自动控制系统的频域分析ppt课件.ppt

第4章分析自动控制系统性能的常用方法 建立自动控制系统数学模型的目的 就是为了对自动控制系统进行分析 在经典控制理论中 对系统的分析方法主要有两种 时域分析法 由时域响应及传递函数出发去进行分析 频率特性法 由频域响应及传递函数出发去进行分析 1 4 2频率特性法 频率特性法的基本概念频率特性的图形表示方法典型环节的对数频率特性系统开环对数频率特性 2 4 2 1频率特性的基本概念 由 电路基础 可知 当电路中存在储能元件时 电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时 将发生一个中间过程 过渡过程 而这一过程的特点就是过渡过程随时间的变化而变化 是一个与时间有关过程 引起过渡过程的原因有两个 即内因 电路中必有储能元件 外因 电路的接通或断开 电源的变化 电路参数的变化或电路的改接等因素 这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素我们统称为激励 而过渡过程所发生时所产生的 我们关心的结果 如输出电压的变化 系统的运行等 我们则统称为电路对时间的响应 3 由过渡过程分析中的三要素法可知 电路对时间响应常常分为两个部分 暂态响应和稳态响应 线性电路的时间响应通常可以写成 其中 为暂态响应 为稳态响应 当输入激励是为正弦周期信号时 其输出响应为 4 为了更好地理解频率特性的概念 我们在这举一个这是一个简单的例子 如图所示为一阶RC电路 如果我们设电容两端的电压为Uc为输出响应 则当激励为正弦周期信号时 由此电路的传递函数 可得 由于正弦周期信号 的拉氏变换式为 所以 该一阶RC电路输出响应的拉氏变换式为 5 两边取拉氏变换 则有 暂态分量 稳态分量 6 则 为该一阶RC电路的幅频特性 它是指输出正弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间的比值 称为该一阶电路的相频特性 它是指输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差 相位差 由此我们定义 所谓频率特性就是指正弦激励下线性系统的正弦稳态响应 并且从其稳态分量表达式中 我们知道 对于线性电路而言 其输出的稳态响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号 只不过经过系统传送后 相对于输入激励的幅值和初相位而言 它的幅值 大小 和初相位 起即位置 发生了一定的变化而已 若令 7 从以上定义中 我们不难发现 所谓频率响应 本质上讨论的就是我们在 电路基础 中学过的正弦交流电路中三要素中的两个要素而已 所不同之处在于 电路基础 中 我们研究的是在给定某一正弦信号频率的情况下 电路所对应的某一确定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相位的改变 而在自动控制原理与系统中 我们所研究的是当输入正弦激励信号的角频率从0 变化过程中 其输出的正弦稳态响应信号的幅值与初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变化的函数关系 对于本例 当我们取R 1 C 0 1F的实验电路参数时 其随频率变化的响应曲线如下 8 暂态响应 稳态响应 此时输入信号有角频率 9 实验结果表明 当输入的正弦激励信号的角频率为 20rad s时 该一阶RC电路稳态时输出的仍然是同频率的正弦信号 但是其输出的正弦响应信号的幅值为 Ac 0 438 相位滞后了 因此在这一频率信号的作用下 此时的频率特性是 10 此时输入信号有角频率 11 实验结果表明 当输入的正弦激励信号的角频率为 50rad s时 该一阶RC电路稳态时输出的仍然是同频率的正弦信号 但是与输出的正弦响应信号的幅值为 Ac 0 193 相位滞后了 因此在这一频率信号作用下 此时的频率特性为 12 当我们选择足够多的频率点后 通过幅值与频率 