有关。 时变。 令，其中是时不变的，而是时变系统 整个系统是时变的。 线性。 系统满足可加性和齐次性。 非因果。 是非因果的。 稳定。 有界时，和都有界，从而必有界。 (e) 无记忆。 只与当时的输入有关。 时变。 线性。 系统满足可加性和齐次性。 因果。 无记忆系统必定是因果的。 稳定。 有界，当有界时，必有界。 (f) 无记忆。 只与当时的输入有关。 时变。 。 线性。 系统满足可加性和齐次性。 因果。无记忆系统必定是因果的。 不稳定。 有界但时，。 (g) 记忆。 ，输出与以前的输入有关。 时变。 输入为时，相应的输出为 而 显然 线性。 系统满足可加性和齐次性。 因果。 只和当时以及以前的输入有关。 稳定。 有界时，也有界，从而必有界。 (h) 记忆。 时，不仅与当时的输入而且与以前的输入有关。 时不变。 输入为时，相应的输出为 非线性。 若 则有 显然，系统不满足可加性。 因果。 只和当时以及以前的输入有关。 稳定。 有界时，也有界，从而必有界。 (i) 记忆。 表明输出与以前的输入有关。 时变。 输入为时，输出是的偶数位。显然，输出不等于。 线性。 系统满足可加性和齐次性。 非因果。 ，表明输出与以后的输入有关。 稳定。 有界时，也有界，从而必有界。 (j) 记忆。 表明输出与以后的输入有关。 时变。 输入为时，系统的输出为 线性。 系统满足可加性和齐次性。 非因果。 与以后的输入有关。 稳定。 有界时，也有界，从而必有界。2.13 判断下列每个系统是否是可逆的。如果是可逆的，则写出其逆系统；如果不是，则找出使该系统具有相同输出的两个输入信号。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 解: (a) 系统可逆。其逆系统为。 (b) 系统不可逆。 当时，系统的输出为 。这表明系统的输入与输出不是单纯一一对应的。 (c) 系统不可逆。 当输入为或时，系统的输出都为零。 (d) 系统可逆。其逆系统为。 (e) 系统不可逆。 当输入为或时，系统的输出都为零。 (f) 系统可逆。其逆系统为。 (g) 系统不可逆。 当为任意常数时，均为零。 (h) 系统可逆。其逆系统为。 (i) 系统不可逆。 只要和的偶数位相同，就会产生相同的输出。 (j) 系统可逆。其逆系统为。2.14 对图P2.14(a)所示的系统（图中开平方运算产生正的平方根）。(a) 求出和之间的函数关系。(b) 判断该系统的线性和时不变性。(c) 当输入如图P2.14(b)所示时，响应是什么？ (a) 解： (a) 由图P2.14可得出 (b) 由(a)知，系统的输入输出不满足可加性，故系统是非线性的。由(a)可看出，当输入为时，输出为，故该系统是时不变的。(d) 由(a)可得出响应如图PS2.14所示。 图PS2.142.15 判断下列说法是否正确，并说明理由：(a) 两个线性时不变系统的级联仍然是线性时不变系统。(b) 两个非线性系统的级联仍然是非线性系统。解： (a) 结论正确。设两线性时不变系统如图PS2.15所示级联。当时，则有，于是，因此整个系统是线性的。 若输入为，则由于时不变性可知系统1的输出为，这正是系统2的输入，因此总输出为。即整个系统是时不变的。 图PS2.15 (b) 结论不对。如系统1为，系统2为。虽然两系统都不是线性的，但它们的级联却是线性的。2.16 对图P2.16所示的级联系统，已知其3个子系统的输入-输出方程由下列各式给出：系统1：系统2：系统3：其中：都是实数。(a) 求整个互联系统的输入-输出关系；(b) 当满足什么条件时，整个系统是线性时不变的；(c) 当满足什么条件时，总的输入-输出关系与系统2相同；(d) 当满足什么条件时，整个系统是因果系统。 图P2.16解： (a) (b) 对任意实数，整个系统都是LTI系统。(c) 当时，总的输入输出关系与系统2相同。(d) 当时，整个系统是因果的。2.17 已知某线性时不变系统对图P2.17(a)所示信号的响应是图P2.17(b)所示的。分别确定该系统对图P2.17(c)和(d)所示输入和的响应和，并画出其波形图。 图P2.17解： (a) 如图PS2.17(a)所示。 (b) 如图PS2.17(b)所示。 图PS2.172.18 (a) 某离散时间线性系统对输入和分别有响应和如图P2.18(a)所示。如果该系统的输入为图P2.18(b)所示的，求系统的输出。(b) 如果一个离散时间线性时不变系统对图P2.18(a)所示的输入有响应，那么该系统对和的响应是什么？ 图P2.18解：(a) 如图PS2.18(a)所示。 (b) 如图PS2.18(b)所示。 如图PS2.18(c)所示。 图PS2.182.19 对图P2.19所示的反馈系统，假定是，。 (a) 当时，求输出，并画出其波形图。(b) 当时，求输出，并画出其波形图。 图P2.19解： 由图P2.19可得出(a) 当时，由递推可得如图PS2.19(a)所示。(b) 当时，由递推可得如图PS2.19(b)所示。 图P