相位与频率之间一一对应的关系 我们最后可以绘制出如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线 并由此曲线来分析该电路的性质 结论 这是一个低通滤波电路 13 现在 我们从理论上进一步分析 首先设系统输入的正弦激励信号的表达式为 则其输出的正弦稳态响应信号为 在上式中 MAr是输出正弦稳态响应信号的最大值 而是以度 deg 为单位的输出正弦稳态响应信号的初相位 现设线性系统的传递函数是G s 那么输入激励与与输出稳态响应之间的Laplace变换关系就是 14 对于正弦稳态分析来说 我们将自变量S由S j 替换成S j 则上面的式子就变成了 如果将C j 写成相量的形式 则有 输出稳态响应的幅值 输出稳态响应的初相位 15 现在我们以同样的办法将输入激励信号R j 也写成相量的形式 则有 这样该线性系统的传递函数就变成了 正弦激励的幅值 正弦激励的初相位 16 由前面做过的演示实验可知 上式中的和都是角频率 的函数 所以上面的式子最终可以写成 其中 正弦稳态传递函数的幅值为 而正弦稳态传递函数的相位是 17 所以 我们就称M 称为系统的幅值频率特性 简称幅频特性 MagnitudeCharacteristic 称 称为系统的相位频率特性 简称为相频特性 PhaseCharacteristic 两者统称为频率特性 FrequencyCharacteristic 或幅相频率特性 Magnitude PhaseCharacteristic 用G j 表示 特别是当输入的正弦信号为单位正弦信号 即 则系统的频率特性就是 18 由此可见 在自动控制系统中 我们同样只要知道系统传递函数G s 就可以求出它的频率特性 幅值频率特性 相位频率特性 而知道了系统传递函数的频率特性G j 也就知道了 当系统受到频率为 0的正弦信号激励时 其系统输出的稳态响应为 19 通过以上分析 我们不难发现 所谓系统的频域特性就是指系统对不同频率的正弦输入信号的响应特性集合 对线性系统而言 若其输入信号为正弦量 则其稳态输出 即频域响应 也将是与输入同频率的正弦量 只不过其输出的幅值和相位一般不同于输入量 而这种输出幅度与相位变化往往与系统本身的的参数 特性以及输入信号的频率有关 因此 频率特性从本质上讲就是分析在各种不同频率的正弦信号作用下 系统稳态输出所反映出来的正弦波信号的幅值 相位所产生的变化趋势 为了更好地理解这一问题 我们再来看看我们前面实验过的一阶RC电路 20 这是一个简单的一阶RC电路 在前面的演示中我们已经讨论过这个电路 即如果设电容两端的电压为Uo 则该一阶RC电路的传递函数为 由频率特性的定义 则有 这正是系统频率特性在复数平面内的一种典型表示方法 这种表示方法我们称之为直角坐标表示法 21 根据复函数理论 我们可以分别求出上式中的幅值与相位 即 幅值 相位 22 由此可见 当正弦信号通过RC电路时 其输出的稳态信号将是输入信号同频率的正弦信号 但它的幅值和相位不仅与频率 的变化有关 而且还与一阶RC电路的参数结构有关 RC 有关 为此我们分别取R 1 C 0 1F 0 01F 0 001F等实验参数时 并利用MATLAB软件来看一看其输出信号的幅值 相位与频率 及电路参数R C之间的关系 23 当 20rad s时的幅值与相位 当 45rad s时的幅值与相位 截止频率 p 10rad s 相频特性观察点 此时输出信号产生了近 45度的相移 幅频特性观察点 此时输出信号的幅值衰减至输入幅值的0 707倍 当实验参数 R 1 C 0 1F时 24 截止频率 p 100rad s 相频特性观察点 此时输出信号产生了近 45度的相移 幅频特性观察点 此时输出信号的幅值衰减至输入幅值的0 707倍 当实验参数 R 1 C 0 01F时 25 截止频率 p 1000rad s 相频特性观察点 此时输出信号产生了近 45度的相移 幅频特性观察点 此时输出信号的幅值衰减至输入幅值的0 707倍 当实验参数 R 1 C 0 001F时 26 T RC 0 001 随着频率的增加 当 其输出信号的幅值会衰减至零并产生约为 90度最大相移 27 以上一阶RC电路在三个不同电路参数下的系统频域响应 充分验证了系统在正弦信号作用下的传递函数 频率特性 与输入信号频率之间的因果关系 并由此可以得出如下结论 此一阶RC电路具有低通特性 即当RC电路参数一定时 频率较低的正弦激励信号更容易通过此电路 此一阶RC电路具有移相特性 即当频率较高时 能产生接近 90度的最大相移 因此 此电路在电子技术中又被称为是低通滤波电路 28 在许多情况下 对自动控制系统所进行的的设计与校正非常类似于对滤波电路所进行的设计 从这一点不难看出 自动控制系统也可以被看成是一个可以对输入信号进行处理的信号处理器 事实上如果控制系统能具有理想的一阶RC低通滤波器的低通特性的话 这时的自动控制系统将是一个非常理想系统 这意味着自动控制系统将能实现对所有低于截止频率 p的信号进行几乎没有衰减的传输 而对于那些高于截止频率 p的噪声信号来说 它们将被自动控制系统完全隔离 而这也正是研究系统频特性的优越之处 从另一方面来说 频域特性分析法是用图形方式对自动控制系统进行分析的一种分析方法 与时域分析中的解析方法相比 图形分析具有更为直观与方便的特点 29 系统的闭环频域性能指标 谐振峰值Mr谐振频率 r带宽BW截止频率 p p BW r Mr 30 4 2 2频率特性的图形表示法 前面 我们曾提到频域分析法是一种用图形方式对自动控制系统进行分析的方法以 这种方法的最大特点就是将系统的频率特性用曲线这样的图形表示出来 常见的频率特性曲线有以下两种 奈奎斯特 Nyquist 曲线对数频率特性 伯德图 Bode 31 奈奎斯特 Nyquist 曲线 奈奎斯特 Nyquist 曲线简称奈氏曲线 是由美国物理学家奈奎斯特首创 它是将系统的频率特性绘制在极坐标上的图形表示方法 并在该图形表示方法的基础上提出了著名的奈奎斯特稳定性判据 由于频率特性是一个复数 所以和其它复数一样 频率特性除了可以用直角坐标进行表示之外 它还可以用极坐标的方式进行表示 即 也即用频率特性的幅值 模 和频率特性的相位差 幅角来进行表示 32 因此奈氏曲线所绘制的就是 当 从0 变化时 根据频率特性的极坐标表达式 去算出每取一个特定的 值时 所得到的频率特性的模 幅值 和幅角 相位差 然后将它们的值标记在复平面 直角坐标系 上 再将这些标记点用光滑的曲线连接起来 最终所得到的曲线就是奈氏曲线 33 一阶RC电路奈氏曲线的绘制过程 在绘制幅相频率特性曲线时 先选取几个特殊点 如 0 1 T 等 求得对应的M与 然后再有选择地选取若干个与 数值点对应的M与 再按 由0 的顺序 逐点绘制出曲线图形 如一阶RC电路 当R 1 C 0 001时 其奈氏曲线的绘制方法与步骤 34 第一步 求出系统的幅频及相频特性表达式 因为该一阶RC电路的频率特性为 所以有 幅频特性 相频特性 35 第二步 选取几个特殊的点 取 0 则可计算出 取 1 T 1 0 001 则可计算出 36 取 则可计算出 第三步 按 由0 的顺序 逐点 光滑地绘制出曲线图形 37 0 38 对数频率特性 Bode图 对数频率曲线又称为Bode图 是由美国工程师伯德 H W Bode 提出 它是将系统的频率特性取自然对数后 分别用两张图分别表示它的幅频特性与相频特性的一种图形表示方法 与奈氏图相比 Bode图具有绘制方便 直观 并能在没有计算机时 用直线的线段近似画出系统频率特性的幅值与相位等优点 但其缺点是仅能确定最小相位系统的绝对稳定及相对稳定性 39 对数频率特性的定义 前面我们曾经讲到过 所谓的系统频率特性就是频率的方法来表示系统的传递函数 由于其频率特性是一个复数 因此从数学上讲 系统的频率特性除了可以用直角坐标系和极坐标进行表示外 还可以用指数进行表示 即 在指数表达式的两边取自然对数 有 对数幅频特性 对数相频特性 对数频率特性 40 在实际应用中 对数频率特性中的幅频特性一般不用自然对数表示 而是采用以10为底的常用对数表示 利用中学学过的对数换底公式 我们很容易得到它们之间的相互关系 在引入声学单位分贝 dB 后 则有 例如 在一阶RC电路中 当 p时 其输出幅值衰减至输入信号幅值的0 707倍 如采用对数幅频特性来描述的话 则在此频率下 其对数幅值为 41 因此对数频率特性就可以被定义为 对数幅频特性 对数相频特性 引入对数频率特性中幅频特性L 的好处在于 它可以将系统串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性中的幅值相加 这对图形的处理 分析以及计算都会带来很大方便 以后的分析将表明 L 或其渐近线大多与lg 成线性关系 因此 若以L 为纵轴 lg 为横轴 则其图形将为直线 这可使频率特性的绘制过程大为简化 42 伯德 Bode 图的坐标分度 伯德 Bode 图是对数幅频特性和对数相频的图形表示方式 它是在被称为半对数坐标纸上绘制完成的 它的横轴采用的是自变量 并以lg 为线性的非线性分度 其含义是 由于lg10 1 所以当 按10倍进行变化时 其对应的lg 就是线性的 故我们称这个变化的进程为10倍频程 Decade 记以Dec 幅频特性的纵轴采用以分贝 dB 为单位的线性对数坐标分度 相频特性的纵轴采用以度 deg 为单位的线性坐标分度 43 三级半对数坐标 相频特性 单位度 幅频特性 单位分贝 角频率 角频率 一个lg 单位 10倍频程 dec 44 在使用对数坐标时要特别注意以下两点 它的横轴是不均匀坐标 是由疏到密周期性变化排列的 但若以10倍频程来分 则它又是 对数 线性等分的 半对数坐标纸上的每一级所代表的含义就是所谓的10倍频程 即横轴每一个等分的频率变化相差10倍 如在上面所给的三级对数坐标纸上 第一个 1 处的起始频率若为0 1 则第二个 1 的起始频率则为1 第三个 1 处的起始频率则为10等等 45 4 2 3典型环节的伯德 Bode 图 46 比例环节 传递函数 频率特性 对数频率特性 伯德图 47 对数幅频特性为水平直线 其高度为20lgK 若K 1 则为正值 其幅频特性线在横轴上方 若K 1 则 0dB 其幅频特性线与横坐标轴重合 所以幅频特性曲线的横坐标轴又称零分贝线 若K 1 则为负值 幅频特性线在横轴下方 对数相频特性为与横坐标轴重合的水平直线 比例环节放大倍数K变化 系统的L 上下平移 但相频特性不变 48 积分环节 传递函数 频率特性 对数频率特性 49 对数幅频特性 比例环节 理想积分环节 50 积分环节的对数频率特性是一条斜率为 20dB dec斜线 积分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠加而成 一个是比例环节 另一个是理想积分环节 所以 在 1处 积分环节与20lgK直线相交 积分环节的相频率特性是一条满足的水平直线 51 微分环节 传递函数 频率特性 对数频率特性 52 对数幅频特性 比例环节 理想微分环节 53 微分环节的对数频率特性是一条斜率为 20dB dec斜线 微分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠加而成 一个是比例环节 另一个是理想微分环节 所以 在 1处 积分环节与直线相交 积分环节的相频率特性是一条满足的水平直线 54 惯性环节 传递函数 频率特性 对数频率特性 55 惯性环节的对数幅频特性曲线是一条曲线 若采用逐点描绘法将很繁琐 一般在工程上 我们常常采用分段直线逼近的近似绘制方法来绘制它的Bode图 即先作出惯性环节幅频特性L 的渐近线 然后再根据特殊点 如 1 T 的数值 在最大误差处进行修正 这样便可得到该环节较为精确的对数频率特性曲线 通常采用三个频率段的办法 方法如下 56 第一步 我们先在Bode上找到特殊频率点 57 第二步 低频段近似T 1 当T 1 也即 1 T 这时可以认为 T 2 0 于是有 58 第三步 高频段近似T 1 当T 1 也即 1 T 这时由于T 1 所以忽略1后有 20dB斜率的辅助线 59 第四步 交接频率T 1处的计算 当T 1 也即 1 T 这时有 3dB修正 450修正 60 低频渐近线 高频渐近线 L 0 90 0 45 20 1 T 1 10 3 修正后的对数频率特性 第五步 对幅频及相频渐进线用相应的修正 61 比例微分环节 传递函数 频率特性 对数频率特性 62 对照惯性环节和比例微分的频率特性 我们不难发现 两者仅相差一个负号 这意味着比例微分环节与惯性环节的图形将对称于横轴 63 振荡环节 传递函数 频率特性 对数频率特性 64 振荡环节的频率特性 不仅与 有关 而且还与阻尼比 有关 65 控制系统的开环Bode图的绘制 系统开环Bode图的简便画法 66 由第三章的内容可知 图示系统的开环传递函数为 则可知其对应的前向通道的开环频率特性一定为 67 由此可见 串联环节总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和 其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和 由此可求出其对应的对数频率特性为 68 例 已知系统的开环传递函数为 试求取系统的开环对数频率特性曲线 解 1 分析系统是由哪些典型环节串联组成 并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式 69 2 由小到大计算各环节的转折频率 作惯性环节及一阶微环节的Bode图 由此系统的开环传递函数可知 该系统有三个具有转折频率的环节 它们是 惯性环节 其转折频率为 70 2 选定幅频特性的横坐标轴的比例尺 频率范围 一般取最低频率为系统最低转折频率的1 10左右 而最高频率为系统最高转折频率的10倍左右 如有积分环节存在 则最低频率中一定要有 1存在 3 选定相频特性的纵坐标轴的比例尺 相角大小 由于典型环节的相位变化是90度的倍数 所以一般最小单位为45度 在已知系统开环频率特性后 可以预估出系统的最大相移 即当 时 系统各典型环节的相角之和 在本例中 我们可以估计出该系统开环对数相频特性的最大相移为 180度 故所选半对数标尺如下图所示 71 72 4 计算系统的开环放大倍数 绘制比例环节的Bode图 73 5 计算系统的积分环节个数v 绘制比例环节的Bode图 74 按转折频率 由小到大 作出各惯性环节及比例微分环节的伯德图 75 按转折频率分段 将所有环节的伯德图加在一起 76 最小相位系统与非最小相位系统 若系统开环传递传递函数的极点和零点均在s复平面的左侧的系统称为最小相位系统 若传递函数的极点和 或 零点有在s复平面右侧的系统称为非最小相位系统 由上面的定义可知 最小相位系统是绝对稳定系统 最小相位系统的特点是 它的对数相频特性和对数幅频特性间存在着确定的对应关系 或者 对于最小相位系统 只需根据其对数幅频特性就能写出其传递函数 因此对于最小相位系统 我们一般可以只作出它的幅频特性即可 77 例4 7 已知控制系统的开环传递函数为 式中 T1 T2均为正值 且设T2 10T1 求它们的对数幅频特性与对数相频特性 解 由G1 s G2 s G3 s 有 1 对数幅频特性 即 这三个开环传递函数具有相同的对数幅频特性 78 2 对数相频特性 3 对数频率频特性曲线 伯德图 由上图可见 离横轴 距离 最小 G1 s 为最小相位系统 79 系统开环Bode图的简便画法 如果系统的开环传递函数是最小相位系统 则可直接分析系统是由哪些典型环节串联组成的 并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式 分母常数项为1 并计算各典型环节的转折频率 一阶微分环节 其转折频率为 惯性环节 其转折频率为 惯性环节 其转折频率为 80 根据比例环节的K值 计算20lgK 在选定半对数坐标纸的标尺后 作出比例环节的对数幅频特性 值得注意的是 选择作标尺度时 要首先确定系统的开环传递函数中是否有积分环节 如果有 则无论有几个积分环节 在坐标尺度上都应该有 1这个频率点存在 81 如有积分环节存在 则在在半对数坐标纸上 找到横坐标为 1 纵坐标为L 20lgK的点